专题4-7 正弦定理和余弦定理的应用（测）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测 15页

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1．海上两小岛到海洋观察站的距离都是，小岛在观察站的北偏东，小岛在观察站的南偏东，则与的距离是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎2．一船沿北偏西方向航行，正东有两个灯塔A,B, 海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东，另一灯塔在船的南偏东，则这艘船的速度是每小时 （ ）‎ A. 5海里 B. 海里 C. 10海里 D. 海里 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎3．如图，有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要加长（　　）‎ A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 32‎ ‎【答案】B ‎【解析】设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，如图 ‎∵∠ABD=，∠C=，‎ ‎∴∠BAC=.‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∴BC=1，‎ 即坡底要加长1km.‎ 故选B.‎ ‎4．如图，在海岸线上相距千米的A、C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且，则BC之间的距离是 ‎ A. 千米 B. 30千米 C. 千米 D. 12千米 ‎【答案】D ‎5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为(　　)‎ A．a km　　 B．a km　　‎ C.a km　 D．‎2a km ‎【答案】B ‎【解析】由图可知，∠ACB＝120°，‎ 由余弦定理，得cos ∠ACB＝＝＝－.‎ 解得AB＝a (km)．‎ ‎6．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东10° D．南偏西10°‎ ‎【答案】　B ‎7．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为‎50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为 (　　)‎ A．‎50‎m　　　 B．‎50‎m C．‎25‎m D.m ‎【答案】　A ‎【解析】由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理＝，∴AB＝＝＝50(m)．‎ ‎8．已知A、B两地间的距离为‎10km，B、C两地间的距离为‎20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为(　　)‎ A．‎10km B.km C．10km D．10km ‎【答案】　D ‎【解析】利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，‎ ‎∴AC＝10(km)．‎ ‎9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时(　　)‎ A．5n mile B．5n mile C．10n mile D．10n mile ‎【答案】　C ‎10．为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距‎20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是(　　)‎ A．‎20‎m B．‎20‎m C．20(1＋)m D．‎‎30m ‎【答案】　A ‎11．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为‎2km，B船在灯塔C北偏西40°，AB两船距离为‎3km，则B到C的距离为(　　)‎ A.km B．(－1)km C．(＋1)km D.km ‎【答案】　B ‎【解析】由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°，‎ ‎∵x>0，∴x＝－1.学科.‎ ‎12．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　)‎ A.n mile/h B．34n mile/h C.n mile/h D．34n mile/h ‎【答案】　A ‎【解析】如图所示，在△PMN中，＝，‎ ‎∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mile/h)．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13．如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西，距灯塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向处，则该船航行的速度为__________海里/小时.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎14.甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东30°角方向直线航行，并1小时后与乙船在C处相遇，则甲船的航速为_________海里/小时。‎ ‎【答案】17.3‎ ‎【解析】‎ ‎15．【2017湖南百所重点中学诊断】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米.‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】设 的对应边边长分别 里， 里， 里 ‎ 故正确答案为 . ‎ ‎16. 如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.‎ ‎【答案】60‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 如图，我军军舰位于岛屿的南偏西方向的B处，且与岛屿相距6海里，海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方逃跑，若我军军舰从处出发沿北偏东的方向以14海里/小时的速度追赶海盗船．‎ ‎（Ⅰ）求我军军舰追上海盗船的时间；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）我军军舰追上海盗船的时间为1小时；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）在△ABC中，利用余弦定理列方程，求出时间t； （2）在△ABC中，利用正弦定理计算sinα，从而可得cosα．‎ 试题解析：‎ ‎18. 如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为CA=1km,DB=2km，AB两端之间的距离为‎6km.‎ ‎（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置；‎ ‎（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置.‎ ‎【答案】（1）4；（2）AQ=‎74‎-6‎.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用张角相等的相似性即可确定点P的位置；‎ ‎(2)由题意得到三角函数，换元之后结合对勾函数的性质可得当AQ=‎74‎-6‎时满足题意.‎ 试题解析：‎ ‎（1）张角相等，∴AP:PB=CA:DB=1:2‎，∴‎AP=2,PB=4‎ ‎(2)设AQ=x，∴QB=6-x，‎ ‎∴tanC=x，tanD=‎‎6-x‎2‎，tanθ=tan(C+D)=‎tanC+tanD‎1-tanCtanD ‎=‎x+6‎x‎2‎‎-6x+2‎，设t=x+6‎，x∈(0,6)‎，tanθ=‎tt‎2‎‎-18t+74‎，t∈(6,12)‎，‎ ‎∴tanθ=‎1‎t+‎74‎t-18‎∈‎ ‎(-∞,-‎9+‎‎74‎‎14‎]∪(3,+∞)‎，θ∈(arctan3,π-arctan‎9+‎‎74‎‎14‎]‎，‎ 当且仅当t=‎‎74‎时，等号成立，此时x=‎74‎-6‎，即AQ=‎74‎-6‎ ‎19.如图，在某海滨城市O附近的海面上正形成台风。据气象部门检测，目前台风中心位于城市O的南偏东‎15°‎方向‎200km的海面P处，并以‎10km/h的速度向北偏西‎75°‎方向移动.如果台风侵袭的范围为圆心区域，目前圆形区域的半径为‎100km，并以‎20km/h的速度不断增大.几小时后该城市开始受到台风侵袭（精确到‎0.1h）？‎ ‎【答案】4.1小时．‎ ‎100+20t‎2‎‎=100t‎2‎+40000‎‎ ‎-2×10t×200×cos60°‎，‎ 化简得t‎2‎‎+20t-100=0‎，‎ 解得t=10‎2‎‎-1‎≈4.1‎.‎ 答：大约4.1小时后该城市开始受到台风的侵袭。‎ ‎20.【2018届江苏南京溧水高级中学期初模拟】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆， 处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．‎ ‎(1) 写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎(2) 问：中转点距离处多远时， 最小？‎ ‎【答案】(1) ；（2）. ‎ ‎ ‎