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- 2021-06-22 发布
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2016-2017学年云南省玉溪一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
一、选择题.共12小题,每小题5分,共60分.
1.设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|log2x>1},则A∩B=( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,2) C.(1,3) D.(2,3)
2.复数z=的实部为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0
3.等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于( )
A.﹣18 B.9 C.18 D.36
4.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
5.若如图框图所给的程序运行结果为S=41,则图中的判断框(1)中应填入的是( )
A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5?
6.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位后经过点(,﹣),则φ等于( )
A.﹣ B.﹣ C.0 D.
7.设函数f(x)=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.16 B.12 C. +4 D.4+4
9.下列命题中,是真命题的是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是=﹣1
D.已知a,b为实数,则ab>1是a>1且b>1 的必要不充分条件
10.设样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为2和5,若yi=xi+a(a为非零实数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )
A.2,5 B.2+a,5 C.2+a,5+a D.2,5+a
11.表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C,且△ABC是边长为2的等边三角形,若平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S﹣ABC体积的最大值是( )
A.2 B.3 C. D.4
12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( )
A.f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0) B.f(ln2)>2f(0),f(2)>e2f(0)
C.f(ln2)<2f(0),f(2)>e2f(0) D.f(ln2)>2f(0),f(2)<e2f(0)
二、填空题.本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,满足⊥(﹣),且||=3,||=2,则与的夹角为 .
14.设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为 .
15.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:
第一步:构造数列1,,,,…,.①
第二步:将数列①的各项乘以n,得到数列(记为)a1,a2,a3,…,an.则a1a2+a2a3+…+an﹣1an= .
16.设直线l为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4, =2,则p= .
三、解答题.6个大题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)在极坐标系中,曲线C:ρ=2cosθ,l:ρcos(θ﹣)=.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
18.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin Acos B+sinB=2sin C.
(1)求角A;
(2)若a=4,b+c=8,求△ABC 的面积.
19.(12分)某河流上的一座水利发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河流上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年的X值为:
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,
220,140,160.
(Ⅰ)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(Ⅱ)求近20年降雨量的中位数和平均降雨量;
(Ⅲ)假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520(万千瓦时)的概率.
20.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,为CC1的中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求点A1到平面ADB1的距离.
21.(12分)已知F1(﹣1,0),F2(1,0)分别是椭圆G: +=1(a>b>0)的左右焦点,点P在椭圆上,且PF2⊥F1F2,|PF1|﹣|PF2|=.
(1)求椭圆G方程;
(2)若点B是椭圆G的是上顶点,过F2的直线l与椭圆G交于不同的两点M,N,是否存在直线l,使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,说明理由.
22.(12分)已知函数f(x)=2x﹣﹣alnx(a∈R).
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=f(x)﹣x+2alnx,且g(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
2016-2017学年云南省玉溪一中高二(下)第一次月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题.共12小题,每小题5分,共60分.
1.设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|log2x>1},则A∩B=( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,2) C.(1,3) D.(2,3)
【考点】交集及其运算.
【分析】求出集合A,B,根据集合的交集定义进行计算.
【解答】解:∵log2x>1=log22,
∴x>2,
∴B=(2,+∞),
∵x2﹣4x+3<0,
∴(x﹣3)(x﹣1)<0,
解得1<x<3,
∴A=(1,3),
∴A∩B=(2,3),
故选:D
【点评】本题主要考查集合的基本运算,求出A,B的等价条件是解决本题的关键.
2.复数z=的实部为( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1、 D.0
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:∵z==,
∴复数z=的实部为0.
故选:D.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
3.等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,则{an}的前9项和等于( )
A.﹣18 B.9 C.18 D.36
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】由韦达定理得a3+a7=4,从而{an}的前9项和S9==,由此能求出结果.
【解答】解:∵等差数列{an}中,a3,a7是函数f(x)=x2﹣4x+3的两个零点,
∴a3+a7=4,
∴{an}的前9项和S9===.
故选:C.
【点评】本题考查等差数列的前9项和公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
4.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是( )
A.[﹣3,﹣1] B.[﹣1,3] C.[﹣3,1] D.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞)
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,可得圆心到直线x﹣y+1=0的距离不大于半径,从而可得不等式,即可求得实数a取值范围.
【解答】解:∵直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点
∴圆心到直线x﹣y+1=0的距离为
∴|a+1|≤2
∴﹣3≤a≤1
故选C.
【点评】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线的距离不大于半径,建立不等式.
5.若如图框图所给的程序运行结果为S=41,则图中的判断框(1)中应填入的是( )
A.i>6? B.i≤6? C.i>5? D.i<5?
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行,当k=5时,不满足判断框的条件,退出循环,从而到结论.
【解答】解:模拟执行程序,可得
i=10,S=1
满足条件,执行循环体,第1次循环,S=11,K=9,
满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,K=8,
满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,K=7,
满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,K=6,
满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,K=5,
此时S不满足输出结果,退出循环,
所以判断框中的条件为k>5.
故选:C.
【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,同时考查了推理能力,属于基础题.
6.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位后经过点(,﹣),则φ等于( )
A.﹣ B.﹣ C.0 D.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象和性质即可得出结论.
【解答】解:∵函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向右平移个单位后,
得到的函数解析式为y=2sin(2x﹣+φ),
又∵所得图象经过点(,﹣),即:﹣ =2sin(﹣+φ),可得:sin(﹣+φ)=﹣,
∴解得:φ=2kπ﹣,k∈Z,或φ=2kπ+,k∈Z,
∵|φ|<,
∴φ=﹣.
故选:A.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.
7.设函数f(x)=x2﹣2x﹣3,若从区间[﹣2,4]上任取一个实数x0,则所选取的实数x0满足f(x0)≤0的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】
由题意知本题是一个几何概型,概率的值为对应长度之比,根据题目中所给的不等式解出解集,解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率.
【解答】解:由题意知本题是一个几何概型,概率的值为对应长度之比,
由f(x0)≤0,得到x02﹣2x0﹣3≤0,且x0∈[﹣2,4]
解得:﹣1≤x0≤3,
∴P==,
故选:A.
【点评】本题主要考查了几何概型,以及一元二次不等式的解法,概率题目的考查中,概率只是一个载体,其他内容占的比重较大,属于基础题.
8.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.16 B.12 C. +4 D.4+4
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可得,直观图是正四棱锥,底面是正方形,斜高为2,即可求出该几何体的表面积.
【解答】解:由三视图可得,直观图是正四棱锥,底面是正方形,斜高为2,该几何体的表面积为=12,
故选B.
【点评】本题考查由三视图求面积,考查学生的计算能力,确定直观图的形状是关键.
9.下列命题中,是真命题的是( )
A.∃x0∈R,ex0≤0
B.∀x∈R,2x>x2
C.已知a,b为实数,则a+b=0的充要条件是=﹣1
D.已知a,b为实数,则ab>1是a>1且b>1 的必要不充分条件
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】由指数函数ex>0恒成立,即可判断A;由x=2或4,可得2x=x2,即可判断B;
由b为0和不为0,结合充分必要条件,即可判断C;
由a=﹣3,b=﹣2,满足ab>1,推不出a>1且b>1,但a>1且b>1,可得ab>1,即可判断D.
【解答】解:对于A,由ex>0恒成立,可得∃x0∈R,ex0≤0,不正确;
对于B,由x=2或4,可得2x=x2,可得∀x∈R,2x>x2不正确;
对于C,已知a,b为实数,若b≠0时,则a+b=0的充要条件是=﹣1,b=0不正确,
a+b=0的充分不必要条件是=﹣1,故C错;
对于D,已知a,b为实数,则ab>1是a>1且b>1 的必要不充分条件,由a>1且b>1,可得ab>1,
反之若a=﹣3,b=﹣2,满足ab>1,推不出a>1且b>1,故D正确.
故选D.
【点评】本题考查命题的真假判断,主要是全称命题和特称命题的判断、以及充分必要条件的判断,注意运用定义法,考查判断能力,属于基础题.
10.设样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为2和5,若yi=xi+a(a为非零实数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为( )
A.2,5 B.2+a,5 C.2+a,5+a D.2,5+a
【考点】众数、中位数、平均数.
【分析】根据题意,由样本x1,x2,…,x10
数据的平均值和方差分别为2和5,可得=(x1+x2+…+x10)=2, = [(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+…+(x10﹣2)2]=5,进而对于数据yi=xi+a,由平均数、方差的公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,样本x1,x2,…,x10数据的平均值和方差分别为2和5,
则有=(x1+x2+…+x10)=2,
= [(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+…+(x10﹣2)2]=5,
对于yi=xi+a;
则有=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10+10a)=2+a,
= [(y1﹣2﹣a)2+(y2﹣2﹣a)2+…+(y10﹣2﹣a)2]=5,
故选:B.
【点评】本题考查数据的平均数、方差的计算,关键是掌握数据的平均数、方差的计算公式.
11.表面积为20π的球面上有四点S、A、B、C,且△ABC是边长为2的等边三角形,若平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S﹣ABC体积的最大值是( )
A.2 B.3 C. D.4
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】作出直观图,根据球和等边三角形的性质计算△SAB的面积和棱锥的最大高度,代入体积公式计算.
【解答】解:取AB中点D,连结SD,设球O半径为r,则4πr2=20π,
解得r=,△ABC是边长为2的等边三角形,AB=2,CD=3.AD=,
过S作ABC的垂线,垂足是AB的中点时,
所求三棱锥的体积最大,此时△SAB与△ABC全等,SD=3,三棱锥S﹣ABC体积V=S△SAB•CD=..
故选:B.
【点评】本题考查了棱锥的体积计算,空间几何体的作图能力,准确画出直观图找到棱锥的最大高度是解题关键,属于中档题.
12.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( )
A.f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0) B.f(ln2)>2f(0),f(2)>e2f(0)
C.f(ln2)<2f(0),f(2)>e2f(0) D.f(ln2)>2f(0),f(2)<e2f(0)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】令g(x)=,求出函数g(x)的导数,判断函数的单调性,从而求出答案.
【解答】解:令g(x)=,
则g′(x)=<0,
故g(x)在R递减,
而ln2>0,2>0,
故g(ln2)<g(0),g(2)<g(0),
即<,<,
即f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0),
故选:A.
【点评】本题考查了函数的单调性、导数的应用,构造函数g(x)=
是解题的关键,本题是一道中档题.
二、填空题.本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量,满足⊥(﹣),且||=3,||=2,则与的夹角为 .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积的定义与夹角公式,计算即可.
【解答】解:向量,满足⊥(﹣),且||=3,||=2,
∴•(﹣)=﹣•=0;
设与的夹角为θ,
则32﹣3×2×cosθ=0,
解得cosθ=;
又θ∈[0,π],
∴θ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与夹角公式的应用问题,是基础题.
14.设实数x,y满足,则2y﹣x的最大值为 5 .
【考点】简单线性规划.
【分析】画出可行域,将目标函数变形画出相应的直线,将直线平移至A时纵截距最大,z最大.
【解答】解:画出,的可行域如图:
将z=2y﹣x变形为y=x+z作直线y=
x将其平移至A时,直线的纵截距最大,z最大,
由可得A(﹣1,2),
z的最大值为:5.
故答案为:5.
【点评】利用线性规划求函数的最值时,关键是将目标函数赋予几何意义.
15.我国古代数学名著《九章算术》中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两步为:
第一步:构造数列1,,,,…,.①
第二步:将数列①的各项乘以n,得到数列(记为)a1,a2,a3,…,an.则a1a2+a2a3+…+an﹣1an= n(n﹣1) .
【考点】数列的求和.
【分析】利用“裂项求和”方法即可得出.
【解答】解:∵ak=.
n≥2时,ak﹣1ak==n2(﹣).
∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2[(1﹣)+()+…+(﹣)]=n2(1﹣)=n(n﹣1).
故答案为:n(n﹣1)
【点评】本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.设直线l为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4, =2,则p= 2 .
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】分别过A、B作准线的垂线,利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离,结合已知比例关系,在直角三角形ADC中求线段PF长度即可得p值,进而可得方程.
【解答】解:如图过A作AD垂直于抛物线的准线,垂足为D,
过B作BE垂直于抛物线的准线,垂足为E,P为准线与x轴的焦点,
由抛物线的定义,|BF|=|BE|,|AF|=|AD|=4,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BE|,∴∠DCA=30°
∴|AC|=2|AD|=8,∴|CF|=8﹣4=4,
∴|PF|=|CF|═2,即p=|PF|=2,
故答案为:2
【点评】本题考查抛物线的定义及其应用,抛物线的几何性质,过焦点的弦的弦长关系,转化化归的思想方法,属中档题
三、解答题.6个大题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2017春•红塔区校级月考)在极坐标系中,曲线C:ρ=2cosθ,l:ρcos(θ﹣)=.
(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程;
(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.
【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程的转化方法,即可把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程;
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)=3cosθ﹣sinθ=2cos(θ+),利用三角函数的单调性即可得出.
【解答】解:(1)曲线C:ρ=2cosθ,即ρ2=2cρosθ,直角坐标方程为:x2+y2=2x,即(x﹣1)2+y2=1.
l:ρcos(θ﹣)=,l的直角坐标方程为x+y﹣3=0.
(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos(θ+)
=3cosθ﹣sinθ=2cos(θ+),
当θ=﹣时,|OA|+|OB|取得最大值2.
【点评】本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、极坐标方程的应用、三角函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.(12分)(2017春•红塔区校级月考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2sin Acos B+sinB=2sin C.
(1)求角A;
(2)若a=4,b+c=8,求△ABC 的面积.
【考点】三角形中的几何计算.
【分析】(1)利用和角的三角函数,即可求角A;
(2)若a=4,b+c=8,求出bc,即可求△ABC 的面积.
【解答】解:(1)∵2sin Acos B+sinB=2sin C,
∴2sin Acos B+sinB=2sin (A+B)
得2sin Acos B+sinB=2sinAcosB+2cosAsinB,
∴cosA=,
∵0°<A<180°,
∴A=60°.
(2)由余弦定理48=b2+c2﹣bc
b+c=8,配方得64﹣3bc=48,得bc=,
∴△ABC 的面积S==.
【点评】本题考查三角形面积的计算,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题.
19.(12分)(2014•泰安一模)某河流上的一座水利发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河流上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年的X值为:
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,
220,140,160.
(Ⅰ)完成如下的频率分布表:
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(Ⅱ)求近20年降雨量的中位数和平均降雨量;
(Ⅲ)假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520(万千瓦时)的概率.
【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布表.
【分析】(Ⅰ)由近20年X的值分别查出降雨量为110,160,220的频数,由频数除以20得频率分别为,,,然后填入频率分布表;
(Ⅱ)直接把20个数值从小到大排列求中位数,由平均数公式求平均数;
(Ⅲ)由已知可知发电量与降雨量呈一次函数关系,设出一次函数解析式,由X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5得到斜率和截距,再由Y≥520求得X的范围,从而可知2014年六月份的降雨量情况,进一步求得2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520(万千瓦时)的概率.
【解答】解:(Ⅰ)近20年降雨量为110,160,220的频数分别为:3、7、2,由频数除以20得频率分别为,,,频率分布表如图:
(Ⅱ)20个数从小到大排列为:70,110,110,110,140,140,140,140,160,160,160,160,160,160,160,200,200,200,220,220
中位数是160;
平均降雨量;
(Ⅲ)由已知可设
∵X=70时,Y=460,∴B=425,
∴.
当Y≥520时,由,解得:X≥190.
∴发电量不低于520(万千瓦时)包含降雨量200和220两类,它们彼此互斥,
∴发电量低于520(万千瓦时)的概率.
【点评】本题考查了古典概型及其概率公式,考查了离散型随机变量的分布列,考查了频率与概率之间的关系,是基础题.
20.(12分)(2017•武汉模拟)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥
平面BCC1B1,为CC1的中点.
(1)求证:DB1⊥平面ABD;
(2)求点A1到平面ADB1的距离.
【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出B1D⊥BD,AB⊥DB1,由此能证明DB1⊥平面ABD.
(2)对于四面体A1﹣ADB1,A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离,设A1到面B1D的距离为h,由=,能求出点A1到平面ADB1的距离.
【解答】证明:(1)在平面四边形BCC1B1中,
∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=60°,∴BD=1,
∵B1D=,BB1=2,∴∠BDB1=90°,∴B1D⊥BD,
∵AB⊥面BB1C1C,∴AB⊥DB1,
∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直,
∴DB1⊥平面ABD.
解:(2)对于四面体A1﹣ADB1,A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离,
A1到B1D的距离为2,
设A1到面B1D的距离为h,
△ADB1为直角三角形, ==,
∴=,
∵==2,D到平面AA1B1的距离为,
∴==,
∵=,∴,解得h=.
∴点A1到平面ADB1的距离为.
【点评】本题考查线面垂直的证明,考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
21.(12分)(2017春•红塔区校级月考)已知F1(﹣1,0),F2(1,0)分别是椭圆G: +=1(a>b>0)的左右焦点,点P在椭圆上,且PF2⊥F1F2,|PF1|﹣|PF2|=.
(1)求椭圆G方程;
(2)若点B是椭圆G的是上顶点,过F2的直线l与椭圆G交于不同的两点M,N,是否存在直线l,使得△BF2M与△BF2N的面积的比值为2?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,说明理由.
【考点】直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由椭圆的定义及条件求得|PF1|=,|PF2|=,利用勾股定理求得a,由b=1,b2=a2﹣c2=3,即可求得椭圆方程;
(2)由三角形的面积,可知=﹣2,方法一:设x=my+1,代入椭圆方程,由韦达定理及y1=﹣2y2,即可求得m的值,求得直线l的方程;
方法二:设直线l的方程为y=k(x﹣1),代入椭圆方程,由韦达定理及y1=﹣2y2,即可求得k的值,求得直线l的方程;
【解答】解:(1)由椭圆的定义可知:|PF1|﹣|PF2|=2a,|PF1|﹣|PF2|=.
则|PF1|=,|PF2|=,
由PF2⊥F1F2,则|PF1|2﹣|PF2|2=丨F1F2丨2,得|PF1|2﹣|PF2|2=4,
解得:a2=3,
由c=1,b2=a2﹣c2=3,
∴椭圆G方程;
(2)B到直线MN的距离d,
则△BF2M面积S1=•丨MF2丨•d,
△BF2N的面积S2=•丨NF2丨•d,
=2,则=﹣2,
设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:x=my+1,
则y1=﹣2y2,
,得整理(3k2+4)y2+6my﹣9=0,
由韦达定理可知:y1+y2=﹣,y1y2=,
解得:y1=﹣,y2=,
∴(﹣)×=,
解得:m=±,
∴直线l的方程:x=±y+1;
方法二:B到直线MN的距离d,
则△BF2M面积S1=•丨MF2丨•d,
△BF2N的面积S2=•丨NF2丨•d,
=2,则=﹣2,
当直线l斜率不存在时,FM与FN比值为1,不符合题意,舍去;
当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x﹣1),
直线l的方程代入椭圆方程,消x并整理得(3+4k2)y2+6ky﹣9k2=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=﹣①,y1y2=﹣②
由FM与FN比值为2得y1=﹣2y2③
由①②③解得k=±,
∴存在直线l:y=±(x﹣1)使得△BFM与△BFN的面积比值为2.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,向量数量积的坐标运算,考查学生的计算能力,属于中档题.
22.(12分)(2017春•红塔区校级月考)已知函数f(x)=2x﹣﹣alnx(a∈R).
(1)当a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)设g(x)=f(x)﹣x+2alnx,且g(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)求导,由g(x)有两个极值点x1,x2,g′(x)=0,方程在(0,+∞)内有两个不相等的实根,即可求得a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=3时,f(x)=2x﹣﹣3lnx,(x>0),
求导f′(x)=2+﹣=,令f'(x)=0,解得:x=或x=1,
当0<x<或x>1时,f'(x)>0,函数单调递增;
当<x<1时,f'(x)<0,函数单调递减;
故f(x)的单调递增区间是(0,),(1,+∞),单调递减区间是(,1);
文(2):由已知得g(x)=x﹣+alnx,(0,+∞),
g′(x)=1++=,
令g′(x)=0,得x2+ax+1=0,
g(x)有两个极值点x1,x2,
∴,解得:a<﹣2,
a的取值范围(﹣∞,﹣2).
【点评】本题考查导数的综合应用,利用导数求函数的单调区间,利用导数判断函数的极值,考查计算能力,属于中档题.