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  • 2021-06-22 发布

专题18+三角恒等变换-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

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‎【高考地位】‎ 三角函数学习中,有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等,都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧,而三角变换主要为三角恒等变换,是常用的解题工具. 但由于三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且对发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 运用转化与化归思想 使用情景:含不同角的三角函数式类型 解题模板:第一步 利用各种角之间的数值关系,将它们互相表示,改变原角的形式;‎ 第二步 运用有关公式进行变形,主要是角的拆变;‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 已知,则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ 第三步,得出结论:‎ ‎ ,故答案为.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换,属于基础试题,本题的解答中注意角的整体性和配凑.‎ ‎【变式演练1】【2018年佛山市高三教学质量检测(二)】已知,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:‎ 已知,由同角关系式求得,然后由两角差的余弦公式求值.‎ 点睛:‎ 在应用同角间的三角函数关系特别是平方关系求函数值时,一定要先确定角的象限,这样才能确定(或)的正负,否则易出现错误结论.‎ ‎【变式演练2】已知 均为锐角,且, .‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ 考点:1. 同角三角函数基本关系;2. 两角差的余弦公式 方法二 运用函数方程思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 将把某个三角函数式看作未知数,利用已知条件或公式列出关于未知数的方程;‎ 第二步 求解方程组;‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 已知,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一步,将把某个三角函数式看作未知数,利用已知条件或公式列出关于未知数的方程:‎ 由可得: ‎ 第二步,得出结论:‎ 所以原式,故选:B ‎【点评】三角函数也是函数中的一种,其变换的实质仍是函数的变换.因此,有时在三角恒等变换中,可 以把某个三角函数式看作未知数,利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. ‎ ‎【变式演练3】设是方程的两根,则的值为( )‎ A.-3 B.-1 C.1 D.3‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 考点:1.韦达定理;2.两角和的正切公式.‎ 名师点睛:此题考查两角和的正切公式的整体思想,是方程的两个根,但不要求方程的两根分别是多少,而用韦达定理,整体求两根之和,两根之积,然后代入.‎ ‎【变式演练4】【江西省重点中学协作体2018届高三下学期第一次联考数学(理)试题】‎ 若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件得,‎ 将上式两边分别平方,得,‎ 即,‎ 解得或(舍去),‎ ‎∴.选B.‎ 方法三 运用换元思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 运用换元法将未知向已知转化;‎ 第二步 利用特定的关系,把某个式子用新元表示,实行变量替换;‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 若求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【点评】本题属于“理解”层次,解题的关键是将要求的式子看作一个整体,通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.‎ ‎【变式演练4】【四省名校(南宁二中等)2018届高三上学期第一次大联考数学(文)试题】‎ 已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得: ,‎ 则: ,利用二倍角公式有:‎ ‎.‎ 本题选择A选项. ‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国III文,4】已知,则=( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎ (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2.【2018年全国I卷】已知角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边上有两点,,且,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两点都在角的终边上,得到,利用,利用倍角公式以及余弦函数的定义式,求得,从而得到,再结合,从而得到,从而确定选项.‎ ‎【详解】‎ 由三点共线,从而得到,‎ 因为,‎ 解得,即,‎ 所以,故选B. ‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题,涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系,余弦的倍角公式,余弦函数的定义式,根据题中的条件,得到相应的等量关系式,从而求得结果.‎ ‎3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中,若,则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ 考点:三角恒等变换,切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律,利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口,斜三角形中恒有,这类同于正余弦定理,是一个关于切的等量关系,平时多总结积累常见的三角恒等变形,提高转化问题能力,培养消元意识 ‎4.【2018年全国卷Ⅲ】若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析:由公式可得。‎ 详解:‎ 故答案为B.‎ ‎5.【2015高考重庆,文6】若,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式,采用先将未知角用已知角和表示出来,再用正切的差角公式求解.本题属于基础题,注意运算的准确性.‎ ‎6.【2018年全国卷II】已知,则__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 点睛:本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况,属于简单题型,解决此类问题的核心是要公式记忆准确,特殊角的三角函数值运算准确.‎ ‎7.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P().‎ ‎(Ⅰ)求sin(α+π)的值;‎ ‎(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 或 .‎ ‎【解析】‎ 分析:(Ⅰ)先根据三角函数定义得,再根据诱导公式得结果,(Ⅱ)先根据三角函数定义得,再根据同角三角函数关系得,最后根据,利用两角差的余弦公式求结果. ‎ 点睛:三角函数求值的两种类型:‎ ‎(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;‎ ‎②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.‎ ‎【反馈练习】‎ 1. ‎【湖北省长望浏宁四县2018年高三3月联合调研考试数学试题】若 ‎,则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴,‎ ‎.‎ 故选:D ‎2.【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学】已知,则 ( )‎ A. B. C. D. 6‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎3.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试】设,若,‎ 则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以原式等于 ‎ 而 , ‎ ‎ ,又因为,‎ 所以,可求得 ,‎ 那么,‎ 那么,故选B. ‎ ‎4.【陕西省榆林市2018届高考模拟】若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的区别和联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;‎ ‎(2)而看“函数名称”看函数名称之间的差异,从而确定使用公式,常见的有“切化弦”;‎ ‎(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式通分”等.‎ ‎5.【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟】设,若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,‎ 所以 ‎,‎ 故选D。‎ ‎6.【河北省涞水波峰中学2018届高三上学期联考】已知,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7.【四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题】已知是锐角,若,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】, 是锐角,‎ 则 故选 ‎8.【山西省2018届高三第一次模拟考试】已知,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9.【百校联盟2018届高三开学摸底联考数学】如图,某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地, 外的地方种草, 的内接正方形为一水池,其余的地方种花,若, ,设的面积为,正方形的面积为,当固定, 变化时,则的最小值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,‎ 令,则, ‎ ‎, 函数在上递减,‎ 因此当时, 有最小值, ,此时, ‎ 当时,“规划合理度”最小,最小值为,故答案为.‎ ‎10.【2018年全国统一考试模拟考】已知函数在半个周期内的图象的如图所示, 为图象的最高点, , 是图象与直线的交点,且.‎ ‎(1)求的值及函数的值域;‎ ‎(2)若,且,求的值.‎ ‎【答案】(1) .(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用辅助角公式化简函数解析式为.由, ,可得, 是等腰直角三角形.由点到直线的距离为,得函数的周期为,从而可得解析式,,进而可得函数的值域;(2)由,且,可求出的正弦值和余弦值, ,利用两角和的正弦公式可得结果.‎ ‎(2)由(1),知 因为,所以 因为,所以,‎ 所以,所以 ‎.‎