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- 2021-06-22 发布
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高考仿真模拟练(一)
(时间:120分钟;满分:150分)
选择题部分
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|x2-x-2≤0},B={x|x<1,且x∈Z},则A∩B=( )
A.{-1} B.{0}
C.{-1,0} D.{0,1}
2.若复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数a的值为( )
A.2 B.
C.- D.-2
3.设a∈R,则“a>0”是“a+≥2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则P点的坐标为( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
5.函数y=(a>1)的图象大致形状是( )
6.已知变量x,y满足约束条件若不等式2x-y+m2≥0恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.[-,] B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞) D.(-∞,-]∪[,+∞)
7.随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=( )
X
0
2
a
P
p
A.2 B.3
C.4 D.5
8.已知平面向量a,b,c满足c=xa+yb(x,y∈R),且a·c>0,b·c>0.( )
A.若a·b<0则x>0,y>0 B.若a·b<0则x<0,y<0
C.若a·b>0则x<0,y<0 D.若a·b>0则x>0,y>0
9.
如图,四棱锥PABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形,则异面直线CD与PB所成角的大小为( )
A.90° B.75°
C.60° D.45°
10.若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意的x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0]
C.(-∞,3] D.(-∞,4]
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
非选择题部分
二、填空题:本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则F到l的距离为________,|FB|=________.
12.
某几何体的三视图如图所示,当xy取得最大值为________时,该几何体的体积是________.
13.在△ABC中,角A,B,C分别对应边a,b,c,S为△ABC的面积.已知a=4,b=5,C=2A,则c=________,S=________.
14.已知数列{an}满足a1=2且对任意的m,n∈N*,都有=an,则a3=________;{an}的前n项和Sn=________.
15.安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有________种.(用数字作答)
16.已知f(x)=x3+ax-2b,如果f(x)的图象在切点P(1,-2)处的切线与圆(x-2)2+(y+4)2=5相切,那么3a+2b=________.
17.若二项式展开式的二项式系数之和为32,常数项为10,则实数m的值为________.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
19.
(本题满分15分)在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1B1B是边长为2的正方形,点C在平面AA1B1B上的射影H恰好为A1B的中点,且CH=,设D为CC1的中点.
(1)求证:CC1⊥平面A1B1D;
(2)求DH与平面AA1C1C所成角的正弦值.
20.(本题满分15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,公差d≠0,且S1,S3,S9成等比数列,数列{bn}满足b1S1+b2S2+…+bnSn=6-(n∈N*),{bn}的前n项和为Tn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)记Rn=++…+,试比较Rn与Tn的大小.21.(
本题满分15分)已知抛物线y2=2px,过焦点且垂直x轴的弦长为6,抛物线上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2),其中x1≠x2且x1+x2=4,线段AB的垂直平分线与x轴交于点C.
(1)求抛物线方程;
(2)试证线段AB的垂直平分线经过定点,并求此定点;
(3)求△ABC面积的最大值.
22.(本题满分15分)已知函数f(x)=ln x+x2-ax+2,(a∈R)在定义域内不单调.
(1)求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)存在3个不同的零点,证明:存在m,n∈(0,+∞),使得<2-3.
高考仿真模拟练(一)
1.解析:选C.依题意得A={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x≤2},因此A∩B={x|-1≤x<1,x∈Z}={-1,0},选C.
2.解析:选A.法一:由题意得===+i为纯虚数,则=0,且≠0,解得a=2.故选A.
法二:由题意,令=ti(t≠0),则1+ai=t+2ti,则解得
3.解析:选C.由a>0得,a+≥2=2,所以是充分条件;
由a+≥2可得a>0,所以是必要条件,
故“a>0”是“a+≥2”的充要条件.故选C.
4.解析:选C.f′(x)=3x2-1,令f′(x)=2,则3x2-1=2,解得x=1或x=-1,所以P(1,3)或(-1,3),经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,故选C.
5.解析:选B.当x>0时,y=ax,因为a>1,所以是增函数,排除C、D,当x<0时,y=-ax,是减函数,所以排除A.故选B.
6.解析:选D.
作出约束条件
所对应的可行域(图中阴影部分),令z=-2x+y,
当直线经过点A(-4,-1)时,z取得最大值,
即zmax=-2×(-4)-1=7,
所以m的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞),故选D.
7.解析:选C.由题意可得:+p+=1,解得p=,因为E(X)=2,所以0×+2×+a×=2,解得a=3.D(X)=(0-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=1.D(2X-3)=4D(X)=4.故选C.
8.解析:选A.由a·c>0,b·c>0,若a·b<0,
可举a=(1,1),b=(-2,1),c=(0,1),
则a·c=1>0,b·c=1>0,a·b=-1<0,
由c=xa+yb,即有0=x-2y,1=x+y,
解得x=,y=,则可排除B;
若a·b>0,可举a=(1,0),b=(2,1),c=(1,1),
则a·c=1>0,b·c=3>0,a·b=2>0,
由c=xa+yb,即有1=x+2y,1=y,解得x=-1,y=1,
则可排除C,D.故选A.
9.解析:选A.延长DA至E,
使AE=DA,连接PE,BE,因为∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,所以DE=BC,DE∥BC.
所以四边形CBED为平行四边形.
所以CD∥BE.
所以∠PBE(或其补角)就是异面直线CD与PB所成的角.
在△PAE中,AE=PA,∠PAE=120°,
由余弦定理得
PE=
=
=AE.
在△ABE中,AE=AB,∠BAE=90°,
所以BE=AE.
因为△PAB是等边三角形,
所以PB=AB=AE.
因为PB2+BE2=AE2+2AE2=3AE2=PE2,所以∠PBE=90°.故选A.
10.解析:选D.f(x)=2x+1-x2-2x-2≤0,即2x+1≤x2+2x+2.设g(x)=2x+1,h(x)=x2+2x+2,当x≤-1时,0<g(x)≤1,h(x)=x2+2x+2≥1,所以当a≤-1时,满足对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立;当-1<x<4时,因为g(0)=h(0)=2,g(1)=4<h(1)=5,g(2)=8<h(2)=10,g(3)=16<h(3)=17,所以当-1<a≤4时,亦满足对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立;当x≥4时,易知f′(x)=2x+1·ln 2-2x-2,设F(x)=2x+1·ln 2-2x-2,则F′(x)=2x+1·(ln 2)2-2>0,所以F(x)=2x+1·ln 2-2x-2在[4,+∞)上是增函数,所以f′(x)≥f′(4)=32ln 2-10>0,所以函数f(x)=2x+1-x2-2x-2在[4,+∞)上是增函数,所以f(x)≥f(4)=32-16-8-2=6>0,即当a>4时,不满足对任意的x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立.
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,4].
11.解析:依题意可知F点坐标为,所以B点坐标为,代入抛物线方程解得p=,所以F到l的距离为,|FB|=+=.
答案:
12.
解析:分析题意可知,该几何体为如图所示的四棱锥PABCD,
CD=,AB=y,AC=5,CP=,BP=x,所以BP2=BC2+CP2,即x2=25-y2+7,x2+y2=32≥2xy,则xy≤16,当且仅当x=y=4时,等号成立.此时该几何体的体积V=××3×=3.
答案:16 3
13.6
14.解析:因为=an,所以an+m=an·am,所以a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=23=8;令m=1,则有an+1=an·a1=2an,所以数列{an}是首项为a1=2,公比q=2的等比数列,所以Sn==2n+1-2.
答案:8 2n+1-2
15.解析:根据题意,按五名同学分组的不同分2种情况讨论;
①五人分为2,2,1的三组,有=15(种)分组方法,对应三个暑期社会实践活动,有15×A=90(种)安排方案;
②五人分为3,1,1的三组,有=10(种)分组方法,对应三个暑期社会实践活动,有10×A=60(种)安排方案;
综上,共有90+60=150(种)不同的安排方案.
答案:150
16.解析:由题意得f(1)=-2⇒a-2b=-3,又因为f′(x)=3x2+a,所以f(x)的图象在点(1,-2)处的切线方程为y+2=(3+a)(x-1),即(3+a)x-y-a-5=0,所以=⇒a=-,所以b=,所以3a+2b=-7.
答案:-7
17.解析:因为二项式展开式的二项式系数之和为32,所以2n=32,所以n=5,因为Tr+1=C()5-r=Cmrx-r,令-r=0,得r=1,所以常数项为Cm=10,所以m=2.
答案:2
18.解:(1)由已知,有f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,且f=-,f=-,f=,
所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
19.解:
(1)证明:如图,以H为原点,建立空间直角坐标系,则C(0,0,),C1(,,),A1(,0,0),B1(0,,0),
所以=(,,0),
=,
=,
所以·=0,·=0,
因此CC1⊥平面A1B1D.
(2)设平面AA1C1C的法向量n=(1,x,y),由于=(,,0),=(-,0,),
则n·=+x=0,n·=-+y=0,得x=-1,y=,
所以n=.
又=,
所以sin θ===.
20.解:(1)由已知得S=S1·S9,
即(3+3d)2=9+36d,
又d≠0,所以d=2,所以an=2n-1,Sn=n2,
由b1×12+b2×22+…+bn×n2=6-得b1=,
n≥2时,bn×n2=6--6+=,
所以bn=,显然b1=也满足.
所以bn=(n∈N*).
(2)Tn=1-,Tn=(1-),
Rn=++…+=
=(1-).
当n=1时,21<2×1+1=3,R1>T1;
当n=2时,22<2×2+1=5,R2>T2;
当n≥3时,2n=(1+1)n=1+C+C+C+…>1+n+≥2n+1;
所以RnTn;当n≥3时Rn0,-22.
(2)证明:令f′(x)==0的两根为x1,x2,且x10,f(x2)<0,
f(x1)=ln x1+x-x1+2=ln x1-x+1,
同理f(x2)=ln x2-x+1,
令g(x)=ln x-x2+1,则g′(x)=-2x<0得x>,
所以g(x)在上单调递增,在上单调递减,
因为g(1)=0,所以x2>1,
又因为g>0,
当x→0时,g(x)→-∞,
所以存在x0∈使得g=0,因为g(x1)>0,
所以=x1>x0,
所以1h(n),
即f(m)-f(n)>(2-3)(m-n),
即<2-3;
若t1