数学文·湖南省邵阳市邵东三中2017届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）+Word版含解析 24页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}‎ ‎2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎3．3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2+ac﹣b2=0，则角B是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C长轴长为（　　）‎ A．5 B．10 C．4 D．8‎ ‎6．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）‎ A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣）‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（　　）‎ A．112cm3 B． cm3 C．96cm3 D．224cm3‎ ‎8．在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）‎ A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）‎ ‎9．如图所示，该程序框图运行后输出的结果为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1ACC1所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．已知A（1，3），B（2，4），=（2x﹣1，x2+3x﹣3），且=，则x=　　．‎ ‎14．不查表求tan105°的值为　　．‎ ‎15．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为　　．‎ ‎16．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表 ‎ a b（万吨）‎ c（百万元）‎ A ‎50%‎ ‎1‎ ‎3‎ B ‎70%‎ ‎0.5‎ ‎6‎ 某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为　　（百万元）‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），a3=5，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+2n求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PA∥平面BDE．‎ ‎（2）设AC=6，BD=4，PA=3，求四棱锥E﹣ABCD的体积．‎ ‎19．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f a ‎0.2‎ ‎0.45‎ b c ‎（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．‎ ‎20．如图，已知直线l：y=kx﹣2与抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点， +=（﹣4，﹣12）．‎ ‎（1）求直线l和抛物线C的方程；‎ ‎（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣2（x﹣1），求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎　‎ 选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．‎ ‎（1）求证：∠AEF=∠EDF；‎ ‎（2）设EF=6，求FG的长．‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，Ox正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）设C1与C2相交于A，B两点，求A，B两点的极坐标．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省邵阳市邵东三中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（　　）‎ A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，‎ 则A∩B={3，5}．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z﹣1，进一步求得z．‎ ‎【解答】解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，‎ ‎∴z=2﹣i．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．3名学生排成一排，其中甲、乙两人站在一起的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等可能事件的概率．‎ ‎【分析】根据甲、乙两人站在一起的站法有A22•A22=4 种，所有的站法有A33=6种，由此求得甲、乙两人站在一起的概率．‎ ‎【解答】解：甲、乙两人站在一起的站法有A22•A22=4 种，所有的站法有A33=6种，‎ 故 其中甲、乙两人站在一起的概率是=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．设△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2+c2+ac﹣b2=0，则角B是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a2+c2+ac﹣b2=0，‎ 由余弦定理可得：cosB===﹣，‎ B∈（0，π），解得B=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，则椭圆C长轴长为（　　）‎ A．5 B．10 C．4 D．8‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由2b=6，得b=3，椭圆的离心率e====，即可求得a的值，求得椭圆C长轴长．‎ ‎【解答】解：可知：2b=6，b=3，‎ e====，‎ ‎∴a=5，‎ 椭圆C长轴长为2a=10，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）‎ A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣）‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．‎ ‎【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，‎ 由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，‎ 可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，‎ 即有y=2sin（2x﹣）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（　　）‎ A．112cm3 B． cm3 C．96cm3 D．224cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体是一个简单的组合体，上面是一个正四棱锥，底面的边长是4，棱锥的高是2，下面是一个正四棱柱，底面是边长为4的正方形，侧棱长是4，根据棱锥的体积公式和棱柱的体积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知几何体是一个简单的组合体，‎ 上面是一个正四棱锥，底面的边长是4，棱锥的高是2，‎ 下面是一个正四棱柱，底面是边长为4的正方形，侧棱长是4，‎ ‎∴几何体的体积是=（cm3）‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在下列区间中，函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（　　）‎ A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据导函数判断函数f（x）=ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex+4x﹣3‎ ‎∴f′（x）=ex+4‎ 当x＞0时，f′（x）=ex+4＞0‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）=e0﹣3=﹣2＜0‎ f（）=﹣1＞0‎ f（）=﹣2=﹣＜0‎ ‎∵f（）•f（）＜0，‎ ‎∴函数f（x）=ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）‎ 故选：A ‎　‎ ‎9．如图所示，该程序框图运行后输出的结果为（　　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=4时，不满足a≤3，退出循环，输出b的值为8．‎ ‎【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1‎ 满足a≤3，b=2，a=2‎ 满足a≤3，b=4，a=3‎ 满足a≤3，b=8，a=4‎ 不满足a≤3，退出循环，输出b的值为8．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1ACC1所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】连接BD，BD∩AC=0，连接OC1，确定∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：连接BD，BD∩AC=0，连接OC1，‎ 由正方体的性质可得BO⊥AC，BO⊥AA1且AA1∩AC=A ‎∴BO⊥平面AA1C1C ‎∴∠BC1O为直线BC1与平面A1ACC1所成的角 设正方体的棱长为a，则OB=a，BC1=a 在Rt△BC1O中，sin∠BC1O===‎ ‎∴∠BC1O=‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x＜1，函数是减函数．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间．‎ ‎【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）的导数为 f′（x）=2x﹣，‎ 令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．‎ 即有单调减区间为（0，1）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13．已知A（1，3），B（2，4），=（2x﹣1，x2+3x﹣3），且=，则x=　1　．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】求出，利用向量相等，列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：A（1，3），B（2，4），=（2x﹣1，x2+3x﹣3），‎ ‎=（1，1），‎ ‎=，‎ 可得：（2x﹣1，x2+3x﹣3）=（1，1），‎ 即，‎ 解得x=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．不查表求tan105°的值为　﹣2﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数．‎ ‎【分析】根据tan105°=tan（60°+45°），利用两角和的正切公式求得它的值．‎ ‎【解答】解：tan105°=tan（60°+45°）===﹣2﹣，‎ 故答案为：﹣2﹣．‎ ‎　‎ ‎15．若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为　0或4　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】由已知得圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，由此利用点到直线的距离公式能求出实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为2，‎ ‎∴圆心（a，0）到直线x﹣y=2的距离d==，‎ ‎∴，‎ 解得a=0或a=4，‎ 故答案为：0或4．‎ ‎　‎ ‎16．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表 ‎ a b（万吨）‎ c（百万元）‎ A ‎50%‎ ‎1‎ ‎3‎ B ‎70%‎ ‎0.5‎ ‎6‎ 某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为　15　（百万元）‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，由已知条件中，铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c，对应的表格，再根据生产量不少于 1.9（万吨）铁，及CO2的排放量不超过2（万吨）我们可以构造出约束条件，并画出可行域，利用角点法求出购买铁矿石的最少费用．‎ ‎【解答】解：设购买铁矿石A和B各x，y万吨，则购买铁矿石的费用z=3x+6y x，y满足约束条件 表示平面区域如图，‎ 则当直线z=3x+6y过点B（1，2）时，‎ 购买铁矿石的最少费用z=15‎ 故答案为：15‎ ‎　‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），a3=5，S10=100．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+2n求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a3=5，S10=100．可得，解出即可得出；‎ ‎（2）bn=2+2n=22n﹣1+2n，利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=5，S10=100．‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴an=2n﹣1．（n∈N*）．‎ ‎（2）bn=2+2n=22n﹣1+2n，‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点．‎ ‎（1）求证：PA∥平面BDE．‎ ‎（2）设AC=6，BD=4，PA=3，求四棱锥E﹣ABCD的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，由中位线定理得出PA∥OE，故结论成立；‎ ‎（2）VE﹣ABCD=VP﹣ABCD，代入体积公式计算即可．‎ ‎【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴O为AC的中点，又E为PC的中点，‎ ‎∴EO∥PA．‎ ‎∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，‎ ‎∴PA∥平面BDE．‎ ‎（2）S菱形ABCD==12，‎ VP﹣ABCD=S菱形ABCD•PA==12．‎ ‎∵E为PC的中点，‎ ‎∴VE﹣ABCD=VP﹣ABCD=6．‎ ‎　‎ ‎19．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f a ‎0.2‎ ‎0.45‎ b c ‎（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．‎ ‎【考点】概率的应用．‎ ‎【分析】（I）通过频率分布表得推出a+b+c=0.35．利用等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，分别求出b，c，然后求出a．‎ ‎（II）根据条件列出满足条件所有的基本事件总数，“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”的事件数，求解即可．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．‎ 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15‎ 等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1‎ 从而a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1‎ 所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．‎ ‎（II）从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：‎ ‎{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}‎ 设事件A表示“从x1，x2，x3，y1，y2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A包含的基本事件为：‎ ‎{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}共4个，‎ 又基本事件的总数为：10‎ 故所求的概率P（A）==0.4‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知直线l：y=kx﹣2与抛物线C：x2=﹣2py（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点， +=（﹣4，﹣12）．‎ ‎（1）求直线l和抛物线C的方程；‎ ‎（2）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）把直线与抛物线方程联立，设出A，B的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2，进而根据直线方程求得y1+y2的表达式，然后利用+=（﹣4，﹣12）求得p和k，则直线l和抛物线C的方程可得．‎ ‎（2）设P（x0，y0），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大；对抛物线方程求导，求得x0，代入抛物线方程求得y0，点P的坐标可得，进而利用点到直线的距离求得P到直线l的距离把直线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面积最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由得，x2+2pkx﹣4p=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2pk，y1+y2=k（x1+x2）﹣4=﹣2pk2﹣4，‎ 因为+=（x1+x2，y1+y2）=（﹣2pk，﹣2pk2﹣4）=（﹣4，﹣12），‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以直线l的方程为y=2x﹣2，抛物线C的方程为x2=﹣2y；‎ ‎（2）设P（x0，y0），依题意，抛物线过P的切线与l平行时，△APB面积最大，y′=﹣x，‎ 所以﹣x0=2⇒x0=﹣2，y0=﹣x02=﹣2，所以P（﹣2，﹣2）．‎ 此时P到直线l的距离d==，‎ 由得，x2+4x﹣4=0，‎ ‎|AB|==4，‎ ‎∴△ABP的面积最大值为×4×=8．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）求函数f（x）的极值点；‎ ‎（2）设函数g（x）=f（x）﹣2（x﹣1），求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）先求导，根据导数和函数的极值的关系即可求出极值点；‎ ‎（2）先求导，再判断g（x）在[1，e]上的单调性，根据单调性即可求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=，‎ 所以f（x）在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增．‎ 所以，x=是函数f（x0的极小值点，极大值点不存在．‎ ‎（2）g（x）=f（x）﹣2（x﹣1）=xlnx﹣2x+1 则g′（x）=lnx﹣1，‎ 由g′（x）=0，得x=e，g（x）在[1，e]上单调递减，‎ 所以g（x）的最小值为g（e）=2﹣e．‎ ‎　‎ 选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）‎ ‎22．如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G．‎ ‎（1）求证：∠AEF=∠EDF；‎ ‎（2）设EF=6，求FG的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）利用切割线定理可得FG2=FD•FA，利用EF=FG，可得=，从而可得△EFD∽△AFE，由此能证明∠AEF=∠EDF ‎（2）由△DFE∽△EFA，得EF2=FA•FD．由FG是圆的切线，得FG2=FA•FD．由此能求出FG的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵FG与圆O相切于点G，∴FG2=FD•FA，‎ ‎∵EF=FG，EF2=FD•FA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵∠EFD=∠AFE，∴△EFD∽△AFE．‎ ‎∴∠AEF=∠EDF．‎ ‎（2）由（1）知△DFE∽△EFA，∴=，即EF2=FA•FD．‎ ‎∵FG是圆的切线，‎ ‎∴FG2=FA•FD．‎ ‎∴FG2=EF2，‎ ‎∵EF=6，∴FG=EF=6．‎ ‎　‎ ‎23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以O为极点，Ox正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）设C1与C2相交于A，B两点，求A，B两点的极坐标．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）将，消去t，曲线C1的直角坐标方程；‎ ‎（2）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，求得曲线C2的方程直角坐标x2+y2﹣4x=0，解方程即可求得其交点坐标，即可求得A，B两点的极坐标．‎ ‎【解答】解：（1）由线C1的参数方程为，消去t得：x+y﹣4=0，‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，即x2+y2﹣4x=0，‎ ‎，解得：，，‎ 曲线C1与曲线C2交点的坐标为（2，2），（4，0），‎ ‎∴A，B两点的极坐标（2，），（4，0）．‎ ‎　‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；‎ ‎（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．‎ ‎【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，‎ 解得：x＞﹣1，‎ ‎∴﹣1＜x＜，‎ 当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，‎ 此时不等式恒成立，‎ ‎∴≤x≤，‎ 当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，‎ 解得：x＜1，‎ ‎∴＜x＜1，‎ 综上可得：M=（﹣1，1）；‎ 证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，‎ ‎（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，‎ 即a2b2+1＞a2+b2，‎ 即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，‎ 即（ab+1）2＞（a+b）2，‎ 即|a+b|＜|1+ab|．‎ ‎　‎ ‎2016年10月20日