2021届北师大版高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第二章　第2讲　函数的单调性与最值 6页

‎ [基础题组练]‎ ‎1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．f(x)＝3－x　　　　　　 B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－ D．f(x)＝－|x|‎ 解析：选C.当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，‎ 当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．‎ ‎2．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(　　)‎ A．(－∞，0) B． C．[0，＋∞) D． 解析：选B.y＝|x|(1－x)＝＝函数y的草图如图所示．‎ 由图易知原函数在上递增．故选B.‎ ‎3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．[－6，－4]‎ C．[－3，－2] D．[－4，－3]‎ 解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－4]．‎ ‎4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f(2x－1)0，x>0)．‎ ‎(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；‎ ‎(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．‎ 解：(1)证明：任取x1>x2>0，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，‎ 因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0，‎ 所以f(x1)－f(x2)>0，‎ 即f(x1)>f(x2)，‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．‎ ‎(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，‎ 所以f＝－2＝，‎ f(2)＝－＝2，‎ 解得a＝.‎ ‎10．已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上是增加的；‎ ‎(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上是减少的，求a的取值范围．‎ 解：(1)证明：设x1＜x2＜－2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝.‎ 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，‎ 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)上是增加的．‎ ‎(2)设1＜x1＜x2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝.‎ 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，‎ 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，‎ 所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(0，1] B．(－1，0)∪(0，1]‎ C．(0，＋∞) D．(0，1]‎ 解析：选D.函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0，1]．‎ ‎2．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)‎ A．f(x1)<0，f(x2)<0　　 B．f(x1)<0，f(x2)>0‎ C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0‎ 解析：选B.因为函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)f(2)＝0，‎ 即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.‎ ‎3．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．‎ 解析：因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，‎ 所以a的取值范围是0≤a≤2.‎ 答案：[0，2]‎ ‎4．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．‎ 解析：因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，‎ 由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1， ]上递减，故“缓增区间”I为[1， ]．‎ 答案：[1， ]‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝，‎ 当x∈[0，2)时，－1≤f(x)<0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，‎ 所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.‎ ‎(2)因为f(x)＝，‎ 又f(x)在区间[－1，＋∞)上是增加的，‎ 所以当x＞2时，f(x) 是增加的，则－≤2，即a≥－4.‎ 当－1＜x≤2时，f(x) 是增加的，则≤－1.‎ 即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，‎ 故a的取值范围为[－4，－2]．‎ ‎6．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.‎ ‎(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；‎ ‎(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.‎ 解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.‎ 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.‎ 又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数．‎ ‎(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.‎ 由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，‎ 又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，‎ 解得x<－2或x>1，‎ 故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．‎