专题02 函数的性质及其应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区） 18页

专题02 函数的性质及其应用 专题点拨 ‎1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.‎ ‎2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.‎ ‎3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.‎ ‎4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌.‎ ‎5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握；‎ ‎6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.‎ 真题赏析 1． ‎(2018·上海)设常数，函数．若的反函数的图像经过点，则_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】，的反函数的图象经过点∴的图象经过点，，解得．‎ ‎2．(2018·上海)设是含数的有限实数集，是定义在上的函数，若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）.‎ A. 　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．‎ ‎ 【答案】B ‎ ‎【解析】 由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转后与下一个点会重合，‎ 我们可以通过代入和赋值的方法当时，此时得到的圆心角为，，，然而此时或者时，都有个与之对应，而函数的定义就是要求一个只能对应一个因此只有当，此时旋转，此时满足一个只会对应一个，因此选B．‎ ‎ 例题剖析 ‎【例1】 （2018·黄浦区二模）已知函数 ‎ ‎（1）求函数的反函数；‎ ‎（2）试问:函数的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）若方程的三个实数根 满足: ，且，求实数的值．‎ ‎ ‎ ‎ (2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称.‎ 设点是函数图像上关于原点对称的点， ‎ 则，即， ‎ 解得，且满足 . ‎ ‎ 因此，函数图像上存在点关于原点对称. ‎ ‎(3) 考察函数与函数的图像，可得 当时，有，原方程可化为，解得 ‎，且由，得.‎ 当时，有，原方程可化为，化简得 ‎，解得 (当时，).‎ 于是，. ‎ ‎ 由，得，解得.‎ ‎ 因为，故不符合题意，舍去；‎ ‎，满足条件.因此，所求实数. ‎ ‎【变式训练1】‎ ‎（2018·徐汇区二模）已知函数，其定义域为，‎ ‎ (1) 当时，求函数的反函数；‎ ‎ (2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】(1)； ‎ ‎(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；‎ ‎ 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；‎ ‎ 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是 ‎，于是当或，即或时， ‎ 函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数．‎ 综上，．‎ ‎【例2】已知集合是满足下列性质的函数(定义域为D)的全体：存在非零常数，对任意，有成立．‎ ‎(1)判断函数是否属于集合；‎ ‎(2)证明，并找到一个常数.‎ ‎【解析】(1).假设，得.于是，一方面，‎ ‎，另一方面，.这是矛盾！故.‎ ‎(2)若，则有，取，则满足，即.‎ ‎【变式训练2】‎ ‎ 定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为A． 求A的长度； ‎ 函数的定义域与值域都是，求区间的最大长度.‎ ‎【解析】不等式的解集为A． ，， ，，， 集合A的长度为：． 函数的定义域是， 函数的定义域与值域都是，，，， 化简，得：在区间上都是单调递增， ， ，n是方程的同号相异的实数根， ，n是方程同号相异的实数根， ，， 只需要，即， 解得或，， 的最大值为，此时． 区间的最大长度为．‎ ‎【例3】（2019·浦东新区一模）已知函数，若对任意的，都存在唯一的 ‎，满足，则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：当时， 当时， 若，则在上是单调递增函数， 所以若满足题目要求，则 所以，，又，所以． ‎ ‎【变式训练3】‎ ‎ 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]‎ ‎【答案】B ‎【解析】当x≥0时，‎ 由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；‎ 当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；‎ 由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．‎ ‎∴当x＞0时，．‎ ‎∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴当x＜0时，．‎ ‎∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），‎ ‎∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．‎ 故选：B． ‎ ‎【例4】（2019·青浦区一模）对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函数.‎ ‎（1）若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数的 取值范围；‎ ‎（2）证明：函数是函数在区间上的弱渐近函数.‎ ‎【解析】（1）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数，‎ 所以，即在区间上恒成立， ‎ 即 ‎ ‎（2）‎ ‎， ‎ 令 任取，则， ‎ 即函数在区间上单调递减，‎ 所以，‎ 又，即满足使得对于任意的有恒成立，‎ 所以函数是函数在区间上的弱渐近函数．‎ 巩固训练 一、填空题 ‎1. （2018·建平中学模拟）若函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，则f﹣1（3）=　 　．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】∵函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）=x﹣2，‎ 故x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x﹣2=﹣f（x），‎ 即f（x）=x+2，‎ 若f﹣1（3）=a，‎ 则f（a）=3，‎ 当a＜0时，f（a）=a﹣2=3，即a=5（舍去）‎ 当a＞0时，f（a）=a+2=3，即a=1，‎ 故f﹣1（3）=1.‎ 1． 已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为偶函数，所以，则,可化为，即，所以，解得，所以不等式的解集是．‎ ‎3. （2018·建平中学模拟）已知函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为　 　．‎ ‎【答案】（，1]‎ ‎【解析】a=0时，函数f（x）=lg（﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x＜，不满足题意；‎ a＞0时，由题意知，解得＜a≤1；‎ a＜0时，由题意知，此时无解；‎ 综上，函数f（x）=lg（ax2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，‎ 实数a的取值集合是（，1]．‎ ‎4. 若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围是______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可转化为，设，则是关于的一次型函数，要使恒成立，只需，解得.‎ ‎5．（2019·普陀区一模）设a为常数记函数且，的反函数为，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 6. 已知定义在上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 因为定义在R上的奇函数，且，则，函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数. 如图所示，那么方程在区间上有四个不同的根，不妨设由对称性知所以 ‎-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 ‎ y ‎ x ‎ f(x)=m (m>0) ‎ ‎ ‎ ‎7. 已知函数的图像关于点中心对称，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】函数的图象关于点中心对称，则，由此求得，所以，‎ ‎，显然不舍题意，‎ 当时， ，‎ 由题意，‎ 当时， ，‎ 因为，所以由题意 或，综上，的取值范围是或．‎ 二、 选择题 ‎1. 函数，的值域为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ f(x)＝x＋－4＝x－2＋－2，∵3≤x≤5，∴1≤x－2≤3，‎ ‎∴f(x)≥2－2＝2，故当x＝4时，f(x)＝2即为最小值，又因为f(3)＝3，f(5)＝，故f(x)在[3，5]上的值域为[2，3]．‎ ‎2. 若函数f（x）=ax2+bx+c在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M﹣m（　　）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 ‎ C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】设函数f（x）=ax2+bx+c在x1处取的最大值，在x2处取的最小值，0≤x1≤1，0≤x2≤1，且x1≠x2，‎ ‎∴M=f（x1）=ax12+bx1+c，m=f（x2）=ax22+bx2+c，‎ ‎∴M﹣m=ax12+bx1+c﹣ax22﹣bx2﹣c=a（x12﹣x22）+b（x1﹣x2），‎ ‎∴与a，b有关，但与c无关.‎ ‎3. 已知，且，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】选项A错误：因为；选项B错误：三角函数在上不是单调的，所以不一定有，举反例如，当时，；选项C正确：由指数函数是减函数，可得；选项D错误：举一个反例如，，.满足，但.‎ ‎4. 已知函数，则使得的的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于，所以函数为偶函数，且在上为减函数，因此，则需，解得.‎ ‎5. 已知定义在上的函数满足为奇函数，函数关于直线对称，则下列式子一定成立的是（ ）‎ A． B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为为奇函数，所以，则．又因为关于直线对称，所以关于对称，所以，则，于是为函数的周期，所以，故选B．‎ ‎6．定义区间的长度为（），函数的定义域与值域都是，则区间取最大长度时实数的值为（ ）‎ A． B．-3 C．1 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，或，故函数在上单调递增,则，故是方程的同号的相异实数根，即的同号的相异实数根∵∴同号，只需 ‎∴或，‎ ‎，取最大值为．此时. ‎ 二、 解答题 ‎1.（2019·松江区一模）已知函数（常数）‎ ‎（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求的最大值.‎ ‎【解析】（1）若为奇函数，必有 得，‎ 当时，， ‎ ‎ ∴当且仅当时，为奇函数 ‎ 又，，∴对任意实数，都有 ‎∴不可能是偶函数 ‎ ‎（2）由条件可得：恒成立，‎ 记，则由 得， ‎ 此时函数在上单调递增， ‎ 所以的最小值是， ‎ 所以 ，即的最大值是 . ‎ ‎2.（2019·徐汇区一模）已知函数其中 ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数.‎ ‎【解析】（1）不等式即为 ‎ 当时，不等式解集为； ‎ 当时，不等式解集为； ‎ 当时，不等式解集为 ‎ ‎（2）任取则 ‎ ‎ 所以要使在递减即只要即 ‎ 故当时，在区间上是单调减函数. ‎ ‎3.已知函数 ‎ (1) 若是偶函数,且在定义域上恒成立,求实数的取值范围；‎ ‎(2) 当时,令,问是否存在实数,使在上是减函数,在上是增函数？如果存在,求出的值；如果不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)是偶函数, 即, ‎ 又恒成立即 ‎ 当时；当时, ,当时, ,，综上: ‎ ‎(2) 是偶函数,要使在上是减函数在上是增函数,即只要满足在区间上是增函数在上是减函数. 令,当时；时,由于时,是增函数记，故与在区间上有相同的增减性,当二次函数在区间上是增函数在上是减函数,其对称轴方程为.‎ ‎ 4.已知函数：.‎ ‎(1) 证明：函数的图像关于点成中心对称图形；‎ ‎(若函数在定义域内满足，则说函数图像关于点成中心对称图形 )‎ ‎(2) 当的定义域为时，求证：的值域为；‎ ‎(3) 设函数，求的最小值．‎ ‎①当 如果 即时，则函数在上单调递增 ‎，如果 而当时，在处无定义，故最小值不存在；‎ ‎②当 ‎ 如果 如果 当 综合得：当时 g（x）最小值不存在；当且时 ，g（x）最小值是；当时 g（x）最小值是；当时 g（x）最小值为.‎ ‎5.【拔高题】（2018·建平中学模拟）已知函数f（x）=lognx（n＞0，n≠1）．‎ ‎（1）若f（x1x2）=10，求f（x12）+f（x22）的值；‎ ‎（2）设g（x）=f（），当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求m与n的值；‎ ‎（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+（m＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r，s，t，都存在以h（r）、h（s）、h（t）为边长的三角形，求实数m的取值范围．‎ ‎【解析】（1）若f（x1x2）=10，‎ 则lognx1x2=10，‎ 则f（x12）+f（x22）=lognx12+lognx22=lognx12x22=logn（x1x2）2=2lognx1x2=20．‎ ‎（2）g（x）=f（）=logn=logn（）=logn（1+），‎ 则y=1+在（1，+∞）上为减函数，‎ ‎∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），‎ ‎∴m=1，n＞1，‎ 则函数g（x）在（m，n）上为减函数， ‎ 则g（n）=1，即logn（1+）=1，得1+=n，即=n﹣1，‎ 的（n﹣1）2=2，得n﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．‎ ‎（3）当n=3时，记h（x）=f﹣1（x）+=3x+，（m＞0），‎ ‎∵﹣1≤x≤0，∴设t=3x，则≤t≤1，‎ 即y=t+，（≤t≤1），由题意得在≤t≤1上恒有2ymin＞ymax即可．‎ ‎①当0＜m≤时，函数h（x）在[，1]上递增，‎ ymax=1+m，ymin=3m+．‎ 由2ymin＞ymax得6m+＞1+m，即5m＞，得m＞．此时＜m≤．‎ ‎②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，‎ ymax=max{3m+.1+m}=1+m，ymax=3m+，ymin=2，‎ 由2ymin＞ymax得4＞1+m，得．此时＜m≤．‎ ‎ ‎