数学卷·2018届江西省景德镇一中高二上学期期中数学试卷（理科）+（解析版） 28页

‎2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6‎ ‎2．已知命题P：函数y=sinx在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．已知函数y=与x=1，y轴和x=e所围成的图形的面积为M，N=，则程序框图输出的S为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．0‎ ‎4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，‎ ‎②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ ‎④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（　　）‎ A．②、④都可能为分层抽样 B．①、③都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样 ‎5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）‎ A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]‎ ‎6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）‎ A．数列{an}是以1为首项的等比数列 B．数列{an}的通项公式为 C．数列是等比数列，且公比为 D．数列是等比数列，且公比为 ‎8．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎9．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．32π ‎10．函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣∞，0] D．‎ ‎11．已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣4，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）‎ ‎12．已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：l=﹣上一动点，定点F（，0），点Q为PF的中点，动点M满足•=0， =λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则•的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．　　．‎ ‎14．在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤2的概率为　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　　．‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，sin2B=sinAsinC．‎ ‎（1）若，，成等差数列，求cosB的值；‎ ‎（2）若=4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．‎ ‎（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（12分）设不等式组所表示的平面区域为Dn ‎，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．‎ ‎（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．‎ ‎21．（12分）定圆M： =16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．‎ ‎（I）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省景德镇一中高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）‎ A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6‎ ‎【考点】复数代数形式的混合运算．‎ ‎【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．‎ ‎【解答】解：化简可得复数==，‎ 由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，‎ 解得a=6‎ 故选：D ‎【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．已知命题P：函数y=sinx在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据三角函数的图象和性质，可得命题p：a=1+4k，k∈Z；根据直线与圆的位置关系，可得命题q：a=1，或a=9，进而根据充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：当x=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；‎ 故命题p：a=1+4k，k∈Z；‎ 若直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，‎ 则=2，‎ 解得：a=1，或a=9，‎ 即命题q：a=1，或a=9，‎ 故p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，函数的最值及其几何意义，直线与圆的位置关系，难度中档．‎ ‎　‎ ‎3．已知函数y=与x=1，y轴和x=e所围成的图形的面积为M，N=，则程序框图输出的S为（　　）‎ A．1 B．2 C． D．0‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】确定N＜M，利用程序的作用是输出较小者，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：N==tan45°=，M==lnx=1．‎ ‎∴N＜M，‎ ‎∵程序的作用是输出较小者，‎ 故输出的S为．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查程序框图，确定程序框图的作用是输出较小者是关键．‎ ‎　‎ ‎4．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：‎ ‎①5，9，100，107，111，121，180，195，200，265，‎ ‎②7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；‎ ‎③30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；‎ ‎④11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；‎ 关于上述样本的下列结论中，正确的是（　　）‎ A．②、④都可能为分层抽样 B．①、③都不能为分层抽样 C．①、④都可能为系统抽样 D．②、③都不能为系统抽样 ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据题意，结合三种抽样方法得到数据的特点是：系统抽样方法得到的数据每个数据与前一个的差都为27，分层抽样方法得到的数据在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；依次分析四组数据，判断其可能的情况，即可得答案．‎ ‎【解答】解：①在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；‎ ‎②在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；‎ ‎③一定不是系统抽样和分层抽样；‎ ‎④在1﹣﹣108之间的有4个，109﹣﹣189之间的有3个，190到270之间的有3个；符合分层抽样的规律，可能是分层抽样得到的；‎ 同时，每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，可能是系统抽样得到的；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了抽样方法的判定问题，解题时应熟悉常用的几种抽样方法是什么，各种抽样方法的特点是什么，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=πx+log2x的零点所在区间为（　　）‎ A．[0，] B．[，] C．[，] D．[，1]‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】根据函数的零点存在性定理，把题目中所给的四个选项中出现在端点的数字都代入函数的解析式中，得到函数值，把区间两个端点对应的函数值符合相反的找出了，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵f（）=＜0，f（）=＜0，f（）=＞0，f（1）=π，‎ ‎∴只有f（）•f（）＜0，‎ ‎∴函数的零点在区间[，]上．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的存在性判定定理，考查基本初等函数的函数值的求法，是一个基础题，这是一个新加内容，这种题目可以出现在高考题目中．‎ ‎　‎ ‎6．要得到函数的图象，只需将函数的图象（　　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】把化为 ‎，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象．‎ ‎【解答】解： =，‎ 故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，‎ 即得到函数的图象．‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）‎ A．数列{an}是以1为首项的等比数列 B．数列{an}的通项公式为 C．数列是等比数列，且公比为 D．数列是等比数列，且公比为 ‎【考点】等比关系的确定．‎ ‎【分析】由an=得到数列{an}的递推式，‎ ‎【解答】解：当n=1时，有S1+3a1=4a1=4，得：a1=1，‎ 当n≥2，时，由nSn+（n+2）an=4n，即Sn+an=4①，得：‎ Sn﹣1+an﹣1=4②，‎ ‎①﹣②得：an+an﹣an﹣1=0，‎ 即=，‎ ‎∴=••…•=•••…•=•n，‎ 即an=．‎ ‎∴=，‎ ‎∴数列是等比数列，且公比为．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查数列通项公式的求法．解题关键是能根据Sn与an的关系得到数列的递推公式．考查了转化的思想方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】取特殊点代入进行验证即可．‎ ‎【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，代入验证是关键．‎ ‎　‎ ‎9．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（　　）‎ A．4π B．12π C．16π D．32π ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．‎ ‎【解答】解：取CD的中点E，连结AE，BE，‎ ‎∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．‎ ‎∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，‎ ‎△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，‎ BE=，BG=，‎ ‎∴R=2．‎ 四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣∞，0] D．‎ ‎【考点】函数最值的应用．‎ ‎【分析】先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．‎ ‎【解答】解：先画出分段函数f（x）的图象，‎ 如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；‎ ‎ 欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，‎ 即e2a≤2，‎ 解得：a 故选D．‎ ‎【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（　　）‎ A．（﹣2，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣4，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】构造函数h（x）=x3f（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，‎ 则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，‎ 若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，‎ 则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，‎ 故h（x）在[0，+∞）递减，‎ 若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，‎ 则h（x）=h（﹣x），‎ 则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，‎ 不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，‎ 即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，‎ 即h（x）＜h（2），‎ 故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，‎ 故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知在平面直角坐标系中，点P是直线l：l=﹣上一动点，定点F（，0），点Q为PF的中点，动点M满足•=0， =λ（λ∈R）．过点M作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，则•的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【考点】圆的切线方程；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由题意结合平面向量的数量积运算求得M在抛物线y2=2x上，则问题转化为过抛物线上一点，作圆（x﹣3）2+y2=2的切线，切点分别为S，T，求•的最小值，然后求出满足条件的点M，代入平面向量数量积求解．‎ ‎【解答】解：如图，设P（，m），‎ ‎∵F（，0），点Q为PF的中点，∴Q（0，），‎ 再设M（x0，y0），‎ ‎∴，，‎ 由=λ，得，即，‎ ‎∴M（），‎ 则，．‎ 再由•=0，得，即，‎ ‎∴M（），则M在抛物线y2=2x上，‎ 设以（3，0）为圆心，以r为半径的圆为（x﹣3）2+y2=r2，‎ 联立，得x2﹣4x+9﹣r2=0．‎ 由△=（﹣4）2﹣4（9﹣r2）=0，解得r2=5．‎ ‎∴r=．‎ 则抛物线y2=2x上的点M到圆心距离的最小值为，切线长的最小值为，‎ 且sin，cos∠SMT=1﹣2sin2∠SMC=1﹣．‎ ‎∴•的最小值为=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线方程，考查了平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，综合性较强，是难题．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．‎ ‎　8π+ln2﹣　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分几何意义和定积分的计算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：根据定积分的几何意义表示以原点为圆心，‎ 以及半径为4的圆的面积的二分之一，故=×16π=8π，‎ 因为x3奇函数，故x3dx=0，‎ 因为（﹣x）dx=（lnx﹣x2）|=（ln2﹣2）﹣（ln1﹣）=ln2﹣，‎ 故原式=8π+0+ln2﹣=8π+ln2﹣，‎ 故答案为：8π+ln2﹣‎ ‎【点评】本题考查了定积分几何意义和定积分的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．在区间[﹣1，3]上随机取一个数x，则|x|≤2的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】由条件知﹣1≤x≤3，然后解不等式的解，根据几何概型的概率公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在区间[﹣1，3]之间随机抽取一个数x，则﹣1≤x≤3，‎ 由|x|≤2得﹣2≤x≤2，‎ ‎∴根据几何概型的概率公式可知满足|x|≤1的概率为=，‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据不等式的性质解出不等式的是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　﹣　．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】由从点A到点B正好经过了半个周期，求出ω，把A、B的坐标代入函数解析式求出sinφ的值，再根据五点法作图，求得φ 的值．‎ ‎【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，且，‎ 可得从点A到点B正好经过了半个周期，即=π﹣，∴ω=2．‎ 再把点A、B的坐标代入可得 2sin（2•+φ ）=﹣2sinφ=1，2sin（2•π+φ ）=2sinφ=﹣1，‎ ‎∴sinφ=﹣，∴φ=2kπ﹣，或φ=2kπ﹣，k∈Z．‎ 再结合五点法作图，可得φ=﹣，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为　[0，]　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】‎ 设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．‎ ‎【解答】解：设点M（x，y），由MA=2MO，知： =2，‎ 化简得：x2+（y+1）2=4，‎ ‎∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，‎ 又∵点M在圆C上，∴圆C与圆D的关系为相交或相切，‎ ‎∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，‎ 化简可得 0≤a≤，‎ 故答案为：[0，]．‎ ‎【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的判定，两点间的距离公式，圆和圆的位置关系的判定，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）（2016秋•昌江区校级期中）已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列的性质求出公比q，再求出首项，即可得到数列的通项公式，‎ ‎（2）根据等比数列的求和公式和裂项求和分组求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q：因为a2，a3+1，a4成等差数列，‎ 故a2+a4=2（a3+1），‎ 即a4=2a3，‎ 故q=2；‎ 因为，‎ 即an=2n﹣1．‎ ‎（2）因为Sn=n2+n，‎ 故当n=1时，b1=S1=2，‎ 当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，‎ 综上所述bn=2n，‎ 故==﹣，‎ 故数列的前n项和为．‎ ‎【点评】本题考查等数列的性质，等比数列通项公式和求和公式，“裂项相消法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•昌江区校级期中）在△ABC中，sin2B=sinAsinC．‎ ‎（1）若，，成等差数列，求cosB的值；‎ ‎（2）若=4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB，从而求出cosB的值即可；‎ ‎（2）求出三角形的面积的解析式，令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1））若，，成等差数列，‎ 则=+==‎ ‎=，‎ 故sinB=，cosB=±；‎ ‎（2）若=4，即=4，b2=16sin2B，‎ ‎∵sin2B=sinAsinC，‎ ‎∴ac=b2，‎ ‎∴S△ABC=b2sinB=8sin3B，（0＜B＜π），‎ 令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），‎ 则f′（x）=24sin2xcosx，‎ 令f′（x）＞0，解得：x＜，‎ 令f′（x）＜0，解得：x＞，‎ 故f（x）在（0，π）递增，‎ 故f（x）在（0，）递增，在（，π）递减，‎ f（x）max=f（）=8，‎ 故三角形面积的最大值是8．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理的应用，考查等差数列以及导数的应用，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•武汉模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．‎ ‎（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．‎ ‎（2）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，‎ 又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，‎ 又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，‎ 又∵AD⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD．‎ ‎（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD，‎ 以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，‎ 建立空间直角坐标系，如图 则Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）‎ 设，0＜λ＜1，则M（﹣2λ，，），‎ 平面CBQ的一个法向量=（0，0，1），‎ 设平面MBQ的法向量为=（x，y，z），‎ 由，得=（，0，），‎ ‎∵二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°，‎ ‎∴cos60°=|cos＜＞|=||=，‎ 解得，∴ =，‎ ‎∴存在点M为线段PC靠近P的三等分点满足题意．‎ ‎【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•昌江区校级期中）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．‎ ‎（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*恒有++…+＜成立．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；‎ ‎（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，‎ ‎∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，‎ ‎∴a2==25．‎ ‎（另解：a2=1+3+5+7+9=25）‎ ‎（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），‎ 据题意有an==10n+5．‎ ‎（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）‎ ‎（3）Sn=5n（n+2）．　（8分）‎ ‎∵==•＜，‎ ‎∴++…+＜++…+‎ ‎=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜　（13分）‎ ‎【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•广州模拟）定圆M： =16，动圆N过点F且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E．‎ ‎（I）求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（I）因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且 ‎，所以b=1，从而可求求轨迹E的方程；‎ ‎（Ⅱ）分类讨论，直线AB的方程为y=kx，代入椭圆方程，求出|OA|，|OC|，可得S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为点在圆内，所以圆N内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4＞|FM|，所以点N的轨迹E为椭圆，且，所以b=1，所以轨迹E的方程为．…‎ ‎（Ⅱ）（i）当AB为长轴（或短轴）时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），‎ 此时|AB|=2．…‎ ‎（ii）当直线AB的斜率存在且不为0时，设其斜率为k，直线AB的方程为y=kx，‎ 联立方程得，‎ 所以|OA|2=．…（7分）‎ 由|AC|=|CB|知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，所以直线OC的方程为，‎ 由解得， =，，…（9分）‎ S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=‎ ‎，‎ 由于，所以，…（11分）‎ 当且仅当1+4k2=k2+4，即k=±1时等号成立，此时△ABC面积的最小值是，‎ 因为，所以△ABC面积的最小值为，此时直线AB的方程为y=x或y=﹣x．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2015•红河州一模）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．‎ ‎（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．‎ ‎（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，‎ ‎∴f′（x）=1+，‎ ‎∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，‎ ‎∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，‎ 解得a=1．‎ ‎（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）=，x＞0，‎ 由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，‎ 即x++1﹣b＜0有解，‎ ‎∵定义域x＞0，‎ ‎∴x+≥2，‎ x+＜b﹣1有解，‎ 只需要x+的最小值小于b﹣1，‎ ‎∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．‎ ‎（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）‎ ‎∵0＜x1＜x2，‎ ‎∴设t=，0＜t＜1，‎ 令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，‎ 则h′（t）=﹣＜0，‎ ‎∴h（t）在（0，1）上单调递减，‎ 又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，‎ ‎∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，‎ ‎∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，‎ 故所求的最小值为﹣2ln2．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎