2021届新高考版高考数学一轮复习训练：第五章 第二讲　等差数列及其前n项和 5页

第二讲　等差数列及其前n项和 ‎1.[2020唐山市摸底考试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a5= - 2,S15=150,则公差d=(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ ‎2.[2020江西红色七校第一次联考]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S8 - S3=45,则a6的值是(　　)‎ A.3 B.5 C.7 D.9‎ ‎3.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 (　　)‎ A.a6 B.a7 C.a8 D.a9‎ ‎4.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a‎11‎a‎10‎< - 1,则Sn取正值时项数n的最大值为(　　)‎ A.15 B.17 C.19 D.21‎ ‎5.[2020安徽省示范高中名校联考][数学文化题]《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为(　　)‎ A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 ‎6.[2019唐山市高三摸底考试]等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13=(　　)‎ A.13 B.26 C.39 D.52‎ ‎7.[2019广东百校联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1≠0,S2=a4,则a‎5‎S‎3‎=(　　)‎ A.1 B.‎2‎‎3‎ C.‎5‎‎3‎ D.‎‎7‎‎9‎ ‎8.[2019福建福州华侨中学期中]已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且a1=9,S5=S9,那么使Sn最大的n是(　　)‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1,设bn=an‎2‎n.‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{‎1‎bnbn+1‎}的前n项和Sn.‎ ‎10.[2020唐山市摸底考试]已知等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比 数列,则S‎9‎S‎3‎=(　　)‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎11.[2019江西红色七校第一次联考]已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=π‎2‎,则tan(a3+a9)的值为(　　)‎ A.0 B.‎3‎‎3‎ C.1 D.‎‎3‎ ‎12.[2019山东三校联考][数学文化题]“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个求解同余式组的问题,现有这样一个问题:将1到2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有(　　)‎ A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 ‎13.[2020成都市测试]已知等差数列{an}前三项的和为 - 9,前三项的积为 - 15.‎ ‎(1)求等差数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ ‎14.[多选题]已知数列{an}是等差数列,其前n 项和为Sn,且满足a1+5a3=S8 ,则下列结论正确的是(　　)‎ A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S20=0‎ ‎15. [2020南昌市测试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=1,Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2(n≥3),则a3的值为　　　　. ‎ 第二讲　等差数列及其前n项和 ‎1.C　解法一　因为数列{an}是等差数列,首项为a1,公差为d,所以a‎5‎‎=a‎1‎+4d=-2,‎S‎15‎‎=15a‎1‎+‎15×14‎‎2‎d=150,‎解得a‎1‎‎=-18,‎d=4,‎故选C.‎ 解法二　因为数列{an}是等差数列,所以S15=15a8=150,所以 a8=10,所以3d=a8 - a5=10 - ( - 2)=12,所以d=4.故选C.‎ ‎2.D　解法一　设等差数列{an}的公差为d,则S8 - S3=8a1+‎8×7‎‎2‎‎×‎d - (3a1+‎3×2‎‎2‎‎×‎d)=5a1+25d=45,即a1+5d=9,即a6=9,故选D.‎ 解法二　因为S8 - S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=45,所以a6=9,故选D.‎ ‎3.A　解法一　设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1= - 5d,故an=a1+(n - 1)d=(n - 6)d.令(n - 6)d=0,得n=6,故选A.‎ 解法二　设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以a3= - 3d.又a3=a1+2d,所以a1= - 5d,故an= - 5d+(n - 1)d.令an=0,得n=6,所以数列{an}中a6=0.故选A.‎ ‎4.C　由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且a‎11‎a‎10‎< - 1,可知等差数列{an}的公差d<0,a10>0,a11<0,且a11< - a10,则a10+a11<0.由a10>0,得2a10=a1+a19>0,所以S19>0,由a10+a11<0,得a1+a20=a10+a11<0,所以S20<0,所以Sn取正值时项数n的最大值为19,故选C.‎ ‎5.B　设各节气日影长为等差数列{an},Sn是其前n项和,则S9=‎9(a‎1‎+a‎9‎)‎‎2‎=9a5=85.5,所以a5=9.5,由题意知a1+a4+a7=3a4=31.5,所以a4=10.5,所以公差d=a5 - a4= - 1,所以a12=a5+7d=2.5,即芒种日影长为2.5尺,故选B.‎ ‎6.B　由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,∴S13=‎13(a‎1‎+a‎13‎)‎‎2‎=26,故选B.‎ ‎【方法技巧】　利用等差数列的性质“若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”可以有效简化运算.‎ ‎7.B　设等差数列{an}的公差为d,由S2=a4,得2a1+d=a1+3d,‎ 所以a1=2d,所以a‎5‎S‎3‎‎=a‎1‎‎+4d‎3a‎1‎+3d=‎6d‎9d=‎‎2‎‎3‎.故选B.‎ ‎8.B　因为a1>0,S5=S9,所以公差小于零,易知Sn=d‎2‎n2+(9 - d‎2‎)n(n∈N*),在坐标系中作出其图象(图略),可知其图象对应的抛物线开口向下且对称轴为直线n=7,故n=7时,Sn最大.故选B.‎ ‎9.(1)当n≥2时,bn - bn - 1=an‎2‎n‎ - an-1‎‎2‎n-1‎=‎an‎-2‎an-1‎‎2‎n=1,‎ 又b1=1,所以{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可知,bn=n,所以‎1‎bnbn+1‎‎=‎1‎n - ‎‎1‎n+1‎,‎ 所以Sn=1 - ‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎ - ‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎n‎ - ‎‎1‎n+1‎=1 - ‎1‎n+1‎‎=‎nn+1‎.‎ ‎10.C　解法一　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S‎9‎‎2‎=S3S27,即(9a1+‎9×8‎‎2‎d)2=(3a1+‎3×2‎‎2‎d)(27a1+‎27×26‎‎2‎d),即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,则S‎9‎S‎3‎‎=‎9a‎1‎+‎9×8‎‎2‎d‎3a‎1‎+‎3×2‎‎2‎d=‎‎81‎a‎1‎‎9‎a‎1‎=9,故选C.‎ 解法二　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S‎9‎‎2‎=S3S27,即[‎(a‎1‎+a‎9‎)×9‎‎2‎]2=‎(a‎1‎+a‎3‎)×3‎‎2‎‎×‎‎(a‎1‎+a‎27‎)×27‎‎2‎,即(a1+a1+8d)2=(a1+a1+2d)(a1+a1+26d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,则S‎9‎S‎3‎‎=‎(a‎1‎+a‎9‎)×9‎‎2‎‎(a‎1‎+a‎3‎)×3‎‎2‎=‎3(a‎1‎+a‎1‎+8d)‎a‎1‎‎+a‎1‎+2d=‎‎54‎a‎1‎‎6‎a‎1‎=9,故选C.‎ 解法三　设等差数列{an}的公差为d(d≠0),因为S3,S9,S27成等比数列,所以S‎9‎‎2‎=S3S27,又S9=9a‎5‎,S3=3a2,S27=27a14,所以a‎5‎‎2‎=a2a14,即‎(a‎1‎+4d)‎‎2‎=(a1+d)(a1+13d),化简得d2=2a1d.因为d≠0,所以d=2a1,所以S‎9‎S‎3‎‎=‎9‎a‎5‎‎3‎a‎2‎=‎3(a‎1‎+4d)‎a‎1‎‎+d=‎‎27‎a‎1‎‎3‎a‎1‎=9,故选C.‎ ‎11.D　因为数列{an}是等差数列,所以a2+a6+a10=3a6=π‎2‎,所以a6=π‎6‎,所以a3+a9=2a6=π‎3‎,所以tan(a3+a9)=tanπ‎3‎‎=‎‎3‎.故选D.‎ ‎12.B　因为能被3除余1且被7除余1的数就是能被21除余1的数,所以an=21(n - 1)+1,由an=21(n - 1)+1≤2 018,得n≤‎2 038‎‎21‎,故此数列共有97项.故选B.‎ ‎13.(1)设数列{an}的公差为d,则依题意得a2= - 3,则a1= - 3 - d,a3= - 3+d,‎ ‎∴( - 3 - d)( - 3)( - 3+d)= - 15,解得d2=4,d=±2,‎ ‎∴等差数列{an}的通项公式为an= - 2n+1或an=2n - 7.‎ ‎(2)由题意及(1)得an=2n - 7,∴|an|=‎‎7-2n,n≤3,‎‎2n-7,n≥4,‎ ‎①当n≤3时,Sn= - (a1+a2+…+an)=‎5+(7-2n)‎‎2‎n=6n - n2;‎ ‎②当n≥4时,Sn= - a1 - a2 - a3+a4+…+an= - 2(a1+a2+a3)+(a1+a2+…+an)=18 - 6n+n2.‎ 综上,数列{|an|}的前n项和Sn=‎‎-n‎2‎+6n,n≤3,‎n‎2‎‎-6n+18,n≥4.‎ ‎14.AC　设数列{an}的公差为d,因为a1+5a3=S8,所以a1+5a1+10d=8a1+28d,所以a1= - 9d.‎ 所以an=a1+(n - 1)d=(n - 10)d,所以a10=0,故A一定正确.‎ Sn=na1+n(n-1)d‎2‎= - 9nd+n(n-1)d‎2‎‎=‎d‎2‎(n2 - 19n),所以S7=S12,故C一定正确.‎ 显然B与D不一定正确.故选AC.‎ ‎15.3　当n≥3时,由Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2,得Sn - Sn - 1=Sn - 1 - Sn - 2+2,即an=an - 1+2,所以a3=a2+2=3.‎