专题19+平面向量的基本定理及坐标表示-高考全攻略之备战2018年高考数学（理）考点一遍过 16页

考点19 平面向量的基本定理及坐标表示 ‎（1）了解平面向量的基本定理及其意义.‎ ‎（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.‎ ‎（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.‎ ‎（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.‎ 一、平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.‎ 二、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.‎ 三、平面向量的坐标运算 ‎1．向量坐标的求法 ‎（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.‎ ‎2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），‎ ‎|a|=，|a＋b|=.‎ ‎3．平面向量共线的坐标表示 设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1=0.‎ ‎4．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.‎ 考向一 平面向量基本定理的应用 ‎1．应用平面向量基本定理表示向量的实质 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．‎ ‎2．应用平面向量基本定理的关键点 ‎（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．‎ ‎（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．‎ ‎（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．‎ ‎3．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 ‎（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．‎ ‎（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.‎ 典例1在中，，，AD与BC交于点M，设OA‎=a，OB‎=b，请以a、b为基底表示OM．‎ 所以，即‎4m+n=1‎，‎ 由，解得，‎ 所以．‎ ‎1．如图,在中,P为线段AB上一点,OP‎=xOA+yOB,且BP‎=3‎PA,则 A． B． ‎ C． D． ‎ 考向二 平面向量的坐标运算 ‎1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．‎ ‎2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.‎ 牢记：向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．‎ 典例2已知A(-3,0)‎，B(0,2)‎，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且‎∠AOC=‎‎45‎‎∘‎，设OC‎=λOA+(1-λ)OB(λ∈R)‎，则λ的值为 A． B． ‎ C． D． ‎【答案】C ‎【解析】∵‎∠AOC=‎‎45‎‎∘‎，设C(x,-x)‎，则OC‎=(x,-x)‎，‎ 又A(-3,0)‎，B(0,2)‎，根据向量的坐标运算知λOA+(1-λ)OB=(-3λ,2-2λ)‎，‎ 所以.‎ 典例3已知，，，设，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求满足的实数，.‎ ‎ ‎ ‎2．已知平面向量，，且，则 A． B． ‎ C． D． 考向三 向量共线（平行）的坐标表示 ‎1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量 共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．‎ ‎2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．‎ ‎3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．‎ ‎4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.‎ 典例4 已知e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,AB=2e1+e2,BE=−e1+λe2,EC=−2e1+e2,且A,E,C三点共线.‎ ‎（1）求实数λ的值;‎ ‎（2）若e1=(2,1),e2=(2,−2),求BC的坐标;‎ ‎（3）已知点D(3,5),在（2）的条件下,若A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形, 求点A的坐标.‎ ‎∵e1,e2是平面内两个不共线的非零向量,‎ ‎∴1+2k=0且1+λ−k=0,‎ 解得k=−,λ=−.‎ 故实数λ的值为−.‎ ‎（2）由（1）知,BE=−e1−e2,‎ 则BC=BE+EC=−3e1−e2=−3(2,1)− (2,−2)=(−6,−3)−(1,−1)=(−7,−2).‎ ‎（3）∵A,B,C,D四点按逆时针顺序构成平行四边形,∴AD=BC.‎ 设A(x,y)，则AD=(3−x,5−y).‎ 由（2）知,BC=(−7,−2),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴点A的坐标为(10,7).‎ ‎3．已知向量a=(1 , 2),b=(-2, x)‎.若a+b与a-b平行,则实数x的值是 A．4 B．1‎ C．‎-1‎ D．‎‎-4‎ ‎1．已知向量a=(2,1),b=(-3,4)‎,则a+b=‎ A．‎(6,-3)‎ B．‎‎(8,-3)‎ C．‎(5,-1)‎ D．‎‎(-1,5)‎ ‎2．已知AB‎=(2,5),AC=(3,4),AD=(1,6),‎且AC‎=αAB+βAD,则 A．α+β=-1‎ B．‎α+β=0‎ C．α+β=1‎ D．‎α+β=2‎ ‎3．已知向量a=(2cosθ,2sinθ)‎，b=(3,‎3‎)‎，且a与b共线，θ∈[0,2π)‎，则θ=‎ A． B． ‎ C．或 D．或 ‎ ‎4．如图,平面内有三个向量OA‎,OB,‎OC,其中OA与OB的夹角为‎120°‎,OA与OC的夹角为‎30°‎, 且‎|OA|‎=2，, 若OC‎=λOA+μOB(λ,μ∈R), 则 A．λ=4，μ=2‎ B． C． D． ‎ ‎5．设=（1，－2），=（a，－1），=（－b，0），a > 0，b > 0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是 A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎6．在中，点在上，且，点是的中点.若，则__________．（用坐标表示）‎ ‎7．如图,在6×6的方格中,已知向量a,b,c的起点和终点均在格点,且满足向量c=xa+yb(x,y∈R)‎,那么x+y=‎_______.‎ ‎8．已知向量a=(2,0),b=(1,4).‎ ‎（1）求2a+3b,a−2b;‎ ‎（2）若向量ka+b与a+2b平行,求k的值.‎ ‎9．已知向量，，.‎ ‎（1）若，求的夹角的值；‎ ‎（2）设，若，求的值.‎ ‎1．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知向量，且，则m=‎ A．−8 B．−6‎ C．6 D．8‎ ‎2．（2017新课标全国Ⅲ理科）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为 A．3 B．2 ‎ C． D．2‎ ‎3．（2015江苏）已知向量a=，b=, 若 (), 则的值为______.‎ ‎4．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且=7，与的夹角为45°．若，则 ▲ ．‎ 变式拓展 ‎1．【答案】D ‎ 2．【答案】C ‎【解析】.故选C.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】a+b=‎(-1,2+x),a-b=(3,2-x)‎,由a+b与a-b平行,得‎3(2+x)+(2-x)=0‎,解得x=-4‎．故本题正确答案为D.‎ 考点冲关 ‎1．【答案】D ‎【解析】因为向量a=(2,1),b=(-3,4)‎,所以a+b=‎2,1‎+‎-3,4‎=(-1,5)‎.‎ ‎2．【答案】C ‎ ‎【解析】∵AC‎=αAB+βAD，∴（3，4）=α（2，5）+β（1，6）=（2α+β，5α+6β），∴，解得，故α+β=1．‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】因为a与b共线，所以‎2cosθ×‎3‎-2sinθ×3=0‎，cosθ=‎3‎sinθ，所以又因为θ∈[0,2π)‎，所以或.‎ ‎4．【答案】C 因为OC‎=λOA+μOB，所以有，即，所以λ=2‎.故选C.‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】由题意可得，=（1，－2），=（a，－1），=（－b，0），所以=－=（a－1，1），=－=（－b－1，2）.‎ ‎∵A，B，C三点共线，∴∥，即（a－1）×2－1×（－b－1）=0，∴2a＋b=1.‎ ‎∵a>0，b>0，∴==≥4＋4=8（当且仅当时取“=”），故选D.‎ ‎6．【答案】 ‎【解析】依题意，因为点是的中点，所以，‎ 所以，故．‎ ‎7．【答案】3‎ ‎ ‎ ‎8．【解析】（1）∵a=(2,0),b=(1,4),‎ ‎∴2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),‎ a−2b=(2,0)−2(1,4)=(2,0)−(2,8)=(0,−8).‎ ‎（2）依题意得ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4),‎ a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8),‎ ‎∵向量ka+b与a+2b平行,‎ ‎∴8(2k+1)−4×4=0,解得k=.‎ ‎【易错警示】本题的易错点是进行平面向量加、减运算时,易把横、纵坐标的加、减搞混,一定要注意两平面向量相加、减时,应当是对应的横、纵坐标进行加、减. ‎ ‎9．【解析】（1）由，，得，‎ 由，得，则， ‎ 故的夹角为.‎ ‎（2）由，得，‎ 得.‎ ‎∵，∴，∴，，‎ 代入②得，‎ ‎∵，∴，，.‎ 综上所述，，.‎ 直通高考 ‎1．【答案】D ‎【名师点睛】已知非零向量，：‎ 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|＝ 夹角 a⊥b的充要条件 x1x2＋y1y2＝0‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.‎ 所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.‎ ‎【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.‎ ‎（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.‎ ‎3．【答案】 ‎【解析】由题意得 ‎4．【答案】3‎ ‎【解析】由可得，，根据向量的分解，‎ 易得，即，即，即得，‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．‎ ‎（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法．‎ ‎（3）向量的两个作用：①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．‎ ‎ ‎ ‎ ‎