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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=( )
A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}
2.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )
A.234 B.346 C.350 D.363
3.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=cosx B.y=﹣x2+1 C.y=log2|x| D.y=ex﹣e﹣x
4.若a=log0.22,b=log0.23,c=20.2,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b
5.已知函数f(x)=ln(ax﹣1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为( )
A. B. C. D.1
6.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.若3x=a,5x=b,则45x等于( )
A.a2b B.ab2 C.a2+b D.a2+b2
8.如果函数f(x)=满足:对于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a2恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣] B.[﹣]
C.(﹣] D.(﹣]∪[)
9.已知函数f(x)=,当x1≠x2时,<0,则a的取值范围是( )
A.(0,] B.[,] C.(0,] D.[,]
10.若函数f(x)=2x2+(x﹣2a)|x﹣a|在区间[﹣3,1]上不是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣4,1] B.[﹣3,1] C.(﹣6,2) D.(﹣6,1)
11.函数f(x)=的图象可能是( )
A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(﹣x)+f(x+3)=0;当x∈(0,3)时,f(x)=,其中e是自然对数的底数,且e≈2.72,则方程6f(x)﹣x=0在[﹣9,9]上的解的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知集合A={﹣1,a},B={3a,b},若A∪B={﹣1,0,1},则a= .
14.(ex+x)dx= .
15.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 .
16.已知函数f(x)=x3+x2+ax,若g(x)=,对任意x1∈[,2],存在x2∈[,2],使f'(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设集合A={x|(x﹣2m+1)(x﹣m+2)<0},B={x|1≤x+1≤4}.
(1)若m=1,求A∩B;
(2)若A∩B=A,求实数m的取值集合.
18.设f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b(x>0).当x=时,f(x)有最小值﹣1.
(1)求a与b的值;
(2)求满足f(x)<0的x的取值范围.
19.已知命题p:∃x0∈[0,2],log2(x+2)<2m;命题q:关于x的方程3x2﹣2x+m2=0有两个相异实数根.
(1)若(¬p)∧q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
20.已知函数f(x)=sin2x+acosx+x在点x=处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)当x∈[﹣,]时,求函数f(x)的最大值.
21.已知函数f(x)=2x+2﹣x.
(1)求方程f(x)=的根;
(2)求证:f(x)在[0,+∞)上是增函数;
(3)若对于任意x∈[0,+∞),不等式f(2x)≥f(x)﹣m恒成立,求实数m的最小值.
22.已知函数f(x)=x2﹣alnx(a∈R).
(1)若曲线f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=﹣x+5垂直,求实数a的值.
(2)∃x0∈[1,e],使得≤0成立,求实数a的取值范围.
2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高三(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合M={m∈Z|﹣3<m<2},N={n∈Z|﹣1≤n≤3},则M∩N=( )
A.{0,1} B.{﹣1,0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2}
【考点】交集及其运算.
【分析】由题意知集合M={m∈z|﹣3<m<2},N={n∈z|﹣1≤n≤3},然后根据交集的定义和运算法则进行计算.
【解答】解:∵M={﹣2,﹣1,0,1},N={﹣1,0,1,2,3},
∴M∩N={﹣1,0,1},
故选B.
2.有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )
A.234 B.346 C.350 D.363
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,当两个人分别在前排和后排做一个时,前排有8种,后排有12种,两个人之间还有一个排列,当两个人都在前排坐时,因为两个人不相邻,可以列举出所有情况,当两个人都在后排时,也是用列举得到结果,根据分类计数得到结果.
【解答】解:由题意知本题需要分类讨论
(1)前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,
前排一个,后排一个共有2C81•C121=192.
(2)后排坐两个(不相邻),
2(10+9+8+…+1)=110.
(3)前排坐两个2(6+5+…+1)+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
故选B.
3.下列函数中,是偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=cosx B.y=﹣x2+1 C.y=log2|x| D.y=ex﹣e﹣x
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】分别判定函数的奇偶性、单调性,即可得出结论.
【解答】解:A.函数y=cosx为偶函数,但是在(0,+∞)上不单调,不符合题意;
B.y=﹣x2+1为偶函数,在(0,+∞)上为减函数,不符合题意;
C.y=ex﹣e﹣x为奇函数,不符合题意;
D.函数y=log2|x|是偶函数且在(0,+∞)上为增函数,符合题意.
故选C.
4.若a=log0.22,b=log0.23,c=20.2,则( )
A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵y=log0.2x在(0,+∞)上是减函数,
∴b<a<0,
又c=20.2>0,
∴b<a<c.
故选:B.
5.已知函数f(x)=ln(ax﹣1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为( )
A. B. C. D.1
【考点】导数的运算.
【分析】利用导数的运算法则即可得出.
【解答】解:由f(x)=ln(ax﹣1)可得,
由f'(2)=2,可得,解之得.
故选:B.
6.“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】利用函数的单调性分别化简log2(2x﹣3)<1,4x>8,即可判断出结论.
【解答】解:log2(2x﹣3)<1,化为0<2x﹣3<2,解得.
4x>8,即22x>23,解得x.
∴“log2(2x﹣3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件.
故选:A.
7.若3x=a,5x=b,则45x等于( )
A.a2b B.ab2 C.a2+b D.a2+b2
【考点】对数的运算性质.
【分析】直接根据指数幂的运算性质化简即可.
【解答】解:3x=a,5x=b,则45x=9x•5x=a2b,
故选:A
8.如果函数f(x)=满足:对于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a2恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣] B.[﹣]
C.(﹣] D.(﹣]∪[)
【考点】函数恒成立问题.
【分析】可通过导数求得f(x)=在x∈[0,2]上的最小值与最大值,从而可得a2≥|f(x)最大值﹣f(x)最小值|,a的取值范围可求得.
【解答】解:∵f′(x)=x2﹣1,
∴当0<x<1,f′(x)<0,
当1<x<2,f′(x)>0,
∴f(x)=在x=1时取到极小值,也是x∈[0,2]上的最小值,即f(x)极小值=f(1)=﹣=f(x)最小值,
又f(0)=0,f(2)=,
∴在x∈[0,2]上,f(x)最大值=f(2)=,
∵对于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤a2恒成立,
∴只需a2≥|f(x)最大值﹣f(x)最小值|=﹣(﹣)=,
∴a≥或a≤﹣.
故选D.
9.已知函数f(x)=,当x1≠x2时,<0,则a的取值范围是( )
A.(0,] B.[,] C.(0,] D.[,]
【考点】函数单调性的性质;分段函数的应用.
【分析】由题意可得,函数是定义域内的减函数,故有,由此解得a的范围.
【解答】解:∵当x1≠x2时,<0,
∴f(x)是R上的单调减函数,
∵f(x)=,
∴,
∴0<a≤,
故选:A.
10.若函数f(x)=2x2+(x﹣2a)|x﹣a|在区间[﹣3,1]上不是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[﹣4,1] B.[﹣3,1] C.(﹣6,2) D.(﹣6,1)
【考点】二次函数的性质.
【分析】可运用排除法,通过取特殊值a=1,﹣5,去掉绝对值,由二次函数的单调性,可排除选项A,B,D,进而得到答案.
【解答】解:当a=1时,f(x)=2x2+(x﹣2)|x﹣1|在[﹣3,1]上,
f(x)=2x2+(x﹣2)(1﹣x)=x2+3x﹣2,
对称轴为x=﹣∈[﹣3,1],可得f(x)在区间[﹣3,1]上不是单调函数;
排除选项D;
当a=﹣5时,f(x)在[﹣3,1]即为f(x)=2x2+(x+10)(x+5)=3x2+15x+50,
对称轴为x=﹣∈[﹣3,1],可得f(x)在区间[﹣3,1]上不是单调函数;
排除选项A,B.
故选:C.
11.函数f(x)=的图象可能是( )
A.(1)(3) B.(1)(2)(4) C.(2)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
【考点】函数的图象.
【分析】分别令a=0,a>0,a<0,根据导数和函数的单调性即可判断.
【解答】解:f(x)=,可取a=0,f(x)==,故(4)正确;
∴f′(x)=,
当a<0时,函数f′(x)<0恒成立,x2+a=0,解得x=±
故函数f(x)在(﹣∞,﹣),(﹣,),(,+∞)上单调递减,故(3)正确;
取a>0,f′(x)=0,解得x=±,
当f′(x)>0,即x∈(﹣,)时,函数单调递增,
当f′(x)<0,即x∈(﹣∞,﹣),(,+∞)时,函数单调递减,故(2)正确
函数f(x)=的图象可能是(2),(3),(4),
故选:C
12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(﹣x)+f(x+3)=0;当x∈(0,3)时,f(x)=,其中e是自然对数的底数,且e≈2.72,则方程6f(x)﹣x=0在[﹣9,9]上的解的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】确定f(x)的周期为3,函数在(0,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减,在[0,9]上作出y=f(x)的图象,作出y=的图象,即可得出结论.
【解答】解:当x>0时,f(﹣x)+f(x+3)=0,∴f(x+3)=﹣f(﹣x),
∵f(x)是奇函数,
∴f(x)的周期为3,
当x∈(0,3)时,f(x)=,∴f′(x)=,
∴函数在(0,e)上单调递增,在(e,3)上单调递减,
在[0,9]上作出y=f(x)的图象,作出y=的图象,如图所示
∴在[0,9]上,有3个交点,由对称性,可得方程6f(x)﹣x=0在[﹣9,9]上的解的个数为6,
故选:C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知集合A={﹣1,a},B={3a,b},若A∪B={﹣1,0,1},则a= 0 .
【考点】并集及其运算.
【分析】利用并集定义及集合中元素的性质求解.
【解答】解:∵集合A={﹣1,a},B={3a,b},A∪B={﹣1,0,1},
∴,∴a=0.
故答案为:0.
14.(ex+x)dx= e﹣ .
【考点】定积分.
【分析】根据积分公式,即可得到结论
【解答】解:(ex+x)dx=.
故答案为:.
15.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣3 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可.
【解答】解:由z=x﹣2y得y=,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC):
平移直线y=,
由图象可知当直线y=,过点A时,直线y=的截距最大,此时z最小,
由,解得,即A(1,2).
代入目标函数z=x﹣2y,
得z=1﹣2×2=﹣3
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣3.
故答案为:﹣3.
16.已知函数f(x)=x3+x2+ax,若g(x)=,对任意x1∈[,2],存在x2∈[,2],使f'(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是 .
【考点】函数恒成立问题.
【分析】由题意在[,2]上,[f'(x)]max≤[g(x)]max,求出f'(x)max=f'(2)=8+a,,由此能求出实数a的取值范围.
【解答】解:对任意,存在,使f'(x1)≤g(x2),
∴[f'(x)]max≤[g(x)]max,
∵函数f(x)=x3+x2+ax,g(x)=,
∴f′(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a﹣1,
∵f'(x)=(x+1)2+a﹣1在上单调递增,
∴f'(x)max=f'(2)=8+a,
g(x)在上单调递减,则,
∴,解得.
∴实数a的取值范围是.
故答案为:.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设集合A={x|(x﹣2m+1)(x﹣m+2)<0},B={x|1≤x+1≤4}.
(1)若m=1,求A∩B;
(2)若A∩B=A,求实数m的取值集合.
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【分析】(1)化简集合A,B,即可求A∩B;
(2)若A∩B=A,A⊆B,分类讨论求实数m的取值集合.
【解答】解:集合B={x|0≤x≤3}.…
(1)若m=1,则A={x|﹣1<x<1},
则A∩B={x|0≤x<1}.…
(2)当A=∅即m=﹣1时,A∩B=A;
当A≠∅即m≠﹣1时,
(ⅰ)当m<﹣1时,A=(2m﹣1,m﹣2),要使得A∩B=A,A⊆B,
只要,所以m的值不存在.
(ii)当m>﹣1时,A=(m﹣2,2m﹣1),要使得A∩B=A,A⊆B,
只要,∴m=2.
综上所述,m的取值集合是{﹣1,2}.
18.设f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b(x>0).当x=时,f(x)有最小值﹣1.
(1)求a与b的值;
(2)求满足f(x)<0的x的取值范围.
【考点】对数函数的图象与性质.
【分析】(1)利用配方法,结合x=时,f(x)有最小值﹣1,建立方程组,即可求a与b的值;
(2)f(x)<0即(log2x)2+4log2x+3<0,即可求出x的范围.
【解答】解:(1)f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b=+b﹣a2(x>0),
当x=时,f(x)有最小值﹣1,
∴,解得:;
(2)由(1)得:f(x)=(log2x)2+4log2x+3,
f(x)<0即(log2x+3)(log2x+1)<0,
解得:<x<.
19.已知命题p:∃x0∈[0,2],log2(x+2)<2m;命题q:关于x的方程3x2﹣2x+m2=0有两个相异实数根.
(1)若(¬p)∧q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】(1)若(¬p)∧q为真,则实数m满足故,解得实数m的取值范围;
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p、q一真一假,分类讨论,可得实数m的取值范围.
【解答】解:令f(x)=log2(x+2),则f(x)在[0,2]上是增函数,
故当x∈[0,2]时,f(x)最小值为f(0)=1,故若p为真,则2m>1,.…
△=4﹣12m2>0即时,方程3x2﹣2x+m2=0有两相异实数根,
∴;…
(1)若(¬p)∧q为真,则实数m满足故,
即实数m的取值范围为…
(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则p、q一真一假,
若p真q假,则实数m满足即;
若p假q真,则实数m满足即.
综上所述,实数m的取值范围为.…
20.已知函数f(x)=sin2x+acosx+x在点x=处取得极值.
(1)求实数a的值;
(2)当x∈[﹣,]时,求函数f(x)的最大值.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,根据f′()=0,求出a的值即可;
(2)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的最大值即可.
【解答】解:(1)f(x)=sin2x+acosx+x,
f′(x)=2cos2x﹣asinx+1,
f′()=2cos﹣asin+1=0,
解得:a=4;
(2)由(1)得:f(x)=sin2x+4cosx+x,
f′(x)=2cos2x﹣4sinx+1=2﹣4sin2x﹣4sinx+1=﹣(2sinx+1)2+4,
令f′(x)>0,解得:﹣<x<或<x<,
令f′(x)<0,解得:<x<,
∴f(x)在[﹣,)递增,在(,)递减,在(,)递增,
∴f(x)的最大值是f()或f(),
而f()=﹣2+<f()=+,
故f(x)的最大值是f()=+.
21.已知函数f(x)=2x+2﹣x.
(1)求方程f(x)=的根;
(2)求证:f(x)在[0,+∞)上是增函数;
(3)若对于任意x∈[0,+∞),不等式f(2x)≥f(x)﹣m恒成立,求实数m的最小值.
【考点】函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)求出2x的值,从而求出方程的根即可;(2)根据函数单调性的定义证明即可;(3)求出f(2x)的表达式,得到m≥f(x)﹣f(2x)=f(x)﹣[f(x)]2+2,从而求出m的最小值即可.
【解答】(1)解:方程,即,
亦即,
∴2x=2或,
∴x=1或x=﹣1.…
(2)证明:设0≤x1<x2,
则,
∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在[0,+∞)上是增函数.…
(3)解:由条件知f(2x)=22x+2﹣2x=(2x+2﹣x)2﹣2=(f(x))2﹣2,
因为f(2x)≥f(x)﹣m对于x∈[0,+∞)恒成立,且f(x)>0,
m≥f(x)﹣f(2x)=f(x)﹣[f(x)]2+2.
又x≥0,∴由(2)知f(x)最小值为2,
∴f(x)=2时,m最小为2﹣4+2=0.…
22.已知函数f(x)=x2﹣alnx(a∈R).
(1)若曲线f(x)在(1,f(1))处的切线与直线y=﹣x+5垂直,求实数a的值.
(2)∃x0∈[1,e],使得≤0成立,求实数a的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得到所求a的值;
(2)由题意可得∃x0∈[1,e],使得f(x0)+1+a≤0成立,运用参数分离和构造函数运用导数,判断单调性即可得到最小值,进而得到a的范围.
【解答】解:(1)函数f(x)=x2﹣alnx的导数为f′(x)=2x﹣,
即有曲线f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为2﹣a,
由切线与直线y=﹣x+5垂直,可得2﹣a=1,
解得a=1;
(2)∃x0∈[1,e],使得≤0成立,
即有∃x0∈[1,e],使得f(x0)+1+a≤0成立,
由lnx0∈[0,1],则1﹣lnx0∈[0,1],
即有∃x0∈[1,e],﹣a≥的最小值,
由y=的导数为y′=,
由于3﹣2lnx0∈[1,3],则导数大于0,
即有函数y在[1,e]递增,
则函数的最小值为2,
即有﹣a≥2,解得a≤﹣2.
则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2].
2016年11月22日