专题07 导数及其应用（仿真押题）-2019年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 9页

1．如果函数 y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数 y＝f(x)在区间(－3，－1 2)内单调递增； ②函数 y＝f(x)在区间(－1 2，3)内单调递减； ③函数 y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当 x＝2 时，函数 y＝f(x)取极小值； ⑤当 x＝－1 2时，函数 y＝f(x)取极大值． 则上述判断中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　　B．②③ C．③④⑤ D．③ 2．若函数 f(x)＝2x2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数 k 的取值范 围是(　　) A．[1，＋∞) B．[1,2) C.[1，3 2 ) D.[3 2，2 ) 【解析】选 C.f′(x)＝4x－1 x＝2x－12x＋1 x ， ∵x＞0，由 f′(x)＝0 得 x＝1 2. ∴令 f′(x)＞0，得 x＞1 2；令 f′(x)＜0，得 0＜x＜1 2. 由题意得Error!⇒1≤k＜3 2.故 C 正确． 3．已知函数 f(x)(x∈R)满足 f′(x)＞f(x)，则(　　) A．f(2)＜e2f(0) B．f(2)≤e2f(0) C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)＞e2f(0) 【解析】选 D.由题意构造函数 g(x)＝fx ex ，则 g′(x)＝f′x－fx ex ＞0，则 g(x)＝fx ex 在 R 上单调递 增，则有 g(2)＞g(0)，故 f(2)＞e2f(0)． 当 a＝0 时，f(x)＝－x＋1，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝0，符合题意． 7．函数 y＝f(x)的图象如图所示，则导函数 y＝f′(x)的图象的大致形状是(　　) 【解析】由 f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选 D. 【答案】D 8．曲线 y＝e 在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　) A.9 2e2 B．4e2 2 x C．2e2 D．e2 【解析】∵y′＝1 2e ，∴k＝1 2e ＝1 2e2，∴切线方程为 y－e2＝1 2e2(x－4)，令 x＝0，得 y＝－e2，令 y＝ 0，得 x＝2，∴所求面积为 S＝1 2×2×|－e2|＝e2. 【答案】B 16．已知对∀x∈(0，＋∞)，不等式 lnx＋1≥m－n x(n>0)恒成立，则m n的最大值是(　　) A．1 B．－1 C．e D．－e 【答案】C 17．设曲线 y＝x＋1 x－1在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，则 a＝________. 【解析】因为 y＝x＋1 x－1，所以 y′＝－ 2 x－12，则曲线 y＝x＋1 x－1在点(3,2)处的切线的斜率为 y′Error!＝－ 1 2.又因为切线与直线 ax＋y＋1＝0 垂直，所以－1 2·(－a)＝－1，解得 a＝－2. 【答案】－2 18．曲线 f(x)＝xlnx 在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________． 【解析】因为 f′(x)＝1＋lnx，且 f(1)＝0，f′(1)＝1，所以切线 l 的斜率 k＝1，切线方程为 y＝x－1.令 x＝ 0，得 y＝－1，令 y＝0，得 x＝1，∴切线 l 与两坐标轴的交点坐标分别为 A(0，－1)，B(1,0)，则|OA|＝1，|OB| ＝1，∴S△ABO＝1 2×1×1＝1 2. 2 x 1 42 × 【答案】1 2 19．已知函数 f(x)＝lnx＋1 2ax2－2x 存在单调递减区间，则实数 a 的取值范围为________． 【答案】(－∞，1) 20．函数 f(x)＝2x－ln x 的单调递增区间是________． 【解析】函数 f(x)＝2x－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由 f′(x)＝2－1 x≥0，解得 x≥1 2，所以函数 f(x)＝2x－ln x 的单调递增区间为[1 2，＋∞). 【答案】[1 2，＋∞) 21．已知函数 f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1. (1)若 λ＝0，求 f(x)的最大值； (2)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 x＋y＋1＝0 垂直，证明：fx x－1 >0. 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当 λ＝0 时，f(x)＝ln x－x＋1. 则 f′(x)＝1 x－1，令 f′(x)＝0，解得 x＝1. 当 00，∴f(x)在(0,1)上是增函数； 当 x>1 时，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 故 f(x)在 x＝1 处取得最大值 f(1)＝0. 22．已知函数 f(x)＝x－2 x＋a(2－ln x)(a>0)，求函数 f(x)的单调区间与极值点． 【解析】f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋2 x2－a x＝x2－ax＋2 x2 . 设 g(x)＝x2－ax＋2，对于二次方程 g(x)＝0, 判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ＝a2－8<0，即 00 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，无极值 点． ②当 Δ＝a2－8＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x)＝0，对其余的 x>0 都有 f′(x)>0，此时 f(x)在(0，＋ ∞)上也是增函数，无极值点． ②若 a≠0，∵x>1，∴只需fx x ＝ln x－x－1ax－a＋1 x <0 在(1，＋∞)上恒成立． 记 h(x)＝ln x－x－1ax－a＋1 x ，x∈(1，＋∞)， 则 h′(x)＝－ax2－x－a＋1 x2 ＝－x－1ax＋a－1 x2 ，x∈(1，＋∞)． 由 h′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝1－a a . 若 a<0，则 x2＝1－a a <1＝x1， ∴h′(x)>0 在(1，＋∞)上恒成立，故 h(x)为增函数， ∴h(x)>h(1)＝0，不合题意． 若 00，h(x)为增函数， ∴h(x)>h(1)＝0，不合题意， 若 a≥1 2，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数， ∴h(x)1 时，f(x)<0 恒成立，则 a≥1 2. 25．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食 品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为 x 元/千克，政府补贴为 t 元/千克，根据市场调查，当 16≤x≤24 时，这种食品市场日供应量 p 万千克与市场日需求量 q 万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－ 14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln 20 x (16≤x≤24)．当 p＝q 时的市场价格称为市场平衡价格． (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域． (2)为使市场平衡价格不高于每千克 20 元，政府补贴至少为每千克多少元？ (2)由(1)知 t＝13 2 －1 4x＋ln 20 x (16≤x≤24)． 而 x＝20 时，t＝13 2 －1 4×20＋ln 20 20＝1.5(元/千克)， ∵t 是 x 的减函数，欲使 x≤20，必须 t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克 20 元，政府补贴 至少为 1.5 元/千克． 26．已知函数 f(x)＝Error!.(a>0) (1)若 a＝1，证明：y＝f(x)在 R 上单调递减； (2)当 a>1 时，讨论 f(x)零点的个数． 【解析】(1)证明：当 x≥1 时，f′(x)＝1 x－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0； 当 x<1 时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时 f(x)>0. 所以 y＝f(x)在 R 上单调递减． ③当 10， 所以此时 f(x)没有零点． 综上，当 12 时，f(x)有一个零点． 27．设函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)判断 f(x)的单调性； (2)当 f(x)<0 在(0，＋∞)上恒成立时，求 a 的取值范围； (3)证明：当 x∈(0，＋∞)时，x＋1 ex (1＋x) 0，此时 f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 当 a>0 时，x∈(0，1 a )时，f′(x)>0，此时 f(x)在(0，1 a )上是增函数，x∈(1 a，＋∞)时，f′(x)<0，此时 f(x)在 (1 a，＋∞)上是减函数． 综上，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，当 a>0 时，f(x)在(0，1 a )上是增函数，在(1 a，＋∞)上是减 函数． 0 1x － 0 1x － 1 x (3)证明：要证当 x∈(0，＋∞)时，x＋1 ex (1＋x)