数学文（A）卷·2018届北京人大附中高三上学期期末考试仿真卷（2018 16页

‎2017-2018学年上学期高三期末考试仿真测试卷 文科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2017·长春二模]已知复数，则下列命题中正确的是（ ）‎ ‎①；②；③的虚部为；④在复平面上对应的点位于第一象限．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．[2017·西工大附中]已知高峰期间某地铁始发站的发车频率为5分钟1班，由于是始发站，每次停靠1分钟后发车，则小明在高峰期间到该站后1分钟之内能上车的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2017·湖北八校联考]已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2017·合肥八中]函数对任意x都有，则等于（ ）‎ A．或 B．或 C． D．或0‎ ‎5．[2017·定州中学]如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．[2017·梅州一中]在上随机地取一个数，则事件“直线与有公共点”发生的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．[2017·铜仁一中]执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．[2017·河南联考]古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题之两鼠穿垣．今有垣厚5尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问：何日相逢？题意是：由垛厚五尺（旧制长度单位，尺=寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打进尺，以后每天的速度为前一天的倍；小鼠第一天也打进尺，以后每天的进度是前一天的一半．它们多久可以相遇？（ ）‎ A．天 B．天 C．天 D．天 ‎9．[2017·洛阳期中]在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边，平面，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2017·湖南联考]设点是双曲线与圆在第一象限的交点，分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2017·上高二中]如图所示，在平面四边形中，，，为正三角形，则面积的最大值为（ ）‎ ‎ ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎12．[2017·莆田二十四中]已知函数，若对任意的，‎ 在上总有唯一的零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2017·旅顺中学]某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎10‎ ‎26‎ ‎35‎ ‎49‎ 根据上表可得回归方程的约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为________万元．‎ ‎14．[2017·朝阳第80中]已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，设，则的最大值为____________．‎ ‎15．[2017·大名县一中]已知向量与向量的夹角为，若向量，且，则的值为_________．‎ ‎16．[2017·西工大附中]已知数列满足，，若表示不超过的最大整数，则__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2017·嘉兴一中]已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2017·贵阳一中]某学校高二年级共有人，现统计他们某项任务完成时间介于分钟到分钟之间，下图是统计结果的频率分布直方图．‎ ‎（1）求平均值、众数、中位数；‎ ‎（2）若学校规定完成时间在分钟内的成绩为等；完成时间在分钟内的成绩为等；完成时间在分钟内的成绩为等，按成绩分层抽样从全校学生中抽取名学生，则成绩为等的学生抽取人数为？‎ ‎（3）在（2）条件下抽取的成绩为等的学生中再随机选取两人，求两人中至少有一人完成任务时间在分钟的概率．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2017·长郡中学]如图1，在矩形中，，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2017·承德中学]如图，已知抛物线，圆，过抛物线的焦点且与轴平行的直线与交于，两点，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，，，，且直线的斜率，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2017·柘皋中学]设函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2017·武邑中学]选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）射线与曲线的交点为，与曲线的交点为，求线段的长．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2017·金伦中学]选修4-5：不等式选讲 已知，，，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年上学期高三年级期末考试仿真测试卷 文科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】由已知，①②④正确，③错误．故选C．‎ ‎2．【答案】D ‎【解析】根据已知，从上一班车发出后开始的分钟内，只要小明在第分祌到第分祌之间的任一时刻到达均能在到该站后分祌之内能上车，由几何概率公式得：小明在高峰期间到该站后分钟之内能上车的概率为，故选D．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】由，得：，，则，故，故选C．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】因为函数对任意都有，所以该函数图象关于直线对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以或，故选B．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为 ‎，故选C．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】由直线与圆，有公共点得：，所以概率为，选D．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】因为，所以，因为输出，所以此时，故选C．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】由于前两天大鼠打尺，小鼠打尺，因此前两天两鼠共打．第三天，大鼠打尺，小鼠打尺，因此第三天相遇．设第三天，大鼠打尺，小鼠打尺，则，，因为第三天大鼠速度是4尺，故第三天进行了天，所以共进行天，故选A．‎ ‎9．【答案】A ‎【解析】根据已知，可将三棱锥补成一个长方体，如下图：‎ ‎ ‎ 则三棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由于，，且 是直角三角形， 平面，长方体的对角线长为，三棱锥的外接球的半径，三棱锥的外接球的表面积为，故选A．‎ ‎10．【答案】B ‎【解析】点到原点的距离为，又因为在中，，所以是直角三角形，即．由双曲线定义知，又因为，所以，．在中，由勾股定理得，解得．故选A．‎ ‎11．【答案】D ‎【解析】在中，设，，由余弦定理得：‎ ‎，∵为正三角形，∴，‎ 由正弦定理得：，，，‎ ‎∵，‎ ‎∵，∴为锐角，，∴当时，，故选D．‎ ‎12．【答案】C ‎【解析】函数，可得，所以由，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在坐标系中画出和的图象，如图所示，‎ ‎ ‎ 对任意的，在上总唯一的零点，可得，可得，可得，即，故选C．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】57‎ ‎【解析】，，所以，，则，所以时，，所以销售额约为57．‎ ‎14．【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ 作出不等式对应的平面区域如图所示，则，得，平移直线 ‎，由图象可以知道当直线的截距最大时，此时最大．此时直线经过点，故的最大值为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，∵，∴即，故，故=．故答案为：．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】由递推关系可得：，，又，据此可得：数列是首项为，公差为的等差数列，，，‎ 则当时：，据此有：‎ ‎，‎ 很明显：，则1．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】，‎ 所以，函数的单调递增区间为：，‎ ‎（2），，‎ 又，，‎ ‎．‎ ‎18．【答案】（1）平均数为，众数为，中位数为；（2）中抽人；‎ ‎（3）两人中至少有一人完成任务时间在分钟的概率为．‎ ‎【解析】（1）平均数为；‎ 众数为；因为完成时间在分钟内的频率为，在分钟内的频率为，所以中位数为．‎ ‎（2）因为，，的频率比为，共抽人，所以中抽人．‎ ‎（3）抽出的成绩为等学生中完成任务时间分钟的学生有人，设为；在分钟的学生人数为人，设为，则7人中任选两人共有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种．‎ 两人中至少有一人完成任务时间在分钟内的有：，，，，，，，，，，共种．‎ 所以两人中至少有一人完成任务时间在分钟的概率为．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析．‎ ‎【解析】（1）证明：连接，∵为矩形且，所以，‎ 即，又平面，平面平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2），取中点，连接，∵，，∴，‎ 且，所以共面，若平面，则．‎ ‎∴为平行四边形，所以．‎ ‎20．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）∵，∴，故抛物线的方程为，‎ ‎（2），直线的方程为，，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ 设，，‎ 由，得，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，设，则，‎ 设，则，‎ ‎∵，∴，∴函数在上递增，‎ ‎∴，∴，即的取值范围为．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由定义域为，，‎ 当时，，在单调增．‎ 当时，，；，‎ 在单调增，在单调减．‎ 综上所述：当时，在单调增；‎ 当时，在单调增，在单调减．‎ ‎（2）由（1）可知，，则恒成立．‎ 令，显然，，‎ 再令，，当，当．‎ 在单调减，单调增．，，∴，‎ 在单调增，，∴．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），，；（2）．‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数，），‎ 普通方程为（），‎ 极坐标方程为，，曲线的参数方程为（为参数），‎ 普通方程；‎ ‎（2），，即；‎ 代入曲线的极坐标方程，可得，即，‎ ‎∴．‎ ‎23．【答案】见解析 ‎【解析】（1）‎ ‎．‎ ‎（2）因为 ‎，所以，因此．‎ ‎ ‎