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- 2021-06-22 发布
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课后限时集训3
全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
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一、选择题
1.已知命题p:存在x0∈R,log2(3x0+1)≤0,则( )
A.p是假命题;¬p:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;¬p:对任意x∈R,log2(3x+1)>0
C.p是真命题;¬p:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0
D.p是真命题;¬p:对任意x∈R,log2(3x+1)>0
B [因为3x>0,所以3x+1>1,则log2(3x+1)>0,所以p是假命题,¬p:对任意x∈R,log2(3x+1)>0.故应选B.]
2.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是( )
A.命题¬p是真命题
B.命题p是特称命题
C.命题p是全称命题
D.命题p既不是全称命题也不是特称命题
C [该命题是全称命题且是真命题.故选C.]
3.在一次跳高比赛前,甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,则命题p或q表示( )
A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米
B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米
C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米
D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米
D [∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”,命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”,∴命题p或q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”,故选D.]
4.已知命题p:若a>|b|,则a2>b2;命题q:若x2=4,则x=2.下列说法正确的是( )
A.“p或q”为真命题 B.“p且q”为真命题
C.“¬p”为真命题 D.“¬q”为假命题
A [由a>|b|≥0,得a2>b2,所以命题p为真命题.因为x2=4⇔x=±2,所以命题q为假命题.所以“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,“¬p”为假命题,“¬q”为真命题.综上所述,可知选A.]
5.(2019·玉溪模拟)有四个关于三角函数的命题:
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P1:存在x∈R,sin x+cos x=2;
P2:存在x∈R,sin 2x=sin x;
P3:对任意x∈,=cos x;
P4:对任意x∈(0,π),sin x>cos x.
其中真命题是( )
A.P1,P4 B.P2,P3
C.P3,P4 D.P2,P4
B [因为sin x+cos x=sin,所以sin x+cos x的最大值为,可得不存在x∈R,使sin x+cos x=2成立,得命题P1是假命题;
因为存在x=kπ(k∈Z),使sin 2x=sin x成立,故命题P2是真命题;
因为=cos2x,所以=|cos x|,结合x∈得cos x≥0,由此可得=cos x,得命题P3是真命题;
因为当x=时,sin x=cos x=,不满足sin x>cos x,所以存在x∈(0,π),使sin x>cos x不成立,故命题P4是假命题.故选B.]
6.(2019·安徽芜湖、马鞍山联考)已知命题p:存在x∈R,x-2>lg x,命题q:对任意x∈R,ex>x,则( )
A.命题p或q是假命题
B.命题p且q是真命题
C.命题p且(¬q)是真命题
D.命题p或(¬q)是假命题
B [显然,当x=10时,x-2>lg x成立,所以命题p为真命题.设f(x)=ex-x,则f′(x)=ex-1,当x>0时,f′(x)>0,当x<0时,f′(x)<0,所以f(x)≥f(0)=1>0,所以对任意x∈R,ex>x,所以命题q为真命题.故命题p且q是真命题,故选B.]
二、填空题
7.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数.若p或q是真命题,p且q是假命题,则实数a的取值范围是________.
(-∞,-12)∪(-4,4) [命题p等价于Δ=a2-16≥0,即a≤-4或a≥4;命题q等价于-≤3,即a≥-12.由p或q是真命题,p且q是假命题知,命题p和q一真一假.若p真q假,则a<-12;若p假q真,则-4<a<4.故a的取值范围是(-∞,-12)∪
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(-4,4).]
8.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“存在x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则f(a+b)=________.
0 [若“存在x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则“对任意x∈(a,b),f(x)+f(-x)=0”是真命题,即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,则a+b=0,即f(a+b)=f(0)=0.]
9.以下四个命题:
①对任意x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②存在x0∈Q,x=2;③存在x0∈R,x+1=0;④对任意x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________.
0 [∵x2-3x+2=0的判别式Δ=(-3)2-4×2>0,
∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立,
∴①为假命题;
当且仅当x=±时,x2=2,
∴不存在x0∈Q,使得x=2,∴②为假命题;
对任意x∈R,x2+1≠0,∴③为假命题;
4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,
即当x=1时,4x2=2x-1+3x2成立,
∴④为假命题,
∴①②③④均为假命题.
故真命题的个数为0.]
10.已知命题p:存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,命题q:对任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p且q为假命题,则实数m的取值范围为________.
(-∞,-2]∪(-1,+∞) [由命题p:存在x0∈R,(m+1)(x+1)≤0,可得m≤-1;由命题q:对任意x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2<m<2,因为p且q为假命题,所以m≤-2或m>-1.]
1.(2019·惠州第一次调研)设命题p:若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则对任意x∈R,f(-x)≠f(x).命题q:f(x)=x|x|在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.则下列判断错误的是( )
A.p为假命题 B.¬q为真命题
C.p或q为真命题 D.p且q为假命题
C [函数f(x)不是偶函数,仍然可存在x∈R,使得f(-x)=f(x),p为假命题;f(x)=x|x|=在R上是增函数,q为假命题.所以p或q为假命题,故选C.]
2.(2019·湖北荆州调研)已知命题p:方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q
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:函数f(x)=x+的最小值为4,给出下列命题:①p且q;②p或q;③p且(¬q);④(¬p)或(¬q),则其中真命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [由于Δ=4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,即命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+的值为负值,故命题q为假命题.所以p或q,p且(¬q),(¬p)或(¬q)是真命题,故选C.]
3.若命题“对任意x∈,1+tan x≤m”的否定是假命题,则实数m的取值范围是________.
[1+,+∞) [根据题意得不等式1+tan x≤m,对任意x∈恒成立,∵y=1+tan x在x∈上为增函数,∴(1+tan x)max=1+tan=1+,则有m≥1+,即实数m的取值范围是[1+,+∞).]
4.下列命题中正确的是________.(填序号)
①“函数y=+(x∈R)的最小值不为2”是假命题;
②“a≠0”是“a2+a≠0”的必要不充分条件;
③若p且q为假命题,则p,q均为假命题;
④若命题p:存在x0∈R,x+x0+1<0,则¬p:任意x∈R,x2+x+1≥0.
②④ [对于①,设t=,t≥3,∴y=t+在[3,+∞)上单调递增,∴y=t+的最小值为,∴函数y=+(x∈R)的最小值不为2是真命题,故①错误;对于②,因为“a2+a=0”是“a=0”的必要不充分条件,根据原命题及其逆否命题同真同假,可知②正确;对于③,若p且q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故③错误;对于④,若命题p:存在x0∈R,x+x0+1<0,则¬p:对任意x∈R,x2+x+1≥0,是真命题.]
1.(2019·黄冈模拟)下列四个命题:
①若x>0,则x>sin x恒成立;
②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”;
③“命题p且q为真”是“命题p或q为真”的充分不必要条件;
④命题“对任意x∈R,x-ln x>0”的否定是“存在x0∈R,x0-ln x0<0”.
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其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
C [对于①,令y=x-sin x,则y′=1-cos x≥0,则函数y=x-sin x在R上递增,即当x>0时,x-sin x>0-0=0,则当x>0时,x>sin x恒成立,故①正确;
对于②,命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”,故②正确;
对于③,命题p或q为真即p,q中至少有一个为真,p且q为真即p,q都为真,可知“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件,故③正确;
对于④,命题“对任意x∈R,x-ln x>0”的否定是“存在x0∈R,x0-ln x0≤0”,故④错误.
综上,正确命题的个数为3,故选C.]
2.已知函数f(x)=(x≥2),g(x)=ax(a>1,x≥2).
(1)若存在x0∈[2,+∞),使f(x0)=m成立,则实数m的取值范围为________.
(2)若对任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为________.
(1)[3,+∞) (2)(1,] [(1)∵f(x)==(x-1)++1,
∵x≥2,∴x-1≥1,
∴f(x)≥2+1=3.
当且仅当x-1=,
即x-1=1,x=2时等号成立.
∴m∈[3,+∞).
(2)∵g(x)=ax(a>1,x≥2),
∴g(x)min=g(2)=a2.
∵对任意x1∈[2,+∞),存在x2∈[2,+∞)使得f(x1)=g(x2),
∴g(x)min≤f(x)min,∴a2≤3,即a∈(1,].]
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