人教版高中数学选修1-1课件：1_变化率问题 13页

3.1.1 变化率问题 通过实际背景分析，学生自主探究，经历归纳出 平均变化率概念的过程，掌握求平均变化率的方 法，了解平均变化率的几何意义。感受从特殊到 一般的教学思想方法。 经历平均变化率概念的得出过程，掌握求平均变化率 的方法，了解平均变化率的几何意义。 如何从具体情景中归纳出平均变化率的概念；平均变 化率几何意义的理解。 教学目标： 重点： 难点： 问题 1 气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过 程，可以发现，随着气球内空气容量的增 加，气球的半径增加的越来越慢从数学的 角度，如何描述这种现象呢？ 气球的体积 V （单位： L ）与半径 r （单位： dm ）之间的函数关系 是 V(r) = π r 3 如果将半径 r 表示为体积 V 的函数，那么 r(V)= “ 随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思 是： 随着气球体积的增大，当气球体积 _____________ 时， 相应半径的 _______ 越来越小 . 增加量相同 增加量 从而 : “ 随着气球体积的增大 , 比值 ( 即平均 膨胀率 ) 越来越小 ” 。 ( ) ( ) 半径的增加量 体积的增加量 操作验证： 利用函数图象计算： r(0)=_________ r(1) ≈ _______ r(2) ≈ ________ r(2.5) ≈ _______ r(4) ≈ _________ 所以： r(1)-r(0) 1-0 ≈ _____(dm/L) r(2)-r(1) 2-1 ≈ _____(dm/L) r(2.5)-r(2) 2.5-2 ≈ _____(dm/L) r(4)-r(2.5) 4-2.5 ≈ _____(dm/L) 所以，随着气球体积逐渐变大，它的 ____________ 逐渐变小了。 0 0.62 0.78 0.85 1 0.62 0.16 0.14 0.10 平均膨胀率 函数 r(V)= (0 ≤V≤5 ) 的图象为 : 思考 : 当空气容量 V 1 增加到 V 2 时，气球的平均膨胀率 是多少？ 一般地， V 1 V 2 时，平均膨胀率 = r(V 2 ) r(V 1 ) V 2 V 1 问题 2 高台跳水 在跳水运动中，运动员相对于水面高度 h （单位 :m ）与起跳后的 时间 t( 单位 :s) 存在函数关系： h(t)= - 4.9 t 2 +6.5 t+10 （如图） h(0.5) - h(0) 0.5 - 0 t:0 0.5 时 , v= t:1 2 时 , v= = 4.05(m/s) h(2) – h(1) 2 – 1 = - 8.2(m/s) 一般地 ,t 1 t 2 时 , v= h(t 2 ) – h(t 1 ) t 2 – t 1 平均速度 在某段时间内，高度相对于时间的变化率用 __________ 描述。 归纳定义： 即，平均变化率 = Δ y Δ x f(x 2 ) - f(x 1 ) x 2 – x 1 f(x 1 + Δ x) – f(x 1 ) Δ x 函数 y=f(x) ，从 x 1 到 x 2 的平均变化率为： = = 例 1 已知 f(x)=2x 2 +1 (1) 求 : 其从 x 1 到 x 2 的平均变化率； (2) 求 : 其从 x 0 到 x 0 + Δx 的平均变化率，并求 x 0 =1, Δx= 时， 的平均变化率。 解 : (1) Δ y Δ x f(x 2 ) – f(x 1 ) x 2 – x 1 = =2(x 1 +x 2 ) (2x 2 2 +1) – (2x 1 2 +1) x 2 – x 1 = (2) Δ y Δ x = f(x 0 + Δ x) – f(x 0 ) (x 0 + Δ x) – x 0 f(x 0 + Δ x) – f(x 0 ) Δ x = = (2(x 0 + Δ x) 2 +1) – (2x 0 2 +1) Δ x =4x 0 +2 Δ x Δ Δ y Δ x = 4x 0 +2 Δ x = 5 当 x 0 = 1 , Δ x= 时， 思考： 函数 y=f(x) ，从 x 1 到 x 2 的平均变化率 = 的几何意义是什么？ Δ y Δ x f(x 2 ) – f(x 1 ) x 2 – x 1 答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率 探究： 答 : ( 1) 不是。先上升，后下降。 (2) 平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态 它并不能反映某一刻的运动状态。 计算运动员在 0 ≤t≤ 这段时间 里的平均速度： v=______ ，思考 下面的问题： (1) 运动员在这段时间里是静止 的吗？ (2) 你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？ 0m/s 课堂练习： 1 、已知自由落体的运动方程为 s= gt 2 ，求 : (1) 落体在 t 0 到 t 0 + Δt 这段时间内的平均速度； (2) 落体在 t 0 =2 秒到 t 1 =2.1 秒这段时间内的平均速度 (g=10m/s 2 ) 。 2 、过曲线 f(x)=x 2 上两点 P(1,1) 和 Q(2,4) 做曲线的割线，求割线 PQ 的斜率 k 。 小结： 气球平均膨胀率 平均速度 平均变化率定义 平均变化率几何意义 作业： P79 :A 组第一题