2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（讲）（解析版） 10页

专题07 数列(讲)‎ ‎1．【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题知，，解得，∴，,故选A．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．‎ ‎2．【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则( )‎ A． 当 B． 当 C． 当 D． 当 ‎【答案】A ‎【解析】①当b=0时，取a=0，则.②当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.③当时，，‎ 则，.(ⅰ)当时，，则，，‎ ‎ ，则， ，故A项正确.‎ ‎(ⅱ)当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.‎ ‎【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.‎ ‎3．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．‎ ‎【答案】 0，.‎ ‎【解析】等差数列中,,得又,所以公差,‎ ‎,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.‎ ‎【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎4．【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由题意可得：，解得：，‎ 则.‎ ‎【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程(组)，如本题，从已知出发，构建的方程组.‎ 一、考向分析： ‎ ‎ 数列 数列求和 通项公式概念 等差（比）数列 数列应用 ‎ 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 通项公式 ‎1、用观察法求数列的通项公式的两个技巧 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．‎ ‎(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．‎ ‎2、已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1；‎ ‎(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．‎ ‎3、由递推关系式求通项公式的常用方法 ‎(1)已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累加法”求an。‎ ‎(2)已知a1且＝f(n)(n≥2，n∈N*)，可用“累乘法”求an。‎ ‎(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}。‎ 另外：1.形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解。‎ ‎(4)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可。‎ 等差数列 ‎1、等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解。‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。‎ ‎2、等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列。‎ ‎3、等差数列的性质 ‎(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差。‎ ‎(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则 ‎①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an。‎ ‎4、求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。‎ ‎(2)邻项变号法：‎ ‎①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm。‎ ‎②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm。‎ 等比数列 ‎1、解决等比数列有关问题的常用思想方法 ‎(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．‎ ‎(2)分类讨论的思想：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算。‎ ‎2、证明等比数列的用方法：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可。‎ ‎1、分组转化法求和的常见类型 ‎(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和。‎ ‎(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和。‎ ‎2、错位相减法求和时两个注意点 ‎(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；‎ 数列求和 ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。‎ ‎3．裂项相消法 ‎(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。‎ ‎(2)常见的裂项技巧 ‎①＝－。②＝。‎ ‎③＝。④＝－。‎ ‎(3)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等。‎ 考查通项公式：‎ ‎【例1】设数列的前n项和为，已知，且，记，则 ______．‎ ‎【解析】∵，且，∴，∵，‎ ‎∴时，，两式相减可得，，()‎ 即时，即，∵，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴，，‎ ‎∴，‎ ‎【例2】在数列中，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,,则,…,,‎ 所以由累加法可得,,即,则 ‎,所以故选：D 考查等(差)比数列的证明 ‎【例1】已知数列的前项和为，且，．‎ ‎(1)，求证数列是等比数列；(2)设，求证数列是等差数列；‎ ‎【解析】(1)由题意，，，两式相减，得 ‎，， ，又由题设，得，即， ，∴是首项为3，公比为2的等比数列；‎ ‎(2)由(1)得，， ，即．∴数列是首项为，公差为的等差数列；‎ ‎【点睛】本题考查数列递推式，考查了等差关系与等比关系的确定，是中档题． ‎ 考查等差(比)数列性质：‎ ‎【例1】在等差数列中，，是方程的两根，则数列的前11项和等于( )‎ A．66 B．132 C．66 D． 32‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，是方程的两根，所以，又，‎ 所以，，故选D.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.‎ ‎【例2】设是等比数列，且，，则的通项公式为_______．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，解得，所以，因此，，.故答案为，.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型.‎ 考查数列求和：‎ ‎【例1】已知数列的前项和为,且,,则满足 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，相减得，‎ ‎【点睛】本题考查和项求通项以及利用等比数列求和公式求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎【例2】已知递增等比数列满足：，.‎ ‎(1)求的前项和；(2)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)，；(2).‎ ‎【解析】(1)由题可知，，由递增等比数列或(舍)，所以；‎ ‎(2)由(1)知，所以.‎ 所以数列的前项和：‎ ‎.数列的前项和.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查等比数列通项公式和前项和公式，考查裂项求和法，属于中档题.‎ 考查数列应用：‎ ‎【例1】‎ 习近平总书记指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山．”新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向．工业部表示，到2025年中国的汽车总销量将达到3500万辆，并希望新能源汽车至少占总销量的五分之一．山东某新能源公司年初购入一批新能源汽车充电桩，每台12800元，第一年每台设备的维修保养费用为1000元，以后每年增加400元，每台充电桩每年可给公司收益6400元．‎ ‎(1)每台充电桩第几年开始获利？()‎ ‎(2)每台充电桩在第几年时，年平均利润最大．‎ ‎【答案】(1)公司从第3年开始获利；(2)在第8年时，每台充电桩年平均利润最大 ‎【解析】(1)由题意知每年的维修保养费用是以1000为首项，400为公差的等差数列，设第n年时累计利润为，‎ ‎，‎ 开始获利即，∴，即，‎ 解得，∵，∴，∴公司从第3年开始获利；‎ ‎(2)每台充电桩年平均利润为，‎ 当且仅当，即时，等号成立．即在第8年时每台充电桩年平均利润最大为2400元．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的实际应用和利用基本不等式求最值，考查学生分析问题，解决问题的能力，根据条件列出符合题意的表达式是解本题的关键，属中档题.‎ 考查数列与不等式：‎ ‎【例1】已知正数数列满足，.令(其中)，数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】当且时，，整理可得： ，，…，，‎ ‎ ‎ 当时，符合 ，‎ 所以 ‎，， 又，，，综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和的问题；涉及到与关系的应用、累乘法求解数列的通项公式等知识；求解数列前项和的关键是能够根据通项公式的形式进行准确裂项，进而前后相消求得结果. ‎ 等差数列前n项和最值问题 ‎【例】在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值。‎ ‎【解析】法一：因为a1＝20，S10＝S15，‎ 所以10×20＋d＝15×20＋d，所以d＝－。‎ 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0。即当n≤12时，an>0，当n≥14时，an<0。‎ 所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝＝130。‎ 解法二：Sn＝20n＋·＝－n2＋n＝－2＋。‎ 因为n∈N*，所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝130。‎ 解法三：由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0。所以‎5a13＝0，即a13＝0。‎ 所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，最大值为S12＝S13＝130。‎ ‎【变式】若将本例条件“a1＝‎20”‎改为“a1＝－‎20”‎，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值。‎ ‎【解析】由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，所以a13＝0。又a1＝－20，所以a12<0，a14>0，‎ 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值S12＝S13＝－130。‎ 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 ‎1．函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解。‎ ‎2．邻项变号法：‎ ‎(1)当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm。‎ ‎(2)当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm。‎