高中数学必修2同步练习：球的体积和表面积 4页

必修二 1.3.2 球的体积和表面积 一、选择题 ‎1、已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则(　　)‎ A．以上四个图形都是正确的 B．只有(2)(4)是正确的 C．只有(4)是错误的 D．只有(1)(2)是正确的 ‎2、一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为(　　)‎ A．4∶9 B．9∶4‎ C．4∶27 D．27∶4‎ ‎3、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　)‎ A．25π B．50π C．125π D．以上都不对 ‎4、若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为(　　)‎ A．1∶2∶3 B．1∶∶ C．1∶2∶3 D．1∶4∶7‎ ‎5、正方体的内切球和外接球的体积之比为(　　)‎ A．1∶ B．1∶3‎ C．1∶3 D．1∶9‎ ‎6、把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的(　　)‎ A．2倍 B．2倍 C．倍 D．倍 ‎7、一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)‎ A． B． C． D． 二、填空题 ‎8、(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；‎ ‎(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．‎ ‎9、将一钢球放入底面半径为‎3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高‎4 cm，则钢球的半径是________．‎ ‎10、毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．‎ 三、解答题 ‎11、有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．‎ ‎12、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．‎ ‎13、如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为‎8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)‎ ‎，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]‎ ‎2、A　[设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]‎ ‎3、B　[外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝(a、b、c分别是长、宽、高)．]‎ ‎4、C　[由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶2∶3．]‎ ‎5、C　[关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．]‎ ‎6、B　[由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．]‎ ‎7、A　[先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公式求得体积比为．]‎ 二、填空题 ‎8、(1)球　(2)球 解析　设正方体的棱长为a，球的半径为r．‎ ‎(1)当6a2＝4πr2时，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方体；‎ ‎(2)当a3＝πr3时，S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方体．‎ ‎9、3 cm 解析　设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3 cm．‎ ‎10、4‎ 解析　地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．‎ 三、解答题 ‎11、解　设正方体的棱长为a．如图所示．‎ ‎①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．‎ ‎②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．‎ ‎③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，‎ r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．‎ 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．‎ ‎12、解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．‎ 根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝r．‎ 即容器中水的深度为r．‎ ‎13、解　要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须 V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，‎ V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h．‎ 依题意：π×42×h≥×π×43，解得h≥8．‎ 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．‎ 又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，‎ 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，‎ 制造的杯子最省材料．‎