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- 2021-06-22 发布
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新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)
典题精讲
例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;
(2)求函数y=x+的值域.
思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.
(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.
∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.
解法二:∵0<x<,∴-x>0.
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.
∴x=时,函数取得最大值.
(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.
当x<0时,y=x+=-[(-x)+].
∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.
∴y=x+≤-2.
综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.
变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+的最小值.
思路分析:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
解:∵x>-1,∴x+1>0.
∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.
当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.
∴f(x)min=1.
变式训练2求函数y=的最小值.
思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.
解:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1.
∴y==.
∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.
∴当x=0时,函数取得最小值3.
例2已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.
思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.
解法一:利用“1的代换”,
∵+=1,
∴x+y=(x+y)·(+)=10+.
∵x>0,y>0,∴≥2=6.
当且仅当,即y=3x时,取等号.
又+=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
解法二:由+=1,得x=.
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.
∵y>9,∴y-9>0.
∴≥2=6.
当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy,
∴(x-1)(y-9)=9.
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,
当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,
∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.
绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.
黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:
+≥2①,即≤1,∴≥6.
∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.
产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.
变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.
思路分析:本题属于“1”的代换问题.
解:x+y=(x+y)()=a++b=10+.
∵x,y>0,a,b>0,
∴x+y≥10+2=18,即=4.
又a+b=10,
∴或
例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0<x<1).
思路分析:∵0<x<1,
∴lgx<0,<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.
解:∵0<x<1,∴lgx<0,<0.∴->0.
∴(-lgx)+(-)≥2=4.
∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.
当且仅当lgx=,即x=时取得等号.
则有f(x)=3+lgx+ (0<x<1)的最小值为-1.
黑色陷阱:本题容易忽略0<x<1这一个条件.
变式训练1已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.
思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x<,则4x-5<0.
解:∵x<,∴4x-5<0.
y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3
≤-2+3=-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.
所以当x=1时,函数的最大值是1.
变式训练2当x<时,求函数y=x+的最大值.
思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=(2x-3)++=-()+,再求最值.
解:y=(2x-3)++=-()+,
∵当x<时,3-2x>0,
∴≥=4,当且仅当,即x=-时取等号.
于是y≤-4+=,故函数有最大值.
例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
(1)现有可围36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?
(2)若使每间虎笼面积为24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?
思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.
解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S,则S=xy.
方法一:由于2x+3y≥2=2,
∴2≤18,得xy≤,即S≤.
当且仅当2x=3y时等号成立.
由解得
故每间虎笼长为4.5 m,宽为3 m时,可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18,得x=9-y.
∵x>0,∴0<y<6.
S=xy=(9-y)y= (6-y)y.
∵0<y<6,∴6-y>0.
∴S≤[]2=.
当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时,可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2=2=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由解得
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24,得x=.
∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.
故每间虎笼长6 m,宽4 m时,可使钢筋总长最小.
绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:
(1)x,y都是正数;
(2)积xy(或x+y)为定值;
(3)x与y必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
图3-4-2
思路分析:在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.
解:设污水处理池的长为x米,则宽为米(0<x≤16,0<≤16),∴12.5≤x≤16.
于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.
=800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800,
当且仅当x= (x>0),即x=18时等号成立,而18[12.5,16],∴Q(x)>44 800.
下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性.
对任意12.5≤x1<x2≤16,则x2-x1>0,x1x2<162<324.
Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324()]
=800×<0,
∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.
问题探究
问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,
环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.
导思:本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.
探究:设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.
由题意知y=n+.
∵n+≥2,
当且仅当n=,即n=时取等号.
但考虑到n∈N*,
∴n≈2×1.414=2.828≈3,
即此人应选3楼,不满意度最低.