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  • 2021-06-22 发布

新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(34基本不等式)

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新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)‎ 典题精讲 例1(1)已知0<x<,求函数y=x(1-3x)的最大值;‎ ‎(2)求函数y=x+的值域.‎ 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x>0,因而不能直接使用基本不等式,需分x>0与x<0讨论.‎ ‎(1)解法一:∵0<x<,∴1-3x>0.‎ ‎∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立.∴x=时,函数取得最大值.‎ 解法二:∵0<x<,∴-x>0.‎ ‎∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3[]2=,当且仅当x=-x,即x=时,等号成立.‎ ‎∴x=时,函数取得最大值.‎ ‎(2)解:当x>0时,由基本不等式,得y=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立.‎ 当x<0时,y=x+=-[(-x)+].‎ ‎∵-x>0,∴(-x)+≥2,当且仅当-x=,即x=-1时,等号成立.‎ ‎∴y=x+≤-2.‎ 综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).‎ 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.‎ 变式训练1当x>-1时,求f(x)=x+的最小值.‎ 思路分析:x>-1x+1>0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.‎ 解:∵x>-1,∴x+1>0.‎ ‎∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.‎ 当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.‎ ‎∴f(x)min=1.‎ 变式训练2求函数y=的最小值.‎ 思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.‎ 解:令t=x2+1,则t≥1且x2=t-1.‎ ‎∴y==.‎ ‎∵t≥1,∴t+≥2=2,当且仅当t=,即t=1时,等号成立.‎ ‎∴当x=0时,函数取得最小值3.‎ 例2已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值.‎ 思路分析:要求x+y的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.‎ 解法一:利用“1的代换”,‎ ‎∵+=1,‎ ‎∴x+y=(x+y)·(+)=10+.‎ ‎∵x>0,y>0,∴≥2=6.‎ 当且仅当,即y=3x时,取等号.‎ 又+=1,∴x=4,y=12.‎ ‎∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.‎ 解法二:由+=1,得x=.‎ ‎∵x>0,y>0,∴y>9.‎ x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.‎ ‎∵y>9,∴y-9>0.‎ ‎∴≥2=6.‎ 当且仅当y-9=,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.解法三:由+=1,得y+9x=xy,‎ ‎∴(x-1)(y-9)=9.‎ ‎∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,‎ 当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,‎ ‎∴x=4,y=12.‎ ‎∴当x=4,y=12时,x+y取得最小值16.‎ 绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.‎ 黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:‎ ‎+≥2①,即≤1,∴≥6.‎ ‎∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.‎ 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是=,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.‎ 变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b的值.‎ 思路分析:本题属于“1”的代换问题.‎ 解:x+y=(x+y)()=a++b=10+.‎ ‎∵x,y>0,a,b>0,‎ ‎∴x+y≥10+2=18,即=4.‎ 又a+b=10,‎ ‎∴或 例3求f(x)=3+lgx+的最小值(0<x<1).‎ 思路分析:∵0<x<1,‎ ‎∴lgx<0,<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.‎ 解:∵0<x<1,∴lgx<0,<0.∴->0.‎ ‎∴(-lgx)+(-)≥2=4.‎ ‎∴lgx+≤-4.∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.‎ 当且仅当lgx=,即x=时取得等号.‎ 则有f(x)=3+lgx+ (0<x<1)的最小值为-1.‎ 黑色陷阱:本题容易忽略0<x<1这一个条件.‎ 变式训练1已知x<,求函数y=4x-2+的最大值.‎ 思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x<,则4x-5<0.‎ 解:∵x<,∴4x-5<0.‎ y=4x-5++3=-[(5-4x)+]+3‎ ‎≤-2+3=-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.‎ 所以当x=1时,函数的最大值是1.‎ 变式训练2当x<时,求函数y=x+的最大值.‎ 思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=(2x-3)++=-()+,再求最值.‎ 解:y=(2x-3)++=-()+,‎ ‎∵当x<时,3-2x>0,‎ ‎∴≥=4,当且仅当,即x=-时取等号.‎ 于是y≤-4+=,故函数有最大值.‎ 例4如图‎3-4-1‎,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.‎ 图‎3-4-1‎ ‎(1)现有可围‎36 m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?‎ ‎(2)若使每间虎笼面积为‎24 m2‎,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?‎ 思路分析:设每间虎笼长为x m,宽为y m,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y的最小值.‎ 解:(1)设每间虎笼长为x m,宽为y m,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.‎ 设每间虎笼的面积为S,则S=xy.‎ 方法一:由于2x+3y≥2=2,‎ ‎∴2≤18,得xy≤,即S≤.‎ 当且仅当2x=3y时等号成立.‎ 由解得 故每间虎笼长为‎4.5 m,宽为‎3 m时,可使面积最大.‎ 方法二:由2x+3y=18,得x=9-y.‎ ‎∵x>0,∴0<y<6.‎ S=xy=(9-y)y= (6-y)y.‎ ‎∵0<y<6,∴6-y>0.‎ ‎∴S≤[]2=.‎ 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长‎4.5 m,宽‎3 m时,可使面积最大.‎ ‎(2)由条件知S=xy=24.‎ 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.‎ 方法一:∵2x+3y≥2=2=24,‎ ‎∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.‎ 由解得 故每间虎笼长‎6 m,宽‎4 m时,可使钢筋网总长最小.‎ 方法二:由xy=24,得x=.‎ ‎∴l=4x+6y=+6y=6(+y)≥6×2=48,当且仅当=y,即y=4时,等号成立,此时x=6.‎ 故每间虎笼长‎6 m,宽‎4 m时,可使钢筋总长最小.‎ 绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:‎ ‎(1)x,y都是正数;‎ ‎(2)积xy(或x+y)为定值;‎ ‎(3)x与y必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.‎ 变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为‎200 平方米的三级污水处理池(平面图如图‎3-4-2‎所示),由于地形限制,长、宽都不能超过‎16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.‎ 图‎3-4-2‎ 思路分析:在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.‎ 解:设污水处理池的长为x米,则宽为米(0<x≤16,0<≤16),∴12.5≤x≤16.‎ 于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.‎ ‎=800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800,‎ 当且仅当x= (x>0),即x=18时等号成立,而18[12.5,16],∴Q(x)>44 800.‎ 下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性.‎ 对任意12.5≤x1<x2≤16,则x2-x1>0,x1x2<162<324.‎ Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324()]‎ ‎=800×<0,‎ ‎∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数.‎ ‎∴Q(x)≥Q(16)=45 000.‎ 答:当污水处理池的长为‎16米,宽为‎12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.‎ 问题探究 ‎ 问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,‎ 环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.‎ 导思:本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.‎ 探究:设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.‎ 由题意知y=n+.‎ ‎∵n+≥2,‎ 当且仅当n=,即n=时取等号.‎ 但考虑到n∈N*,‎ ‎∴n≈2×1.414=2.828≈3,‎ 即此人应选3楼,不满意度最低.‎

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