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- 2021-06-22 发布
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考点规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基础巩固组
1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为( )
A.2 B.1 C.3 D.0
2.(2017浙江温州模拟)设实数x,y满足x-y≥0,x+y≤1,x+2y≥1,则z=2x-3y的最大值为( )
A.-13 B.-12 C.2 D.3
3.若变量x,y满足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
4.(2017浙江二模)已知实数x,y满足x+y-2≤0,2x-y+2≥0,y≥0,则目标函数z=x-y的最小值等于( )
A.-1 B.-2 C.2 D.1
5.(2017浙江绍兴期中)设集合A=
(x,y) x-y-1≤0,3x-y+1≥0,x,y∈R3x+y-1≤0,,则A表示的平面区域的面积是( )
A.2 B.32 C.322 D.1
6.(2017吉林二调)已知O是坐标原点,点A(-1,1),若点M(x,y)为平面区域x+y≥2,x≤1,y≤2上的一个动点,则OA·OM的取值范围是 .
7.若实数x,y满足不等式x-2y+8≥0,x-y-1≤0,2x+y-4≥0,则yx+1的最小值是 ;|2x-y-2|的最大值是 .
8.(2017浙江杭州考试改编)若函数y=kx的图象上存在点(x,y)满足约束条件x+y-3≤0,x-2y-3≤0,x≥1,则实数k的最大值为 .
能力提升组
9.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域x-2≤0,x+y≥0,x-3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )
A.22 B.4 C.32 D.6
10.(2017福建三明质检)在区域Ω=(x,y) x≥0x+y≤1x-y≤1中,若满足ax+y>0的区域面积占Ω面积的13,则实数a的值是( )
A.23 B.12
C.-12 D.-23
11.(2017浙江模拟)若变量x,y满足约束条件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3,且z=ax+3y的最小值为7,则a的值为( )
A.1 B.2 C.-2 D.不确定
12.(2017浙江温州模拟)已知实数x,y满足|x-y|≤1,|x+y|≤3,则|3x+y|的最大值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
13.(2017浙江杭州模拟)若存在实数x,y使不等式组x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0与不等式x-2y+m≤0都成立,则实数m的取值范围是( )
A.m≥0 B.m≤3
C.m≥1 D.m≥3
14.(2017浙江宁波中学调研改编)若不等式组x-y+5≥0,y≥a,0≤x≤2表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是 .
15.若实数x,y满足2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为 .
16.(2017山东菏泽期末改编)设实数x,y满足约束条件2x+y-6≥0,x+2y-6≤0,y≥0,则2y2-xyx2的最小值是 .
答案:
1.B 由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,
即b-78(b-2)<0,解得780的区域面积S△OAD=13,据此可得D23,13,代入直线方程可得a=-12.故选C.
11.B 由约束条件x+y≥3,x-y≥-1,2x-y≤3作出可行域如图中阴影部分,
联立方程组求得A(2,1),B(4,5),C(1,2),化目标函数z=ax+3y为y=-a3x+z3.
当a>0时,由图可知,当直线y=-a3x+z3过点A或点C时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.
若过点A,则2a+3=7,解得a=2;若过点C,则a+6=7,解得a=1,不合题意.
当a<0时,由图可知,当直线y=-a3x+z3过点A或点B时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值.
若过点A,则2a+3=7,解得a=2,不合题意;若过点B,则4a+15=7,解得a=-2,不合题意.
所以a的值为2.故选B.
12.C 实数x,y满足|x-y|≤1,|x+y|≤3的可行域如下图中阴影部分所示.则|3x+y|的最大值就是平移图中的两条虚线,可知过点B时有最优解,
由x-y=1,x+y=3,解得x=2,y=1,则点B的坐标为(2,1),
|3x+y|的最大值为3×2+1=7.
故选C.
13.B 作出不等式组x-y≥0,x-3y+2≤0,x+y-6≤0表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(4,2),B(1,1),C(3,3).
设z=F(x,y)=x-2y,将直线l:z=x-2y进行平移,
当l经过点A时,目标函数z达到最大值,可得z最大值=F(4,2)=0;当l经过点C时,目标函数z达到最小值,可得z最小值=F(3,3)=-3.因此,z=x-2y的取值范围为[-3,0],∵存在实数m,使不等式x-2y+m≤0成立,即存在实数m,使x-2y≤-m成立,
∴-m大于或等于z=x-2y的最小值,即-3≤-m,解得m≤3.故选B.
14.5≤a<7 如图,
当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件.
15.3 如图,∵z=2x+y的最小值为4,且由2x+y=4,2x-y=0,
解得x=1,y=2,∴A(1,2).
又由题意可知点A在直线y=-x+b上,∴2=-1+b,解得b=3.
16.-18 可行域为一个三角形ABC及其内部,其中A(3,0),B(6,0),C(2,2),所以yx∈[kOB,kOC]=0,1.因此2y2-xyx2=2yx-142-18≥-18当且仅当yx=14时取等号.