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- 2021-06-22 发布
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单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间100分钟，满分130分．
4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )
A．(－∞，1) B.
C. D.
答案 B
解析 要使函数有意义，则
解得－0且a≠1)
答案 D
解析 A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数．
3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x3 D．y＝log2x
答案 C
解析 y＝－在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y＝x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y＝x3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y＝log2x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．
4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2－x4 B．f(x)＝x－x2
C．f(x)＝x2－x4(x≥0) D．f(x)＝－x(x≥0)
答案 C
解析 因为f()＝()2－()4，
所以f(x)＝x2－x4(x≥0)．
5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f(x)＝4x2－mx＋5，对称轴x＝－2，则f(1)的值为( )
A．－7B．17C．1D．25
答案 D
解析 函数f(x)＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为x＝－2，
可得＝－2，解得m＝－16，所以f(x)＝4x2＋16x＋5.
则f(1)＝4＋16＋5＝25.
6．若a＝30.3，b＝logπ3，c＝log0.3e，则( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 因为0<0.3<1，e>1，
所以c＝log0.3e<0，
由于0.3>0，所以a＝30.3>1，
由1<3<π，得0b>c.
7．已知f(x＋1)＝－ln，则函数f(x)的图象大致为( )
答案 A
解析 由题意得f(x＋1)＝－ln
＝－ln，
所以f(x)＝－ln＝ln.
由>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B.
因为f(－x)＝ln＝ln
＝－ln＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数，排除C.
又f(3)＝ln<0，故排除D.
8．已知函数f(x)＝－x2＋4x，当x∈[m,5]时，f(x)的值域是[－5,4]，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,2]
C．[－1,2] D．[2,5]
答案 C
解析 f(x)＝－(x－2)2＋4，
所以当x＝2时，f(2)＝4.
由f(x)＝－5，解得x＝5或x＝－1.
所以要使函数f(x)在区间[m,5]上的值域是[－5,4]，
则－1≤m≤2.
9．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足f(3x＋1)1，n1＝－1－λ，
所以g(x)＝x2－4x＋1＋4λ＝－1－λ有两解，
(x－2)2＝－5λ＋2>0，λ<，
所以0<λ<.
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域是________．
答案 {－1,0}
解析 因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
因为函数f(x)＝－＝－，
又ex＋1>1，所以0<<1，
故－<－<.
当f(x)∈时，[f(x)]＝－1，[f(－x)]＝0；
当f(x)∈时，[f(x)]＝0，[f(－x)]＝－1；
当f(x)＝0时，[f(x)]＝0，[f(－x)]＝0.
所以函数y＝[f(x)]＋[f(－x)]的值域为{－1,0}．
三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)已知函数f(x)＝ax，a为常数，且函数的图象过点(－1,2)．
(1)求常数a的值；
(2)若g(x)＝4－x－2，且存在x，使g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值．
解 (1)由已知得－a＝2，解得a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x，
因为存在x，使g(x)＝f(x)，
所以4－x－2＝x，
即x－x－2＝0，
即2－x－2＝0有解，
令x＝t(t>0)，则t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
解得t＝2，即x＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
18．(12分)已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．
(1)若函数f(x)的定义域和值域为[1，a]，求实数a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．
解 (1)∵f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，a]上是减函数，
∴f(x)＝x2－2ax＋5在[1，a]上单调递减，
根据题意得解得a＝2.
(2)∵f(x)在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2.
综合(1)知f(x)在[1，a]上单调递减，在[a，a＋1]上单调递增，
∴当x∈[1，a＋1]时，f(x)min＝f(a)＝5－a2，
f(x)max＝max{f(1)，f(a＋1)}．
又f(1)－f(a＋1)＝6－2a－(6－a2)＝a(a－2)≥0，
∴f(x)max＝f(1)＝6－2a.
∵对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，
总有|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴f(x)max－f(x)min≤4，
即6－2a－(5－a2)≤4，整理得a2－2a－3≤0，
解得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3.
故实数a的取值范围是[2,3]．
19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x
年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解 (1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50
＝－x2＋20x－50(00，可得10－50.
(1)求f(0)，并证明函数f(x)在区间(－1,1)内是奇函数；
(2)验证函数f(x)＝lg是否满足这些条件；
(3)若f＝1，试求函数F(x)＝f(x)＋的零点．
解 (1)令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，
所以f(0)＝0.
令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
所以f(－x)＝－f(x)，
又f(x)的定义域(－1,1)关于坐标原点对称，
所以函数f(x)在区间(－1,1)内是奇函数．
(2)由>0，得－11，所以lg>0.
故函数f(x)＝lg满足这些条件．
(3)设－10，
所以f(x1)－f(x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，
故f(x)在区间(－1,0)内为减函数．
由奇函数性质可知，f(x)在区间(0,1)内仍是减函数，
所以f(x)在区间(－1,1)内单调递减，
因为f＝1，所以f＝－1.
由F(x)＝f(x)＋＝0，得2f(x)＝－1，
所以f(x)＋f(x)＝f＝f，
所以＝，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2－或x＝2＋.
又x∈(－1,1)，所以x＝2－.
故函数F(x)的零点为2－.
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