高中数学选修2-2课件数学归纳法（二） 11页

2.3 数学归纳法 （２） 证明某些与自然数有关的数学题 , 可用下列方法来证明它们的正确性 : (1) 验证 当 n 取第一个值 n 0 ( 例如 n 0 =1) 时命题成立 , (2) 假设 当 n=k(k N * ， kn 0 ) 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立 完成这两步，就可以断定这个命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立。这种证明方法叫做 数学归纳法。 注意 1 . 用数学归纳法进行证明时 , 要分两个步骤 , 两个步骤缺一不可 . 2 (1)( 归纳奠基 ) 是递推的基础 . 找准 n 0 (2)( 归纳递推 ) 是递推的依据　　　 n ＝ k 时命题成立．作为必用的条件，而 n ＝ k+1 时情况则有待 利用假设 及已知的定义、公式、定理等加以证明 回顾 例 : 已知数列 计算 , 根据计算的结果 , 猜想 的表达式 , 并用数学归纳法进行证明 . 例 : 是否存在常数 a 、 b, 使得等式 : 对一切正整数 n 都成立 , 并证明你的结论 . 点拨 : 对这种类型的题目 , 一般先利用 n 的特殊值 , 探求出待定系数 , 然后用数学归纳法证明它对一切正整数 n 都成立 . 解 : 令 n=1,2, 并整理得 以下用数学归纳法证明 : (2) 假设当 n=k 时结论正确 , 即 : 则当 n=k+1 时 , 故当 n=k+1 时 , 结论也正确 . 根据 (1) 、 (2) 知 , 对一切正整数 n, 结论正确 . (1) 当 n=1 时 , 由上面解法知结论正确 . 例 : 比较 2 n 与 n 2 (n ∈ N * ) 的大小 注： 先猜想，再证明 解：当 n=1 时， 2 n =2,n 2 =1, 2 n >n 2 当 n=2 时， 2 n =4,n 2 =4, 2 n =n 2 当 n=3 时， 2 n =8,n 2 =9, 2 n n 2 当 n=6 时， 2 n =64,n 2 =36, 2 n >n 2 猜想 当 n ≥ 5 时， 2 n >n 2 ( 证明略 ) 例 : 平面内有 n 条直线 , 其中任何两条不平行 , 任何三条不过同一点 , 证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2. 说明 : 用数学归纳法证明几何问题 , 重难点是处理好当 n=k+1 时利用假设结合几何知识证明命题成立 . 注 : 在上例的题设条件下还可以有如下二个结论 : (1) 设这 n 条直线互相分割成 f(n) 条线段或射线 , --- 则 : f(n)=n 2 . (2) 这 n 条直线把平面分成 (n 2 +n+2)/2 个区域 . １ : 平面内有 n 条直线 , 其中任何两条不平行 , 任何三条不过同一点 , 证明这 n 条直线把平面分成 f(n) ＝ (n 2 +n+2)/2 个区域 . 作业：Ｐ １０８　 Ａ组３ 1:n 边形有 f(n) 条对角线 , 则凸 n+1 边形的对角线 　　　　 ------ 的条数 f(n+1)=f(n)+_________. 2: 设有通过一点的 k 个平面 , 其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线 , 这 k 个平面将 空间分成 f(k) 个区域 , 则 k+1 个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________ 个区域 . 思考题