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- 2021-06-22 发布
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武昌区 2019 届高三年级元月调研考试
理科数学
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的.
1.1 i 3i1 i
( )
A.i B. 2i C.1 3i D.1 3i
1.答案:B
解析:
21 i (1 i) 2i3i 3i 3i i 3i 2i1 i (1 i)(1 i) 2
.
2.已知集合 2{ | log ( 1) 1}, { | 2}A x x B x x a ,若 A B ,则实数 a 的取值范围为( )
A.(1,3) B.[1,3] C.[1, ) D.( ,3]
2.答案:B
解析: 2{ | log ( 1) 1} { | 0 1 2} { |1 3}A x x x x x x , { | 2}B x x a
{ | 2 2} { | 2 2}x x a x a x a ,因为 A B ,所以 2 1
2 3
a
a
≤
≥ ,解得1 3a≤ ≤ .
3.已知向量 (2,1), (2, )a b x
不平行,且满足 2a b a b
,则 x ( )
A. 1
2 B. 1
2 C.1 或 1
2 D.1 或 1
2
3.答案:A
解析:因为向量 (2,1), (2, )a b x
不平行,所以 1x , 2 (6,1 2 ), (0,1 )a b x a b x
,
因为 2a b a b
,所以 2 (1 2 )(1 ) 0a b a b x x
,又因为 1x ,所以 1
2x .
4.函数
2
( )
xx ef x x 的图象大致为( ) 开始
1, 0n s
2ns s
2n n
n≥8?
输出s
结束
是
否
4.答案:A
解析:函数 ( )f x 的定义域为{ | 0}x x ,且
2
( ) 0
xx ef x x 恒成立,排除 C,D,
当 0x 时, ( ) xf x xe ,当 0x 时, ( ) 0f x ,排除 B,选 A.
5.某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 s ( )
A.26 B.102 C.410 D.512
5.答案:B
解析: 1, 0 2, 3n s s n 否 32 2 6, 5s n 否 52 6 26, 7s n 否
72 26 102, 9s n 是,输出 102s .
6.设 ,x y 满足约束条件
4 3 0
2 9 0
1
x y
x y
x
≤
≤
≥
,则 2z x y 的取值范围为( )
A.[2,6] B.[3,6] C.[3,12] D.[6,12]
6.答案:C
解析:作可行域为如图所示的 ABC△ ,其中 (1,4), (1,1), (5, 2)A B C , 6, 3, 12A B Cz z z ,
所以 z 的取值范围是[3,12].
6
4
2
5 10
C
A
B
O
7.已知函数 ( ) 3 sin cos ( 0)f x x x 的最小正周期为 2 ,则 ( )f x 的单调递增区间是( )
A. 2 , 2 ( )6 6k k k Z
B. 22 , 2 ( )3 3k k k Z
C. 22 ,2 ( )3 3k k k Z
D. 52 , 2 ( )6 6k k k Z
7.答案:B
解析: ( ) 3 sin cos 2sin 6
f x x x x
,最小正周期 2 2 , 1 T ,
( ) 2sin 6
f x x
,由 2 2 ,2 6 2k x k k Z ≤ ≤ ,得 22 2 ,3 3
≤ ≤k x k k Z .
所以 ( )f x 的单调递增区间是 22 , 2 ( )3 3k k k Z
.
8.已知 a b、 是区间[0, 4] 上的任意实数,则函数 2( ) 1f x ax bx 在[2, ) 上单调递增的概率为
( )
A. 1
8 B. 3
8 C. 5
8 D. 7
8
8.答案:D
解析:由题意可得 0a ,且函数 ( )f x 的对称轴 22
≤bx a ,即 0
4≤
a
b a
,点 ( , )a b 取自如图所示的正
方形OABC 内部(含边界),则符合条件的( , )a b 取自梯形OABD 内, 16, 14OABC OABDS S ,
所以所求概率 14 7
16 8P .
4
2
5
D BC
AO
9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则此四面体的体积为( )
A. 32
3 B. 48
3 C.32 D.48
9.答案:A
解析:该几何体为如图所示的三棱锥 D ABC ,则 1 1 324 4 43 2 3D ABCV
A B
C
D
10.已知正三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,棱锥的底面是边长为 2 3 的正三角形,侧棱
长为 2 5 ,则球O 的表面积为( )
A.10 B. 25 C.100 D.125
10.答案:B
解析:正 ABC△ 外接圆的半径 3 2 3 23r ,设 ABC△ 的中心为 M ,则 2, 2 5MA SA ,
2 2 4SM SA MA ,设球O 的半径为 R ,在 AOM△ 中,由勾股定理得 2 2 2AM OM OA ,
即 2 24 (4 )R R ,解得 5
2R ,则球O 的表面积为 24 25 R .
S
AM
O
11.已知 M 为双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的右支上一点, ,A F 分别为双曲线C 的左顶点和右焦
点,线段 FA 的垂直平分线过点 M , 60MFA ,则C 的离心率为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
11.答案:B
解析:为方便运算,不妨设 1a ,则 ( 1,0), ( ,0)A F c ,因为 AFM△ 是正三角形,
所以 1 3( 1),2 2
c cM
,将其代入
2
2
2 11
yx c
,得
2 2
2
( 1) 3( 1) 14 4( 1)
c c
c
,即
2( 1) 3( 1) 14 4( 1)
c c
c
,
所以 3 2( 1) 3( 1) 4( 1), ( 1)( 2 3) 3( 1)c c c c c x c , ( 1)( 3) 3c c ,
2 4 0, 4c c c ,所以离心率 4ce a .
M
N
F
A O
12.已知函数 3 21 1( ) 23 2f x x a x x
,则 ( )f x 的零点个数可能有( )
A.1 个 B.1 个或 2 个 C.1 个或 2 个或 3 个 D.2 个或 3 个
12.答案:A
解析:当 0a 时,函数 ( )f x 只有 1 个零点;
当 0a 时,由 3 21 1( ) 2 03 2f x x a x x
,显然 0x ,则
2
3 2
3
1 21 6 3 32
1 2
3
x x
a x x xx
,
设 1t x ,则 3 21 3( ) 6 3 2g t t t ta , 2 3( ) 18 6 , 36 108 72 02g t t t ,则 ( ) 0g t 恒成
立,所以函数 ( )g t 单调递增,且 ( )g t 可取遍( , ) ,所以 1 ( )g ta 有且只有 1 个解,即 ( )f x 只有 1
个零点.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13. 3( 1)( 2)x x 的展开式中 2x 的系数为 .(用数字填写答案)
13.答案:6
解析: 3 3 2( 1)( 2) ( 1)( 6 12 8)x x x x x x ,所以展开式中 2x 的系数为12 6 6 .
14.已知 ( )f x 是定义域为 R 的奇函数,且函数 ( 1)y f x 为偶函数,当 0 1x≤ ≤ 时, 3( )f x x ,则
5
2f
.
14.答案: 1
8
解析: ( )f x 关于(0,0) 对称,关于直线 1x 对称,所以
35 5 1 1 1
2 2 2 2 8f f f
15.设{ }na 是公差不为零的等差数列, nS 为其前 n 项和.已知 1 2 4, ,S S S 成等比数列,且 3 5a ,则数列{ }na
的通项公式为 .
15.答案: 2 1na n
解析:设等差数列{ }na 的公差为 ( 0)d d ,则 1 2 45 2 , 10 3 , 20 2S d S d S d ,因为 2
2 1 4S S S ,
所以 2(10 3 ) (5 2 )(20 2 )d d d ,整理得 25 10 0, 0, 2d d d d ,
3 ( 3) 5 2( 3) 2 1na a n d n n .
16.过点 ( ,0)M m 作直线 1 2l l、 与抛物线 2: 4E y x 相交,其中 1l 与 E 交于 A B、 两点,2l 与 E 交于C D、
两点, AD 过 E 的焦点 F .若 AD BC、 的斜率 1 2k k、 满足 1 22k k ,则实数 m 的值为 .
16.答案:2
解析:设 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4( , 2 ), ( , 2 ), ( ,2 ), ( , 2 )A t t B t t C t t D t t ,则 4 1
1 2 2
4 1 1 4
2( ) 2t tk t t t t
,同理 2
2 3
2k t t
,
因为 1 22k k ,所以 2 3 1 42( )t t t t ①
直线 2
1 1
1 4
2: 2 ( )AD y t x tt t
,将 (1,0)F 代入得 1 4 1t t , ②
直线 2
1 1
1 2
2: 2 ( )AB y t x tt t
,将 ( ,0)M m 代入得 1 2t t m , ③ 同理可得 3 4t t m ④
由②③④可得 1 3 2 4
4 4
1 , ,mt t t mtt t ,将其代入①,得 4 4
4 4
1 12 , 2m t t mt t
.
6
4
2
2
5 10
C
B
D
MO
F
A
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.(本小题满分 12 分)
在 ABC△ 中,角 A B C、 、 的对边分别为 a b c、 、 ,且 2sin sin cos 2
CA B ,
( 3 )sin ( )(sin sin )c b C a b A B .
(1)求 A 和 B 的大小;
(2)若 ABC△ 的面积为 3 ,求 BC 边上中线 AM 的长.
17.(1)因为( 3 )sin ( )(sin sin )c b C a b A B ,所以( 3 ) ( )( )c b c a b a b ,
所以 2 2 2 3a b c bc ,即 3cos 2A ,所以 30A ,
因为 2sin sin cos 2
CA B ,所以 1 cossin sin 2
CA B ,即sin 1 cosB C ,
因为 150B C ,所以sin 1 cos(150 ) 1 cos150 cos sin150 sinB B B B ,
即 1 3sin cos sin 60 12 2B B B ,所以 30B . ……………………6 分
(2) , 120a b C ,因为 21 3sin 32 4ABCS ab C a △ ,所以 2a b ,
在 ACM△ 中, 2 2 2 12 cos120 4 1 2 1 2 72AM AC CM AC CM
,
所以 7AM .……………………………………………………………………………………12 分
A B
C
M
18.(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 1 12, 30 , 6AB AC AA BC ACA BC .
(1)求证:平面 1ABC 平面 1 1AAC C ;
(2)求二面角 1 1B AC C 的余弦值.
(1)记 1 1AC AC O ,连结 BO .因为 1AB BC ,所以 1BO AC .
由题意知 1ACC△ 为正三角形,求得 3CO ,在 1ABC△ 中求得 3BO ,又 6BC ,
所以 2 2 2BC CO BO ,所以 BO CO .因为 1CO AC O ,所以 BO 平面 1 1AAC C .
因为 BO 平面 1ABC ,所以平面 1ABC 平面 1 1AAC C .………………………………6 分
(2)建立如图所示的空间直角坐标系,则 1 1(0,1,0), (0, 1,0), ( 3,0,0), ( 3, 1, 3)A C C B ,
1(0, 2,0), ( 3, 2, 3)AC AB
.
因为 BO 平面 1 1AAC C ,所以平面 1 1AAC C 的法向量为 (0,0, 3)m
.
设平面 1 1AB C 的法向量为 ( , , )n x y z
,则
1
2 0
3 2 3 0
n AC y
n AB x y z
,取 1x ,则 0, 1y z ,
所以 (1,0, 1)n
.
所以 3 2cos , 23 2
m nm n
m n
,因为所求二面角的平面角为钝角,
所以所求二面角 1 1B AC C 的余弦值为 2
2 .………………………………………………12 分
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
C
A1
B1
C1
O
x y
z
19.(本小题满分 12 分)
某公司开发了一种产品,有一项质量指标为“长度”(记为 l,单位:cm),先从中随机抽取 100 件,测量
发现全部介于 85cm 和 155cm 之间,得到如下频数分布表:
分组 [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) [125,135) [135,145) [145,155]
频数 2 9 22 33 24 8 2
已知该批产品的质量指标值服从正态分布 2( , )N ,其中 近似为样本的平均数 x , 2 近似为样本方差
2s (同一组中的数据用该区间的中点值作代表).
(1)求 (132.2 144.4)P l ;
(2)公司规定:当 115l ≥ 时,产品为正品;当 115l 时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若
是正品,则盈利 90 元;若是次品,则亏损 30 元.记 为生产一件这种产品的利润,求随机变量 的分布
列和数学期望.
参考数据: 150 12.2 .
若 2( , )X N ~ ,则 ( ) 0.6826, ( 2 2 ) 0.9544P X P X ≤ ≤ ,
( 3 3 ) 0.9974P X ≤ .
19.解析:(1)抽取产频质量指标值的样本平均数为:
90 0.02 100 0.09 110 0.22 120 0.33 130 0.24 140 0.08 150 0.02 120x ,
抽取产品质量指标值的方差为:
2 900 0.02 400 0.09 100 0.22 0 0.33 100 0.24 400 0.08 900 0.02 150 ,
因为 (120,150), 150 12.2l N ~ ,
1( ) (120 132.2) 0.6826 0.3413,2
1( 2 ) (120 144.4) 0.9544 0.4772,2
≤ ≤
≤ ≤
P l P l
P l P l
(132.2 144.4) (120 144.4) (120 132.2) 0.1359≤ ≤P l P l P l .………………6 分
(2)由频数分布表得: ( 115) 0.02 0.09 0.22 0.33, ( 115) 1 0.33 0.67≥P l p l .
随机变量 的取值为90, 30 ,且 ( 90) 0.67, ( 30) 0.33 P P .
则随机变量 的分布列为:
90 30
P 0.67 0.33
所以 90 0.67 30 0.33 50.4E . ……………………………………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
设 1 2F F、 分别为椭圆
2
2: 12
xE y 的左、右焦点,动点 0 0 0 0( , ) ( 0, 1)P x y y y 在 E 上. 1 2F PF 的
平分线交 x 轴于点 ( ,0)M m ,交 y 轴于点 N ,过 1F N、 的直线l 交 E 于C D、 两点.
(1)若 1
2m ,求 0x 的值;
(2)研究发现 0x
m
始终为定值,写出该定值(不需要过程),并利用该结论求 2F CD△ 面积的取值范围.
20.解析:(1)由题意知 1 2( 1,0), (1,0)F F .
直线 1PF 的方程为 0
0
00 ( 1)1
yy xx
,即 0 0 0( 1) 0y x x y y ,
直线 2PF 的方程为 0
0
00 ( 1)1
yy xx
,即 0 0 0( 1) 0y x x y y .
由点 1 ,02M
到 1PF 和 2PF 的距离相等,得
0 0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
2 2
( 1) ( 1)
y y y y
y x y x
. (*)
其中 2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 2( 1) 1 ( 1) 22 2y x x x x ,
2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 2( 1) 1 ( 1) 22 2y x x x x ,且 02 2x .
所以(*)式可化为
0 0
3 1
2 2x x
,解得 0 1x .……………………………………………………4 分
(2)定值为 2,即 0 2x
m .
直线 PM 的方程为 0
0
00 ( )yy x mx m
,令 0x ,并考虑 0 2x m ,得 0y y .
所以点 N 的坐标为 0(0, )y ,从而过 1F N、 的直线l 的方程为 000 ( 1)1 0
yy x
,即 0 ( 1)y y x ,
代入
2
2 12
x y ,消去 x ,得 2 2 2
0 0 0(1 2 ) 2 0y y y y y .设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ,
则
2
0 0
1 2 1 22 2
0 0
2 ,1 2 1 2
y yy y y yy y
.
所以
2 2 2 2
2 0 0 0 0
1 2 1 2 1 2 2 2 2 2
0 0 0
2 4 8 ( 1)( ) 4 1 2 1 2 (1 2 )
y y y yy y y y y y y y y
,
所以
2
2 2
0 0
1 2 1 2 2 2
0
8 ( 1)1
2 (1 2 )F CD
y yS F F y y y
△ .
因为
2 2 2 2
0 0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0
8 ( 1) 2[(1 2 ) 1] 12 1(1 2 ) (1 2 ) (1 2 )
y y y
y y y
,其中 0 00, 1y y ,
所以 2 2
0 0 2 2
0
1 160 1,1 1 2 3, 0 2 1 (1 2 ) 9y y y
,所以
2
40 3F CDS △ ,
所以 2F CD△ 面积的取值范围为 40, 3
.………………………………………………………………12 分
D
C
N
MF1 O F2
P
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x ax x .
(1)当 1a 时,求 ( )f x 的单调区间;
(2)若 ( )f x 存在两个极值点 1 2,x x ,且 1 2x x ,证明: 1 2
1 2
( ) ( ) 12 4
f x f x ax x
.
21.解析:当 1a 时, 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x x x , (1) 0f .
21 1 1 2 ( 2)( 1)( ) 2 2 2 2
x x x xf x xx x x
.
当 1x 时, ( ) 0f x ;当0 1x 时, ( ) 0f x .
在 (0,1) 单调递增,在(1, ) 单调递减.………………………………………………4 分
(2)因为 21 1 3( ) ln 4 2 4f x x ax x ,所以
21 1 1 2( ) 2 2 2
ax xf x axx x
.
因为 ( )f x 存在两个极值点,所以 2 2 0ax x 在(0, ) 有两根.
所以 0
1 8 0
a
a
,所以 10 8a ,且 1 2 1 2
1 2,x x x xa a .
因为
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1(ln ln ) ( ) ( )( ) ( ) ln ln 14 2
4
x x a x x x xf x f x x x
x x x x x x
.
要证 1 2
1 2
( ) ( ) 12 4
f x f x ax x
,只需证 1 2
1 2 1 2
ln ln 22x x ax x x x
,即证
1
21
12
2
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
.
令 1
2
1x tx ,只需证 2( 1)ln 1
tt t
.
令 2( 1)( ) ln , (1) 01
tg t t gt
,所以
2
2
1 4 ( 1)( ) 0( 1) ( 1)
tg t t t t t
≥ ,
所以 ( )g t 在 (1, ) 单调递增,因为 1t ,所以 ( ) (1)g t g ,即 2( 1)ln 01
tt t
.
所以, 1 2
1 2
( ) ( ) 12 4
f x f x ax x
.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所作的第一题计分.
22.【选修 4—4:坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 1C 的参数方程为
3
x t
y t
(t 为参数).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中,曲线 2C 的极坐标方程为 4cos .
(1)写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程;
(2)若 1C 与 2C 相交于 A B、 两点,求 OAB△ 的面积.
22.解析:(1) 1C 的普通方程为 3 0x y ,由 4cos ,得 2 4 cos ,
又因为 2 2 2 , cosx y x ,所以 2C 的直角坐标方程为 2 2 4 0x y x .……………………4 分
(2)原点O 到直线 3 0x y 的距离 3
2
d , 2C 的标准方程为 2 2( 2) 4x y ,表示圆心为
2 (2,0)C ,半径 2r 的圆. 2C 到直线 3 0x y 的距离 2
3 2
2d ,所以 2 2
22 14AB r d .
所以 1 1 3 3 7142 2 22OABS AB d △ .………………………………………………………10 分
23.【选修 4—5:不等式选讲】(本小题满分 10 分)
已知 ( ) 1 1f x x ax a .
(1)当 1a 时,求不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集;
(2)若 1x≥ 时,不等式 ( ) 2f x x ≥ 恒成立,求 a 的取值范围.
23.解析:(1)当 1a 时,不等式 ( ) 3f x ≥ 化为 1 3x x ≥ .
当 1x 时, 1 3x x ≥ ,解得 2x ≤ ,所以 2x ≤ ;
当 1 0x ≤ ≤ 时, 1 3,1 3x x ≥ ≥ ,无解;
当 0x≥ 时, 1 3x x ≥ ,解得 1x≥ ,所以 1x≥ .
所以,不等式 ( ) 3f x ≥ 的解集为( , 2] [1, ) .…………………………………………………4 分
(2)当 1x≥ 时,不等式 ( ) 2f x x ≥ 化为 1 1 2x ax a x ≥ ,即 1 1ax a ≥ .
由 1 1ax a ≥ ,得 1 1ax a ≤ 或 1 1ax a ≥ ,即 ( 1) 2a x ≤ 或 ( 1) 0a x ≥ .
当 x≥1 时,不等式 ( 1) 2a x ≤ 不恒成立;
当 1x≥ 时,若不等式 ( 1) 0a x ≥ 恒成立,则 0a≥ .
所以,所求 a 的取值范围为[0, ) .…………………………………………………………10 分
3
2
1
1
2
2 4
B
A
C2O