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- 2021-06-22 发布
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课下层级训练(十四) 利用导数研究函数的单调性
[A级 基础强化训练]
1．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )
A． B．
C． D．(－∞，a)
A [由f′(x)＝－a>0，得00时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x)在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]
5．(2019·广西钦州质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则( )
A．a0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)0)．试讨论f(x)的单调性．
解 由题意得f′(x)＝ex[ax2＋(2a－2)x](a>0)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.
①当01时，f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为.
10．(2018·河北邯郸考前保温卷)已知函数f(x)＝ex－x2－ax.
(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，求a，b的值；
(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的最大值．
解 (1)∵f(x)＝ex－x2－ax，
∴f′(x)＝ex－2x－a，则f′(0)＝1－a.
由题意知1－a＝2，即a＝－1.
∴f(x)＝ex－x2＋x，则f(0)＝1.
于是1＝2×0＋b，b＝1.
(2)由题意f′(x)≥0，即ex－2x－a≥0恒成立，∴a≤ex－2x恒成立．
设h(x)＝ex－2x，则h′(x)＝ex－2.
∴当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数；
当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数．
∴h(x)min＝h(ln 2)＝2－2ln 2.
∴a≤2－2ln 2，即a的最大值为2－2ln 2.
[B级 能力提升训练]
11．若函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．(－3,1)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
B [因为f(x)＝x3－x2＋ax－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，
如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或解得a≥1或a≤－3，
于是满足条件的a∈(－3,1)．]
12．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)0，x>0，
∴′＝＝>0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递增，
∴>，即>4.
∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，
∴′＝＝<0，
∴y＝在(0，＋∞)上单调递减，
∴<，即<8. 综上，4<<8.]
13．(2019·山东临沂检测)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为__________.
(2，＋∞) [令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1. 由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．]
14．若函数f(x)＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是__________.
[对f(x)求导，得
f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a. 令＋2a>0，解得a>－，所以a的取值范围是.]
15．(2019·云南大理质检)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝(x>0)．
又由题知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)f′(x)＝(x>0)．
设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－－＜0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．
由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0；
当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.
综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
16．已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点．
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－＋.
∵x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点，
∴f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，∴b＝3.
∵f′(x)＝2－＋＝，
解f′(x)≤0，得0＜x≤1.
∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1]．
(2)g(x)＝f(x)－＝2x＋ln x－(x＞0)，
g′(x)＝2＋＋(x＞0)．
∵函数g(x)在[1,2]上单调递增，
∴g′(x)≥0在[1,2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1,2]上恒成立，
∴a≥－2x2－x在[1,2]上恒成立，
∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1,2]．
∵在[1,2]上，(－2x2－x)max＝－3，
∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．
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