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- 2021-06-22 发布
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【课时训练】导数与函数的单调性
一、选择题
1．(2018广西钦州一模)函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】A
【解析】函数的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x)＝1－＝，令f ′(x)<0，解得0f(c)>f(d) B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(e)>f(d)
【答案】C
【解析】依题意得，当x∈(－∞，c)时，f ′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)内是增函数，由af(b)>f(a)．
3．(2018江苏如皋一模)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)内为增函数，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2]
C． D．
【答案】D
【解析】∵f ′(x)＝6x2－6mx＋6，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)内单调递增．
∴m≤2＋＝.
4．(2018河北邯郸模拟)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】由于f ′(x)＝k－，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)内恒成立．由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．
5．(2018保定第一中学期末)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f ′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
【答案】B
【解析】由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则f ′(x)＝f ′(x)－2，
因为f ′(x)>2，所以f ′(x)>0在R内恒成立．所以F(x)在R内单调递增．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.
6．(2019湖北武汉调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f ′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f ，c＝f(3)，则( )
A．a0，则f(x)在(－∞，1)内为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，因此有f(－1)0.因为x＞0，所以[xf(x)]′＞0，即函数y＝xf(x)为增函数，由a，b∈(0，＋∞)且a＞b，得af(a)＞bf(b)．故选B.
二、填空题
10．(2018长春调研)已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．
【答案】(－，)
【解析】因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f ′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.
令f ′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－0时，xf ′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
【答案】(－2,0)∪(2，＋∞)
【解析】令g(x)＝，则g′(x)＝>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)内单调递增．
又g(－x)＝＝＝＝g(x)，
则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．
则f(x)＝xg(x)>0⇔ 或 解得x>2或－20的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
三、解答题
14．(2018南昌模拟)设函数f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【解】 (1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f ′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a, f ′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)，知f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，f ′(x)＝x－5＋＝.
令f ′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时， f ′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)内为增函数；当2
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