数学文卷·2017届山西省大同市第一中学高三上学期11月月考数学（文）试题（解析版） 22页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 山西省大同市一中2016-2017高三11月 数学（文科）‎ 一、选择题：‎ ‎1. 已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁RN=（　　）‎ A. {0，1} B. {﹣1，0，1} C. {0，1，5} D. {﹣1，1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴。选A。‎ ‎2. 设i是虚数单位，若复数（a∈R）是纯虚数，则a=（　　）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：是纯虚数，所以，选C．‎ 考点：复数概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如．其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3. 在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】∵成等比数列，‎ ‎∴，即，‎ 解得。‎ ‎∴“”是“成等比数列”的既不充分也不必要条件。选D。‎ ‎4. 从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除包含四种取法，所以概率为，选A．‎ 考点：古典概型概率 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎（1）列举法．‎ ‎（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法．‎ ‎（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化．‎ ‎5. 已知双曲线C： -=1（a＞0，b＞0）的右焦点F和A（0，b）的连线与C的一条渐近线相交于点P，且，则双曲线C的离心率为（ ）‎ A. 3 B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】D ‎..............................‎ ‎∵，‎ ‎∴,‎ 解得，故点P的坐标为，‎ 又点P在渐近线上，‎ ‎∴，即。‎ ‎∴。选D。‎ ‎6. 若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（　　）‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：第五次循环：结束循环，输出选D．‎ 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．‎ ‎7. 已知将函数f（x）=tan（ωx+ ）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（　　）‎ A. 9 B. 6 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的图象向右平移个单位后所得图象对应的解析式为，‎ ‎∵平移后的图象与函数的图象重合，‎ ‎∴，‎ 解得。‎ 又，∴。选B。‎ ‎8. 已知四棱锥P一ABCD中，平面PAD丄平面ABCD，其中ABCD为正方形，△PAD 为等腰直角三角形，PA=PD=，则四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为（　　）‎ A. 10π B. 4π C. 16π D. 8π ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为为等腰直角三角形，,故,则点到平面的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D．‎ 考点：几何体的外接球的面积与计算.‎ ‎9. 已知f（x）=2x﹣2﹣x，a= ，b=，c=log2 ，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（　　）‎ A. f（b）＜f（a）＜f（c） B. f（c）＜f（b）＜f（a）‎ C. f（c）＜f（a）＜f（b） D. f（b）＜f（c）＜f（a）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，函数为增函数。‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴。选B。‎ ‎10. 已知椭圆C： +‎ ‎ =1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（　　）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为，所以，解得，所以椭圆的方程为，因为直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，所以设，则，又因为，两式相减，所以，所以直线的斜率为，故选C．‎ 考点：直线与圆锥曲线的位置关系．‎ ‎11. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由正方形切割而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A. B. C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：几何体如图，为每一个长方体中去掉两个全等的三棱柱，体积为 ‎，选C．‎ 考点：三视图 ‎【名师点睛】‎ ‎1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎12. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（　　）‎ A. 12 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的公比为。‎ ‎∵，‎ ‎∴（*），‎ ‎∵数列的各项为正数，‎ ‎∴且，即。‎ 由（*）可得。‎ ‎∴。‎ 设（），‎ 则，‎ ‎∴当时，单调递减；当时，单调递增。‎ ‎∴当时，有极小值，也为最小值，且。‎ 选C。‎ 点睛：本题综合性较强，解题时需要把所求问题转化成函数的最值问题去处理，需要有一定的转化能力。同时在解题中要根据条件挖掘出隐含的条件，这也成了解题的关键。在得到后，再构造函数，利用导数通过函数的单调性求得最小值，即为所求的最小值。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13. 若向量满足=2=2，||=2，则向量的夹角为__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ 即，解得。‎ 设向量的夹角为，则。‎ ‎∵，∴。‎ 答案：‎ ‎14. 设曲线f（x）=exsinx在（0，0）处的切线与直线x+my+l=0平行，则m=__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线在点（0，0）处的切线方程为，即。‎ ‎∴。‎ 答案：。‎ ‎15. 已知实数x，y满足不等式组 ，且目标函数之z=ax+by （a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 由得。‎ 平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，即最大。‎ 由解得，所以点A，‎ ‎∴。‎ ‎∴，‎ 当且仅当且时等号成立。‎ 答案：‎ 点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤 ‎(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较； (3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．‎ ‎16. 已知函数f（x）=|log2x|，g（x）= ，若方程f（x）﹣g（x）=1在a，+∞）上有三个实根，则正实数a的取值范围为__．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】∵方程在上有三个实数根，‎ ‎∴方程在上有三个实数根，‎ ‎∴函数和函数的图象在上有三个不同的公共点。‎ 在同一坐标系内作出函数和函数的图象（如图所示）。‎ 由图象可得两函数的图象有三个交点A,B,C，且。‎ 令，解得或，∴。‎ 又，∴。‎ 即若方程在上有三个实数根，则正实数的取值范围为。‎ 答案：‎ 点睛：解本题的关键是把方程零点的问题转化成两函数图象交点个数的问题，利用数形结合的方法进行求解。解题中首先画出两函数的图象，进而得到两图象公共点的个数，然后根据两图象的相对位置关系判断、得到实数的取值范围。‎ 三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0得sinC =ccosB，结合正弦定理及同角三角函数关系式得tanB=，可得B=；（2）根据三角形的面积得ac=2，由余弦定理得,最后根据正弦定理得。‎ 试题解析：（1）由cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0，‎ 得cosAsinB﹣（c﹣sinA）cosB=cosAsinB+ sinAcosB﹣ccosB= 0，‎ ‎∴sin（A+B）= sinC =ccosB， ‎ ‎∴ ，‎ 由正弦定理得 ，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴tanB= ，‎ ‎∵ ‎ ‎∴ B=．‎ ‎（2）由 ，得ac=2，‎ 由余弦定理得 ‎∴‎ ‎ ，‎ ‎∴a+c=3，‎ ‎∴.‎ 点睛：余弦定理是解三角形的重要工具，在应用余弦定理得过程中，要注意定理的变形应用，如,变形后可把和看作整体处理，这种变形常与三角形的面积公式结合在一起运用。‎ ‎18. 已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．‎ ‎（Ⅰ）求证：{an﹣1}为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn．‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) Tn= ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用当n≥2时，得到，通过构造得到,进而得到所求结论；（2）根据数列{nan}通项公式得特点，选择分组求和法和错位相减法进行求和。‎ 试题解析：（I）证明：∵对任意的正整数n，都有Sn=an+n﹣3成立．‎ ‎∴当n=1时，a1=S1= ﹣2，解得a1=4．‎ 当n≥2时，，‎ 整理得 ‎ ‎∴ an﹣1=3（an﹣1﹣1）(n≥2)，‎ 又，‎ ‎∴数列{an﹣1}是首项为3，公比为3的等比数列．‎ ‎（II）解：由（I）可得： ，‎ ‎∴ an=3n+1，‎ ‎∴nan=n•3n+n．‎ ‎∴Tn=3+2×32+3×33+…+n•3n ‎ ‎=3+2×32+3×33+…+n•3n．‎ 设An=3+2×32+3×33+…+n•3n ①‎ 则3An=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1 ②‎ ‎①﹣②得 ‎﹣2An=3+32+…+3n﹣n•3n+1= ﹣n•3n+1，‎ ‎∴ An= ， ‎ ‎∴Tn= ．‎ 点睛：（1）证明数列为等比数列时，常运用等比数列的定义去证明，在证明过程中，容易忽视验证首项不为零这一步骤。‎ ‎（2）数列求和的方法比较多，解题时要根据数列通项公式的特点去选择。常用的方法有：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项法等。‎ ‎19. 为了了解某学校高二年级学生的物理成绩，从中抽取n名学生的物理成绩（百分制）作为样本，按成绩分成 5组：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100]，频率分布直方图如图所示．成绩落在70，80）中的人数为20．‎ 男生 女生 合计 优秀 不优秀 合计 ‎（Ⅰ）求a和n的值；‎ ‎（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，估计该校高二学生物理成绩的平均数和中位数m；‎ ‎（Ⅲ）成绩在80分以上（含80分）为优秀，样本中成绩落在50，80）中的男、女生人数比为1：2，成绩落在80，100]中的男、女生人数比为3：2，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．‎ 参考公式和数据：K2= ．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.005‎ k ‎0.455‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）a=0.05,n=40（2）m=75（3）没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关 ‎【解析】试题分析：（1）根据小长方形的面积和为1求得，然后根据求n；（2）利用各组的中间值与频率的乘积和求平均数，利用中位数将频率分布直方图分为面积相等的两部分求中位数；（3）由题意填写列联表，根据公式求得K2,利用参考数据进行判断。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意可得 ‎10a=1﹣（0.005+0.01+0.015+0.02）×10，‎ ‎∴a=0.05，‎ ‎∴ n==40‎ ‎（Ⅱ）由题意，各组的频率分别为0.05，0.2，0.5，0.15，0.1，‎ ‎∴=55×0.05+65×0.2+75×0.5+85×0.15+95×0.1=75.5．‎ 设中位数为m，‎ 则（m﹣70）×0.05=0.5﹣（0.05+0.2），‎ ‎∴m=75；‎ ‎（Ⅲ）由题意，优秀的男生为6人，女生为4人，不优秀的男生为10人，女生为20人，‎ ‎2×2列联表 男生 女生 合计 优秀 ‎6‎ ‎4‎ ‎10‎ 不优秀 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎16‎ ‎24‎ ‎40‎ 由表可得 K2= ≈2.222＜3.841，‎ ‎∴没有95%的把握认为物理成绩优秀与性别有关．‎ ‎20. 如图所示，在多面体EF﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，EF∥AO，EA=EC=EF．‎ ‎（1）若平面ABC∩平面BEF=l，证明：EF∥l；‎ ‎（2）求证：AC⊥BE；‎ ‎（3）若BE=，EO=，求点B到平面AFO的距离．‎ ‎【答案】(1)（2）详见解析(3) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明线线平行，一般利用线面平行性质定理，即先证明线面平行：平面，而证明线面平行，就要利用线面平行判定定理，即从线线平行出发：由得平面，（2）证明线线垂直，一般利用线面垂直给予证明，即由等边三角形与等腰三角形性质得，，（为的中点），确定线面垂直平面，即得（3）求点到平面的距离，一般利用等体积法，即将点到面的距离转化为高：‎ 试题解析：（1）因为平面平面，‎ 所以平面，‎ 又因为平面平面，所以 ‎（2）取的中点，连接，因为，所以，‎ 因为为等边三角形，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 因为平面，所以 ‎（3）‎ 因为在中，，‎ 所以，‎ 因为为等边三角形，所以，‎ 因为，所以，所以，‎ 因为，所以平面，‎ 又因为，所以，‎ 因为，所以,‎ 因为，四边形为平行四边形，，‎ 所以，‎ 设点到平面的距离为，‎ 由，得，解得 考点：线面平行性质与判定定理，线面垂直判定与性质定理，等体积法求点到平面距离 ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型．‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎21. 如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．‎ ‎（1）求抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．‎ ‎【答案】（1）x2=8y（2）直线AB的方程为，经过焦点F（0，2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由点M（4，m）在抛物线上得16=2pm，根据抛物线的定义得|MF|=m+=4，建立关于p的方程求得p即可得到所求方程；（2）设出直线EA，EB的方程，根据相切利用代数方法求得切点A，B的坐标，然后求得直线AB的方程后验证即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）由条件得抛物线C的准线方程为，‎ ‎∴|MF|=m+=4，‎ ‎∵点M（4，m）在抛物线上，‎ ‎∴16=2pm，‎ ‎∴p2﹣8p+16=0，解得p=4，‎ ‎∴抛物线C的标准方程为x2=8y。‎ ‎（2）设直线EA的方程为，‎ 由，消去x整理得得2y2﹣（2+8）y+1=0，‎ ‎∵直线EA与抛物线C相切，‎ ‎∴△=（2+8）2﹣42=0，解得=﹣2，‎ ‎∴y2﹣4y+1=0‎ 解得 ‎∴，‎ 故点A的坐标为， ‎ 设直线EB的方程为x=ty﹣1，‎ 由，消去x整理得：（t2+1）y2﹣（2t+4）y+1=0，‎ ‎∵直线EB与圆F相切，‎ ‎∴△=（2t+4）2﹣4（t2+1）=0，解得，‎ ‎∴25y2﹣40y+16=0‎ 解得y，‎ ‎，‎ 故点B的坐标为，‎ ‎∴直线AB的斜率，‎ 可得直线AB的方程为，该直线经过抛物线的焦点F（0，2）。‎ ‎22. 设函数f（x）=lnx+ax2+x+1．‎ ‎（I）a=﹣2时，求函数f（x）的极值点；‎ ‎（Ⅱ）当a=2时，证明xex≥f（x）在（0，+∞）上恒成立．‎ ‎【答案】(1) x=1是f（x）的极大值点，无极小值点(2)详见解析 ‎【解析】试题分析：（1）求导数判断函数的单调性，通过单调性求极值点；（2）当a=0时构造函数F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只要证明F（x）≥=0即可。‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意得函数的定义域为（0，+∞），‎ ‎∵ f（x）=lnx+ax2+x+1，‎ ‎∴f′（x）=﹣2x+1=，‎ 令f′（x）＞0，解得0＜x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1，‎ ‎∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴x=1是函数f（x）的极大值点，无极小值点；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=lnx+x+1‎ 令F（x）=xex﹣f（x）=xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），‎ 则F′（x）= •（xex﹣1），‎ 令G（x）=xex﹣1，‎ 则G′（x）=（x+1）ex＞0，（x＞0），‎ ‎∴函数G（x）在（0，+∞）递增，‎ 又G（0）=﹣1＜0，G（1）=e﹣1＞0，‎ ‎∴存在唯一c∈（0，1）使得G（c）=0，‎ 且F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+∞）上单调递增，‎ 故F（x）≥F（c）=c•ec﹣lnc﹣c﹣1，‎ 由G（c）=0，得c•ec﹣1=0，得lnc+c=0，‎ ‎∴F（c）=0，‎ ‎∴F（x）≥F（c）=0，‎ 从而证得xex≥f（x）．‎ 点睛：在本题（Ⅱ）的解答中，为了求F（x）的 最小值，通过求导得到F′（x）= •（xex﹣1），不容易判断F（x）的单调性，故构造G（x）=xex﹣1，采用二次求导的方法，在求G（x）零点的过程中遇到了零点不可求的问题，此类问题的解法是利用G（x）的单调性和零点存在定理，判断零点所在的范围，然后理通过整体代换的方法求函数F（x）的最值，这是解决函数综合问题中常用的一种方法。‎ ‎　‎ ‎ ‎