2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：解答题规范专练(四)　立体几何 6页

解答题规范专练(四)　立体几何 ‎1．(2015·唐山模拟)如图，在斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC.‎ ‎(1)求证：A1B⊥AC1；‎ ‎(2)求二面角ABB1C的余弦值．‎ ‎2．(2015·西安二模)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.‎ ‎(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；‎ ‎(3)若二面角MBQC大小为30°，求QM的长．‎ ‎3．(2015·洛阳模拟)在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝，AD＝1，M是线段AD的中点．‎ ‎(1)试在平面ABCD内过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l，说明理由，并证明：l⊥平面AA1D1D；‎ ‎(2)若(1)中的直线l交直线AC于点N，且二面角AA1NM的余弦值为，求 AA1的长．‎ 答案 ‎1．解：(1)证明：因为A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.‎ 又BC⊥AC，A1O∩AC＝O，所以BC⊥平面A1ACC1，‎ 所以AC1⊥BC.‎ 因为AA1＝AC，所以四边形A1ACC1是菱形，所以AC1⊥A‎1C，又A‎1C∩BC＝C，‎ 所以AC1⊥平面A1BC，‎ 所以A1B⊥AC1.‎ ‎(2)以OC为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，‎ 则A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)．‎ ‎＝(2,2,0)，＝＝(0,1，)，＝(2,0,0)‎ 设m＝(x，y，z)是平面ABB1的一个法向量，‎ 则m·＝0，m·＝0，‎ 即取m＝(，－，1)．‎ 同理设平面CBB1的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)．‎ 即 则n·＝0，n·＝0.‎ 取m＝(0，－，1)‎ 因为cos〈m，n〉＝＝，‎ 所以二面角ABB1C的余弦值为.‎ ‎2．解：(1)证明：法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，‎ ‎∴CD∥BQ.‎ ‎∵∠ADC＝90°，∴∠AQB＝90°，‎ 即QB⊥AD.‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ 且平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴BQ⊥平面PAD.‎ ‎∵BQ⊂平面PQB.‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD.‎ 法二：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，‎ ‎∴BC∥DQ且BC＝DQ，‎ ‎∴四边形BCDQ为平行四边形，‎ ‎∴CD∥BQ.‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD.‎ ‎∵PA＝PD，∴PQ⊥AD.‎ ‎∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PBQ.‎ ‎∵AD⊂平面PAD，‎ ‎∴平面PQB⊥平面PAD.‎ ‎(2)∵PA＝PD，Q为AD的中点，‎ ‎∴PQ⊥AD.‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴PQ⊥平面ABCD.‎ 如图，以Q为原点，QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Qxyz，‎ 则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．‎ ‎∵M是PC中点，∴M，‎ ‎∴＝(－1,0，)，＝.‎ 设异面直线AP与BM所成角为θ，‎ 则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝，‎ ‎∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为.‎ ‎(3)由(2)知平面BQC的法向量为n＝(0,0,1)，‎ 由＝λ＋(1－λ) ,0≤λ≤1，‎ 得＝(λ－1，(1－λ)，λ)．‎ 又＝(0，，0)，‎ 设平面MBQ的法向量为m＝(x，y，z)，则 即 取x＝，则y＝0，z＝，‎ ‎∴平面MBQ的法向量为m＝.‎ ‎∵二面角MBQC为30°，‎ ‎∴cos 30°＝＝，‎ ‎∴λ＝.∴|QM|＝.‎ ‎3．解：(1)在平面ABCD内过M点作直线l∥DC，‎ ‎∵l⊄平面A1B1CD，DC⊂ 平面A1B1CD，‎ ‎∴l∥平面A1B1CD.‎ 在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，DC⊥AD，DC⊥DD1，‎ 则l⊥AD，l⊥DD1.‎ 又AD∩DD1＝D，∴l⊥平面AA1D1D.‎ ‎(2)由(1)知，l∥DC且M是线段AD的中点，‎ ‎∴N是线段AC的中点．‎ 设AA1＝h，以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1D1，A‎1A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A1xyz.则A1(0,0,0)，A(0,0，h)，N，M.‎ ‎∴＝(0,0，h)，‎ ‎＝，‎ ‎＝，‎ ‎＝.‎ 设平面A1AN的法向量n1＝(x1，y1，z1)，则 ‎∴ 取x1＝1，∴n1＝(1，－，0)．‎ 设平面A1MN的法向量n2＝(x2，y2，z2)，则 ‎∴取z2＝1，∴n2＝(0，－2h,1)．‎ ‎∵二面角AA1NM的余弦值为，‎ ‎∴cos〈n1，n2〉＝，即＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得h＝1，即AA1＝1.‎