【数学】2019届一轮复习人教A版基本不等式及其应用学案 14页

第3节　基本不等式及其应用 最新考纲　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 知 识 梳 理 ‎1.基本不等式：≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.‎ ‎2.两个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 ‎(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).‎ ‎(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).‎ ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.‎ ‎2.ab≤≤.‎ ‎3.≤≤≤(a>0，b>0).‎ ‎4.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)‎ ‎(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4.(　　)‎ ‎(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)‎ 解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；‎ 不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.‎ ‎(2)函数y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.‎ ‎(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.‎ ‎(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2.设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)‎ A.80 B.77 C.81 D.82‎ 解析　xy≤＝81，当且仅当x＝y＝9时取等号.‎ 答案　C ‎3.若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A.1＋ B.1＋ C.3 D.4‎ 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.‎ 答案　C ‎4.(2017·山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b 的最小值为________.‎ 解析　由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，‎ ‎∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8‎ .‎ 故2a＋b的最小值为8.‎ 答案　8‎ ‎5.(必修5P100A2改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为______m，宽为________m时菜园面积最大.‎ 解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤‎ ＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.‎ 答案　15　 考点一　配凑法求最值 ‎【例1】 (1)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________；‎ ‎(2)函数y＝的最大值为________.‎ 解析　(1)因为x＜，所以5－4x＞0，‎ 则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3‎ ‎＝－2＋3＝1.‎ 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.‎ 故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.‎ ‎(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，‎ 所以y＝＝.‎ 当t＝0，即x＝1时，y＝0；‎ 当t＞0，即x＞1时，y＝，‎ 因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，‎ 所以y＝≤，‎ 即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).‎ 答案　(1)1　(2) 规律方法　1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.‎ ‎2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·湖北重点中学一联)若对∀x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ ‎(2)函数y＝(x>1)的最小值为________.‎ 解析　(1)因为函数f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g(x)在[1，＋∞)的最小值为g(1)＝，因此对∀x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝，故实数a的取值范围是.‎ ‎(2)y＝＝ ‎＝ ‎＝(x－1)＋＋2≥2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.‎ 答案　(1)　(2)2＋2‎ 考点二　常数代换或消元法求最值(易错警示)‎ ‎【例2】 (1)(一题多解)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________；‎ ‎(2)(一题多解)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.‎ 解析　(1)法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，‎ ‎∴3x＋4y＝(3x＋4y) ‎＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，‎ ‎∴3x＋4y的最小值是5.‎ 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，‎ ‎∵x>0，y>0，∴y>，‎ ‎∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5，‎ 当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.‎ ‎(2)由已知得x＝.‎ 法一　(消元法)‎ 因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，‎ 所以x＋3y＝＋3y ‎＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，‎ 当且仅当＝3(y＋1)，‎ 即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.‎ 法二　∵x＞0，y＞0，‎ ‎9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，‎ 当且仅当x＝3y时等号成立.‎ 设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，‎ ‎∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.‎ 故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.‎ 答案　(1)5　(2)6‎ 规律方法　条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.‎ 易错警示　(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.‎ ‎【训练2】 (1)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)‎ A.24 B.32 C.20 D.28‎ ‎(2)(2018·石家庄质检)已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________.‎ 解析　(1)∵x，y均为正实数，且＋＝，‎ 则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4‎ ‎＝6(x＋2＋y＋2)－4‎ ‎＝6－4‎ ‎≥6×－4＝20，‎ 当且仅当x＝y＝10时取等号.‎ ‎∴x＋y的最小值为20.‎ 故选C.‎ ‎(2)因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立.‎ 答案　(1)C　(2)5＋2 考点三　基本不等式在实际问题中的应用 ‎【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.‎ 解　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50，100].‎ 所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]‎ ‎(或y＝＋x，x∈[50，100]).‎ ‎(2)y＝＋x≥26，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18时等号成立.‎ 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.‎ 规律方法　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.‎ ‎2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.‎ ‎3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.‎ ‎【训练3】 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为我国已从航天大国向航天强国迈进的重要标志.长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克.‎ ‎(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数.‎ ‎(2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？‎ 解　(1)由题意，得k＋9＝10，即k＝1，生产m千克该产品需要的时间是，‎ 所以y＝(kx2＋9)＝m，x∈[1，10].‎ ‎(2)由(1)知，生产1 000千克该产品消耗的A材料为y＝1 000≥1 000×2＝6 000，‎ 当且仅当x＝，即x＝3时，等号成立，且3∈[1，10].‎ 故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1.下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.lg>lg x(x>0)‎ B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C.x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.＜1(x∈R)‎ 解析　当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；显然选项C正确；当x＝0时，有＝1，选项D不正确.‎ 答案　C ‎2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A.[0，2] B.[－2，0]‎ C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]‎ 解析　2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，所以x＋y≤－2.‎ 答案　D ‎3.(2018·平顶山一模)若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由x>0，得＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，则a≥，故选A.‎ 答案　A ‎4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)‎ A.≤ B.＋≤1‎ C.≥2 D.a2＋b2≥8‎ 解析　4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.‎ 答案　D ‎5.若a，b都是正数，则·的最小值为(　　)‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ 解析　∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.‎ 答案　C ‎6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. C.2 D. 解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.‎ 答案　C ‎7.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B.2 C.2 D.4‎ 解析　依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.‎ 答案　C ‎8.(2018·郑州质检)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是(　　)‎ A.[1，4] B.[2，＋∞)‎ C.(2，4) D.(4，＋∞)‎ 解析　因为a＋b＋＋＝(a＋b)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，故选A.‎ 答案　A 二、填空题 ‎9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.‎ 解析　∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，‎ 解得≥3，即ab≥9.‎ 答案　[9，＋∞)‎ ‎10.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________.‎ 解析　∵a，b∈R，ab>0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，‎ 当且仅当即时取得等号.‎ 答案　4‎ ‎11.已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.‎ 解析　对任意x∈N*，f(x)≥3，‎ 即 ≥3恒成立，即a≥－＋3.‎ 设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(x)＝x＋≥4，‎ 当x＝2时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝.‎ ‎∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝.∴－＋3≤－，‎ ‎∴a≥－，故a的取值范围是.‎ 答案　 ‎12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.‎ 解析　设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，‎ ‎∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，‎ ‎∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，‎ ‎∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.‎ 答案　2　20‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎13.(2018·西安模拟)若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由正弦定理，得a＋b＝2c.‎ 所以cos C＝＝＝≥＝ ‎.‎ 当且仅当3a2＝2b2，即a＝b时，等号成立.‎ 所以cos C的最小值为.‎ 答案　A ‎14.(2018·安徽江南十校联考)已知数列{an}满足an＋1＋an＝(n＋1)·cos(n≥2，n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，若S2 017＋m＝1 010，且a1·m>0，则＋的最小值为(　　)‎ A.2 B. C.2 D.2＋ 解析　由an＋1＋an＝(n＋1)·cos(n≥2，n∈N*)得，a3＋a2＝－3，a4＋a3＝0，a5＋a4＝5，a6＋a5＝0，a7＋a6＝－7，a8＋a7＝0，a9＋a8＝9，a10＋a9＝0，…，∴a2＋a3＋a4＋a5＝a6＋a7＋a8＋a9＝…＝a2 014＋a2 015＋a2 016＋a2 017＝2，‎ ‎∴S2 017＝504(a2＋a3＋a4＋a5)＋a1＝1 008＋a1，‎ 又S2 017＋m＝1 010，‎ ‎∴a1＋m＝2，∴＋＝(a1＋m)· ‎＝≥2，即＋的最小值为2，故选A.‎ 答案　A ‎15.(2018·潍坊调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________.‎ 解析　可行域如图所示，当直线abx＋y＝z(a>0，b>0)过点B(2，3)时，z取最大值2ab＋3.‎ 于是有2ab＋3＝35，ab＝16.‎ 所以a＋b≥2＝8，当且仅当a＝b＝4时等号成立，‎ 所以(a＋b)min＝8.‎ 答案　8‎ ‎16.正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.‎ 解析　因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16.由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.‎ 答案　[6，＋∞)‎