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- 2021-06-22 发布
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单元检测八 立体几何与空间向量
(时间:120分钟 满分:150分)
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中,错误的是( )
A.平行于同一平面的两个平面平行
B.平行于同一直线的两个平面平行
C.一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线必和另一个平面相交
D.一条直线与两个平行平面所成的角相等
答案 B
解析 选项A正确,是面面平行的传递性.选项B错误,比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行,但两侧面所在平面相交.选项C正确,由反证法,若直线与另一平面不相交,则直线在平面内或直线与平面平行,与直线与第一个平面相交矛盾.选项D正确,由线面角定义可知正确.
2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A.25πB.50πC.125πD.都不对
答案 B
解析 长方体的8个顶点都在同一球面上,则这个球是长方体的外接球,所以球的直径等于长方体的体对角线长,即R==,所以球的表面积为4πR2=4π·2=50π,故选B.
3.如图,在多面体ABCDEF中,已知底面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,且EF与底面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为( )
A.B.5C.6D.
答案 D
解析 分别取AB,CD的中点G,H,连接EG,GH,EH,把该多面体分割成一个四棱锥与一个
三棱柱,可求得四棱锥的体积为3,三棱柱的体积为,进而整个多面体的体积为.
4.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由长方体∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,设AD=DD1=1,CD=.连接BC1,BD.
由AD1∥BC1,所以异面直线AD1与DC1所成角,即∠BC1D.
在△BDC1中,BC1=,BD=2,C1D=2,由余弦定理可得cos∠BC1D===,
所以异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是.
5.(2018·嘉兴测试)已知两个不同的平面α,β和三条不同的直线m,a,b,若α∩β=m,a⊂α且a⊥m,b⊂β,设α和β所成的一个二面角的大小为θ1,直线a与平面β所成的角的大小为θ2,直线a,b所成的角的大小为θ3,则( )
A.θ1=θ2≥θ3 B.θ3≥θ1=θ2
C.θ1≥θ3,θ2≥θ3 D.θ1≥θ2,θ3≥θ2
答案 D
解析 由题意可知θ1=θ2或θ1+θ2=π,因为线面角的范围为,二面角的范围为[0,π],所以θ1≥θ2;当b⊥m时,θ2=θ3,当b不与m垂直时,θ2<θ3,所以θ2≤θ3.故选D.
6.若圆锥的侧面展开图是半径为2,圆心角为的扇形,则由它的两条母线所确定的最大截面与底面所成二面角的余弦值为( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 设圆锥底面圆的半径为r,
由2πr=×2,得r=,设轴截面顶角大小为2θ,
则sinθ=>,所以2θ>,
设两条母线所确定的截面最大时,两条母线的夹角为α,
则α≤2θ,最大截面所对应的三角形的面积
S=×2×2sinα,则α=,
所以两条母线所确定的最大截面为等腰直角三角形,其斜边上的高为,底面圆的圆心到最大截面斜边的距离为=,则两条母线所确定的最大截面与底面所成二面角的余弦值为=.
7.已知三棱锥S—ABC的每个顶点都在球O的表面上,SA⊥底面ABC,AB=AC=4,BC=2,且二面角S—BC—A的正切值为4,则球O的表面积为( )
A.240πB.248πC.252πD.272π
答案 D
解析 设BC的中点为D,连接AD,SD,可得AD=1,则∠SDA是二面角S—BC—A的平面角,由于二面角S—BC—A的正切值为4,∴SA=4,由余弦定理知,
cos∠CAB===-,
sin∠CAB=,
由正弦定理知,△ABC的外接圆直径
2r===16,
设三棱锥S—ABC的外接球半径为R,
则2+r2=R2,得R2=68,
∴球O的表面积为4πR2=272π,故选D.
8.(2018·杭州质检)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E分别是BC,AB的中点,AB≠AC,且AC>AD.设PC与DE所成角为α,PD与平面ABC所成角为β,二面角P-BC-A为γ,则( )
A.α<β<γ B.α<γ<β
C.β<α<γ D.γ<β<α
答案 A
解析 由题图可知∠PCA=α<,∠PDA=β<,
因为PA⊥平面ABC,所以tanα=,tanβ=.
又AC>AD,故tanβ>tanα,则β>α.
过点A作AQ⊥BC,垂足为Q,连接PQ,则∠PQA=γ,
同理可证得γ>β,所以α<β<γ,故选A.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱AP⊥平面ABCD,AB=1,AP=,点M在线段BC上,且AM⊥MD,则当△PMD的面积最小时,线段BC的长度为( )
A.B.2C.D.
答案 D
解析 方法一 设BM=x,MC=y,则BC=AD=x+y,
∵PA⊥平面ABCD,MD⊂平面ABCD,∴PA⊥MD,
又AM⊥MD,PA∩AM=A,PA,AM⊂平面PAM,
∴MD⊥平面PAM,
又PM⊂平面PAM,∴MD⊥PM,
易知AM=,MD=,
在Rt△AMD中,AM2+MD2=AD2,
即x2+1+y2+1=(x+y)2,化简得xy=1.
在Rt△PMD中,PM=,MD==,
∴S△PMD=PM·MD=··
=≥=,
当且仅当x2=,即x=,y=时取等号,
此时BC=x+y=.
方法二 由题意知,AB,AD,AP两两垂直.以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设BC=a,
M(1,x,0),x>0,
则A(0,0,0),B(1,0,0),
C(1,a,0),D(0,a,0),P(0,0,).
由AM⊥MD,得·=0,
即(1,x,0)·(-1,a-x,0)=ax-x2-1=0,
解得a=x+,而·=ax-x2-1=0,
∴PM⊥MD,∴S△PMD=||·||
=·=·
=≥=,
当且仅当即时等号成立,此时BC=.
10.(2018·温州市高考适应性考试)已知正四面体PABC,Q为△ABC内的一点,记PQ与平面PAB,PAC,PBC所成的角分别为α,β,γ,则下列式子恒成立的是( )
A.sin2α+sin2β+sin2γ≥2
B.cos2α+cos2β+cos2γ≥2
C.tan2α+tan2β+tan2γ≤1
D.++≤1
答案 B
解析 取点Q为△ABC的中心,设正面体的棱长为1,
则sinα=sinβ=sinγ==,
所以sin2α+sin2β+sin2γ=<2,排除A;
所以cos2α=cos2β=cos2γ=1-2=,
所以tan2α=tan2β=tan2γ=,
所以++=24>1,排除D;
取BC的中点D,连接PD,AD,
易知AP与平面PBC所成的角为∠APD,
且cos∠APD===,
所以sin∠APD=,所以tan∠APD=>1,
所以当点Q靠近点A时,QP与平面PBC所成的角的正切值大于1,所以tan2α+tan2β+tan2γ>1,排除C.故选B.
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)
11.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体侧视图的面积为______cm2,此几何体的体积为______cm3.
答案 2 6
解析 此几何体的侧视图为直角三角形,高为4cm,底为=,面积为×4×=2;该几何体是以正视图为底面的四棱锥,如图所示,其底面为直角梯形,面积是(4+2)×6=18(cm2),高为,体积为×18×=6(cm3).
12.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,则球面面积为________.
答案 54π
解析 如图,设球的半径为r,O′是△ABC的外心,外接圆半径为R,D是AB的中点,
则OO′⊥平面ABC.
在Rt△ACD中,cosA=,则sinA=.
在△ABC中,由正弦定理得=2R,得R=,
即O′C=.
在Rt△OCO′中,r2-r2=,
得r=,S球表=4π×=54π.
13.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1=________.
答案
解析 ∵∠BAA1=∠DAA1=60°,
∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上,
∴平面ACC1A1⊥平面ABCD,
∵AB=1,AD=2,AA1=3,
=+=++,
∴||2=(++)2
=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=1+4+9+0+2×1×3×+2×2×3×=23,
∴||=,∴AC1=.
14.(2018·浙江五校联考)在正三棱锥S-ABC中,M是SC的中点,且AM⊥SB,底面边长AB=2,则正三棱锥S-ABC的体积为________,其外接球的表面积为________.
答案 12π
解析 由正三棱锥的对棱互相垂直可得SB⊥AC,
又SB⊥AM,AM∩AC=A,AM,AC⊂平面SAC,
所以SB⊥平面SAC,则SB⊥SA,SB⊥SC.所以正三棱锥S-ABC的三个侧面都是等腰直角三角形.
又AB=2,所以SA=SB=SC=2,
故正三棱锥S-ABC是棱长为2的正方体的一个角,
其体积为SA·SB·SC=,其外接球的直径2R=2,故外接球的表面积为4πR2=12π.
15.如图,在三棱锥S-ABC中,若AC=2,SA=SB=SC=AB=BC=4,E为棱SC的中点,则直线AC与BE所成角的余弦值为__________,直线AC与平面SAB所成的角为__________.
答案 60°
解析 取SA的中点M,连接ME,BM,
则直线AC与BE所成的角等于直线ME与BE所成的角,
因为ME=,BM=BE=2,
cos∠MEB=
==,
所以直线AC与BE所成角的余弦值为.
取SB的中点N,则AN⊥SB,CN⊥SB,
又AN∩CN=N,AN,CN⊂平面ACN,
即SB⊥平面ACN,即平面SAB⊥平面ACN,
因此直线AC与平面SAB所成的角为∠CAN,
因为AN=CN=AC=2,所以∠CAN=60°,
因此直线AC与平面SAB所成的角为60°.
16.如图,已知四棱锥A-BCDE中,AB=BC=2,BE=2CD=4,∠ABC=120°,∠EBC=30°,BE∥CD,M为棱DE的中点,三棱锥M-ABC的体积为,则点M到平面ABC的距离为________,二面角A-BC-D的正弦值为________.
答案 1
解析 在△ABC中,因为AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以S△ABC=×AB×BC×sin∠ABC=.
设点M到平面ABC的距离为h,则由题意得,
×S△ABC×h=××h=,所以h=1.
作MF⊥BC于点F,MN⊥平面ABC于点N,连接FN,
则BC⊥平面MNF,故NF⊥BC,
故∠MFN为二面角A-BC-D的平面角或其补角.
过点E作ES⊥BC于点S,过点D作DT⊥BC的延长线于点T(图略),则ES=BEsin30°=2,
又BE∥CD,所以DT=CDsin30°=1,
所以MF==,
由(1)知MN=h=1,所以sin∠MFN==,
设二面角A-BC-D的平面角为θ,则sinθ=sin∠MFN=.
17.已知边长为1的正△A′BC的顶点A′在平面α内,顶点B,C在平面α外的同一侧,点B′,C′分别为B,C在平面α内的射影,设BB′≤CC′,直线CB′与平面A′CC′所成的角为φ.若△A′B′C′是以角A′为直角的直角三角形,则tanφ的最小值为________.
答案
解析 如图,以点A′为坐标原点,A′C′,A′B′所在直线分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系.
设B(0,b,m),C(c,0,n),
则
可得mn=且0,
又因为tanφ=b=,