- 346.50 KB
- 2021-06-22 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)命题“∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.且f(n0)>n0
D.或f(n0)>n0
2.(5分)若复数=2﹣i其中a,b是实数,则复数a+bi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.(5分)已知a,b,c均为实数,则“b2=ac”是“a,b,c构成等比数列”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(5分)抛物线x2=y的准线方程是( )
A.y=1 B.y=﹣1 C.y= D.y=﹣
5.(5分)在等差数列{an}中,a1=1,a3+a4+a5+a6=20,则a8=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
6.(5分)已知△ABC的两个顶点A(5,0),B(﹣5,0),周长为22,则顶点C的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.(5分)函数,则( )
A.x=e为函数f(x)的极大值点 B.x=e为函数f(x)的极小值点
C.为函数f(x)的极大值点 D.为函数f(x)的极小值点
8.(5分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知数列{an},a1=1,,则a10的值为( )
A.5 B. C. D.
10.(5分)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,)
11.(5分)已知x,y∈(0,+∞),且满足,那么x+4y的最小值为( )
A. B. C. D.
12.(5分)如图,F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为( )
A.2+ B.2+ C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)若,则= .
14.(5分)= .
15.(5分)椭圆C的中心在坐标原点,左、右焦点F1,F2在x轴上,已知A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率为 .
16.(5分)已知f(x,y)=ax+by,若1≤f(1,1)≤2且﹣1≤f(1,﹣1)≤1,则f(2,1)的取值范围为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)设数列{an}满足a1=1,an+1=3an,n∈N+.
(Ⅰ)求{an}的通项公式及前n项和Sn;
(Ⅱ)已知{bn}是等差数列,且满足b1=a2,b3=a1+a2+a3,求数列{bn}的通项公式.
18.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0),焦点对准线的距离为4,过点P(1,﹣1)的直线交抛物线于A,B两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)如果点P恰是线段AB的中点,求直线AB的方程.
19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB=2,AB=2.
(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值.
20.(12分)在圆x2+y2=4上任取一点P,点P在x轴的正射影为点Q,当点P在圆上运动时,动点M满足,动点M形成的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)点A(2,0)在曲线C上,过点(1,0)的直线l交曲线C于B,D两点,设直线AB斜率为k1,直线AD斜率为k2,求证:k1k2为定值.
21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)证明:平面PBC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
22.(12分)设函数f(x)=x2ex.
(1)求曲线f(x)在点(1,e)处的切线方程;
(2)若f(x)<ax对x∈(﹣∞,0)恒成立,求a的取值范围;
(3)求整数n的值,使函数F(x)=f(x)﹣在区间(n,n+1)上有零点.
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)命题“∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n
B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n
C.且f(n0)>n0
D.或f(n0)>n0
【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可.
【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)≤n”的否定形式是:或f(n0)>n0.
故选:D.
【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基本知识的考查.
2.(5分)若复数=2﹣i其中a,b是实数,则复数a+bi在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出.
【解答】解:复数=2﹣i,其中a,b是实数,
∴a+i=(2﹣i)(b﹣i)=2b﹣1﹣(2+b)i,
∴,解得b=﹣3,a=﹣7.
则复数a+bi在复平面内所对应的点(﹣7,﹣3)位于第三象限.
故选:C.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
3.(5分)已知a,b,c均为实数,则“b2=ac”是“a,b,c构成等比数列”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.
【解答】解:由“b2=ac”推不出“a,b,c构成等比数列,比如a=b=c=0,
反之成立,
故选:A.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查等比数列,是一道基础题.
4.(5分)抛物线x2=y的准线方程是( )
A.y=1 B.y=﹣1 C.y= D.y=﹣
【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p,再直接代入即可求出其准线方程.
【解答】解:因为抛物线的标准方程为:x2=y,焦点在y轴上;
所以:2p=,即p=,
所以:=,
所以准线方程y=﹣.
故选:D.
【点评】本题的考点是抛物线的简单性质,主要考查抛物线的标准方程,属于基础题.
5.(5分)在等差数列{an}中,a1=1,a3+a4+a5+a6=20,则a8=( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【分析】利用等差数列的通项公式,求出d,即可得出结论.
【解答】解:设公差为d,则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20,∴d=,
∴a8=1+7d=9,
故选C.
【点评】本题考查等差数列的通项公式,考查学生的计算能力,比较基础.
6.(5分)已知△ABC的两个顶点A(5,0),B(﹣5,0),周长为22,则顶点C的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
【分析】利用椭圆的定义,求出椭圆的几何量,求解椭圆的方程即可.
【解答】解:△ABC的两个顶点A(5,0),B(﹣5,0),周长为22,则顶点C的轨迹是椭圆,
可知c=5,2a=12,解得a=6,c=.
则顶点C的轨迹方程是:.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的简单性质椭圆方程的求法,考查计算能力.
7.(5分)函数,则( )
A.x=e为函数f(x)的极大值点 B.x=e为函数f(x)的极小值点
C.为函数f(x)的极大值点 D.为函数f(x)的极小值点
【分析】求导,令f′(x)>0,求得函数的单调递增区间,令f′(x)<0,求得函数的单调递减区间,则当x=e时,函数有极大值.
【解答】解:的定义域(0,+∞),求导f′(x)=,
令f′(x)=>0,解得:0<x<e,令f′(x)=<0,解得:x>e,
∴函数在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,
∴当x=e时,函数有极大值,
故选A.
【点评】本题考查导数的综合应用,考查利用导数求函数的单调性及极值,考查计算能力,属于基础题.
8.(5分)如图所示,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,已知M,N分别是BD和AD的中点,则B1M与D1N所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【分析】建立空间直角坐标系.利用向量的夹角公式即可得出.
【解答】解:建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为2,则B1(2,2,2),M(1,1,0),D1(0,0,2),N(1,0,0),
∴=(﹣1,﹣1,﹣2),=(1,0,﹣2),
∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=,
故选:A.
【点评】本题考查了向量的夹角公式求异面直线所成的夹角,属于基础题.
9.(5分)已知数列{an},a1=1,,则a10的值为( )
A.5 B. C. D.
【分析】利用数列的递推公式推导出数列{an}的前四项,从而猜想an=.并利用利用数学归纳法进行证明得到,由此能求出a10.
【解答】解:∵数列{an},a1=1,,
∴=,
=,
=,
由此猜想an=.
下面利用数学归纳法进行证明:
①,成立;
②假设ak=,
则==,成立,
∴,
∴a10=.
故选:D.
【点评】本题考查数列的第10项的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意递推公式、数学归纳法的合理运用.
10.(5分)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(﹣∞,] C.[,+∞) D.(﹣∞,)
【分析】对函数进行求导,令导函数大于等于0在R上恒成立即可.
【解答】解:若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立,即△=4﹣12m≤0,∴m≥.
故选C.
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系.即当导数大于0是原函数单调递增,当导数小于0时原函数单调递减.
11.(5分)已知x,y∈(0,+∞),且满足,那么x+4y的最小值为( )
A. B. C. D.
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵x,y∈(0,+∞),且满足,
那么x+4y=(x+4y)=≥==+,
当且仅当x=2=时取等号.
故选:C.
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
12.(5分)如图,F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点.若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点,且四边形PF1QF2为矩形,则双曲线的离心率为( )
A.2+ B.2+ C. D.
【分析】由题意,矩形的对角线长相等,由此建立方程,找出a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:由题意,矩形的对角线长相等,
y=x代入﹣=1,可得x=±,
∴•=c,
∴2a2b2=(b2﹣a2)c2,
∴2a2(c2﹣a2)=(c2﹣2a2)c2,
∴2(e2﹣1)=e4﹣2e2,
∴e4﹣4e2+2=0,
∵e>1,∴e2=2+,
∴e=.
故选:C.
【点评】本题考查双曲线的离心率,考查矩形的性质,确定a,c的关系是关键.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)若,则= ﹣7 .
【分析】利用空间向量的加法和数量积的坐标运算公式运算即可.
【解答】解:,则=(﹣2,﹣1,5)•(7,﹣2,1)=﹣14+2+5=﹣7;
故答案为:﹣7.
【点评】本题考查了空间向量的加法和数量积运算;属于基础题.
14.(5分)= 1 .
【分析】先求出的原函数,再根据定积分的运算法则求出该函数的定积分即可.
【解答】解:∫1edx=lnx|1e=lne﹣ln1=1,
故答案为1
【点评】本题主要考查了定积分的运算,定积分是一种“和”的极限,蕴含着分割、近似代替,求和、取极限的思想方法,属于基础题.
15.(5分)椭圆C的中心在坐标原点,左、右焦点F1,F2在x轴上,已知A,B分别是椭圆的上顶点和右顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,则此椭圆的离心率为 .
【分析】如图所示,把x=﹣c代入椭圆标准方程:+=1(a>b>0),可得P,由PF2∥AB,可得kAB=,即可得出.
【解答】解:如图所示,把x=﹣c代入椭圆标准方程:+=1(a>b>0).
则=1,解得y=±.
取P,又A(0,b),B(a,0),F2(c,0),
∴kAB=﹣,==﹣.
∵PF2∥AB,∴﹣=﹣,化为:b=2c.
∴4c2=b2=a2﹣c2,即a2=5c2,解得a=c,
∴e==.
故答案为:.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
16.(5分)已知f(x,y)=ax+by,若1≤f(1,1)≤2且﹣1≤f(1,﹣1)≤1,则f(2,1)的取值范围为 .
【分析】求出约束条件,目标函数,利用线性规划求解即可.
【解答】解:f(x,y)=ax+by,若1≤f(1,1)≤2且﹣1≤f(1,﹣1)≤1,
可得,画出不等式组的可行域如图:
则f(2,1)=2a+b,当直线z=2a+b经过A时取得最小值,经过B时取得最大值,
由可得B(,),
f(2,1)=2a+b的最小值为:!,最大值为:.
故答案为:.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域是解题的关键.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(10分)设数列{an}满足a1=1,an+1=3an,n∈N+.
(Ⅰ)求{an}的通项公式及前n项和Sn;
(Ⅱ)已知{bn}是等差数列,且满足b1=a2,b3=a1+a2+a3,求数列{bn}的通项公式.
【分析】(Ⅰ)判断数列是等比数列,然后求{an}的通项公式及前n项和Sn;
(Ⅱ)利用数列的关系求出公差,然后求解通项公式.
【解答】解:(Ⅰ)由题设可知{an}是首项为1,公比为3的等比数列,…(2分)
所以,…(4分)
…(6分)
(Ⅱ)设数列{bn}的公差为d∵b1=a2=3,b3=a1+a2+a3=S3=13,
∴b3﹣b1=10=2d,∴d=5,…(8分)
∴bn=5n﹣2…(10分)
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,判断数列是等比数列是解题的关键,考查计算能力.
18.(12分)已知抛物线y2=2px(p>0),焦点对准线的距离为4,过点P(1,﹣1)的直线交抛物线于A,B两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)如果点P恰是线段AB的中点,求直线AB的方程.
【分析】(1)求出p=4,然后求解抛物线方程为y2=8x;
(2)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),通过x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用平方差法转化求解即可.
方法二:直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x﹣1)﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),通过,消去x,利用判别式以及韦达定理,转化求解即可.
【解答】解:(1)由题设焦点对准线的距离为4,可知p=4,所以抛物线方程为y2=8x;
(2)方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=﹣2,
又,相减整理得,
所以直线AB的方程是y=﹣4(x﹣1)﹣1,即4x+y﹣3=0.
方法二:由题设可知直线AB的斜率存在,
设直线AB的方程为y=k(x﹣1)﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由,消去x,得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0,
易知,
又y1+y2=﹣2所以,
所以直线AB的方程是y=﹣4(x﹣1)﹣1,即4x+y﹣3=0.
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,抛物线方程的应用,考查转化思想以及计算能力.
19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1
的中点,AA1=AC=CB=2,AB=2.
(Ⅰ)证明:BC1∥平面A1CD;
(Ⅱ)求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值.
【分析】(Ⅰ)连结AC1,交A1C于点O,连结DO,证明OD∥BC1,然后证明BC1∥平面A1CD.
(Ⅱ)由以C为坐标原点,方向为x轴正方向,方向为y轴正方向,方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系Cxyz,求出相关点的坐标,平面A1CD的法向量,平面A1CE的法向量,利用空间向量的数量积求解即可.
【解答】解:(Ⅰ)连结AC1,交A1C于点O,连结DO,则O为AC1的中点,因为D为AB的中点,所以OD∥BC1,又因为OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,∴BC1∥平面A1CD…(4分)
(Ⅱ)由,可知AC⊥BC,以C为坐标原点,方向为x轴正方向,方向为y轴正方向,方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系Cxyz,
则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),,,
设是平面A1CD的法向量,则即
可取.…(6分)
同理,设是平面A1CE的法向量,则,
可取.…(8分)
从而…(10分)
所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…(12分)
【点评】本题考查空间向量的数量积的应用,二面角的平面角的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查计算能力.
20.(12分)在圆x2+y2=4上任取一点P,点P在x轴的正射影为点Q,当点P在圆上运动时,动点M满足,动点M形成的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)点A(2,0)在曲线C上,过点(1,0)的直线l交曲线C于B,D两点,设直线AB斜率为k1,直线AD斜率为k2,求证:k1k2为定值.
【分析】(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),则由题意知点P的坐标为(x,2y),根据P在圆上求得M点轨迹方程.
(Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理及斜率公式,即可证明结论.
【解答】解:(Ⅰ)设点M的坐标为(x,y),则由题意知点P的坐标为(x,2y)
因为P在圆O:x2+y2=4,所以x2+4y2=4
故所求动点M的轨迹方程为.…(4分)
(Ⅱ)方法一:由题意知直线l斜率不为0,设直线l方程为x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2)
由消去x,得(m2+4)y2+2my﹣3=0,
易知△=16m2+48>0,得…(8分)=.所以为定值…(12分)
方法二:(ⅰ)当直线l斜率不存在时,
所以…(6分)
(ⅱ)当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=k(x﹣1),B(x1,y1),D(x2,y2)
由消去y,得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0,
易知△=48k2+16>0,…(8分)=.
所以为定值…(12分)
【点评】本题主要考查轨迹方程的求解和直线与圆锥曲线的综合问题,属于难度较大的题,高考经常涉及.
21.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=2AD=2,,PD⊥AD,PD⊥DC.
(Ⅰ)证明:平面PBC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D为,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
【分析】(Ⅰ)推导出PD⊥BC,AD⊥BD,由AD∥BC,得BC⊥BD,从而BC⊥平面PBD,由此能证明平面PBC⊥平面PBD.
(Ⅱ)由BC⊥平面PBD,知∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD=,分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.利用向量法能求出AP与平面PBC所成角的正弦值.
【解答】证明:(Ⅰ)∵PD⊥AD,PD⊥CDAD∩CD=D,AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD
∴PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD
∴PD⊥BC…(2分)
又
∴
又∴,
∠ADB=90°,AD⊥BD,又AD∥BC
∴BC⊥BD…(4分)
又∵PD∩BD=D,BD⊂平面PBD,PD⊂平面PBD
∴BC⊥平面PBD
而BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD…(6分)
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)所证,BC⊥平面PBD
∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角,即∠PBD=
而,所以PD=1…(8分)
分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则A(1,0,0),,,P(0,0,1)
∴,=(﹣1,0,0),,
设平面PBC的法向量为,
则 ,即,取y=1,得…(10分)
∴AP与平面PBC所成角的正弦值为:
.…(12分)
【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
22.(12分)设函数f(x)=x2ex.
(1)求曲线f(x)在点(1,e)处的切线方程;
(2)若f(x)<ax对x∈(﹣∞,0)恒成立,求a的取值范围;
(3)求整数n的值,使函数F(x)=f(x)﹣在区间(n,n+1)上有零点.
【分析】(1)求出原函数的导函数,得到f'(1),代入直线方程的点斜式得答案;
(2)由f(x)<ax对x∈(﹣∞,0)恒成立,分离参数a,可得a<xex,构造函数g(x)=xex,利用导数求其最小值可得a的取值范围;
(3)由F(x)=0,得,当x<0时方程不成立,可得F(x)的零点在(0,+∞)上,由函数单调性可得方程仅有一解x0,再由零点判定定理求得整数n的值.
【解答】解:(1)f'(x)=(x2+2x)ex,
∴f'(1)=3e,
∴所求切线方程为y﹣e=3e(x﹣1),即y=3ex﹣2e;
(2)∵f(x)<ax,对x∈(﹣∞,0)恒成立,∴,
设g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex,
令g'(x)>0,得x>﹣1,令g'(x)<0得x<﹣1,
∴g(x)在(﹣∞,﹣1)上递减,在(﹣1,0)上递增,
∴,
∴;
(3)令F(x)=0,得,
当x<0时,,
∴F(x)的零点在(0,+∞)上,
令f'(x)>0,得x>0或x<﹣2,
∴f(x)在(0,+∞)上递增,又在(0,+∞)上递减,
∴方程仅有一解x0,且x0∈(n,n+1),n∈Z,
∵,
∴由零点存在的条件可得,则n=0.
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查利用导数求函数的最值,训练了函数零点判定定理的应用,是中档题.