专题11-5 热点题型四 离散型随机变量的分布列与期望和方差-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破 26页

热点题型四 离散型随机变量的分布列与期望和方差 离散型随机变量的分布列与期望和方差是高考的必考点，题目难度中等。只要考生对常见的统计图如；频率分布直方图，茎叶图等能准确读取需要信息，能够计算数字特征（平均数，方差等）及事件的概率，进而做出相应推断。常见问题归纳如下；‎ 类型一 离散型随机变量的分布列与期望和方差 类型二 超几何分布与期望和方差 ‎ 类型三 二项分布与期望和方差 类型四 正态分布 ‎【基础知识整合】‎ 知识点1　离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ 知识点2　离散型随机变量的分布列及性质 ‎1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列的性质：‎ ‎(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1.‎ 知识点3　两点分布与超几何分布 ‎1．两点分布；若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p ‎，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎2．超几何分布；在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，如果随机变量X的分布列具有下表形式，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 则称随机变量X服从超几何分布．‎ 名师点睛 (1)离散型随机变量在指定范围的概率等于本范围内所有随机变量取值的概率和．‎ ‎(2)利用p1＋p2＋…＋pn＝1可检验所求分布列是否正确．‎ 知识点4　独立重复试验与二项分布 ‎1．独立重复试验；在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．‎ ‎2．二项分布；在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ 知识点5　离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．‎ ‎(2)方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎（3）均值与方差的性质 1．E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 2．D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎（4）两点分布与二项分布的均值、方差 均值 方差 变量X服从两点分布 E(X)＝p D(X)＝p(1－p)‎ X～B(n，p)‎ E(X)＝np D(X)＝np(1－p)‎ 知识点6　正态分布 ‎1．正态曲线；函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．‎ ‎2．正态曲线的性质；(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ‎ ‎(3)曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎(4)曲线与x轴之间的面积为1； ‎ ‎(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ‎ ‎(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．‎ ‎　　　 　 甲　　　　　　　　　　　　　乙 ‎3．正态分布的定义及表示；如果对于任何实数a，b(aE(Y2)， 所以二人都是选择方案甲抽奖，累计得分的均值较大．‎ 考点； 二项分布的期望 ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1.独立重复试验满足的三个条件；独立重复试验是相互独立事件的特例．P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k可简化概率的计算，但要注意检查概率模型是否满足三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．‎ ‎2.与二项分布有关的期望、方差的求法 ‎（1）．求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，‎ 则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．‎ ‎（2）．有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．‎ 类型四 正态分布 ‎【典例1】【2015高考湖北（理）4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C．对任意正数， D．对任意正数， ‎【答案】C 考点；正态分布密度曲线.‎ ‎【思路点拨】正态曲线的性质；①曲线在轴的上方，与轴不相交．‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线对称．③曲线在处达到峰值.‎ ‎④曲线与轴之间的面积为1.‎ ‎⑤当一定时，曲线随着的变化而沿轴平移，如图甲所示 ‎⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．‎ 曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．‎ ‎【典例2】【2014课标Ⅰ（理）18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：‎ ‎（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数， 近似为样本方差.‎ ‎（i）利用该正态分布，求；‎ ‎（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求. 附： 若则，。‎ ‎【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．‎ ‎（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，依题意知 ，所以．‎ 考点；1、频率分布直方图；2、正态分布的原则；3、二项分布的期望．‎ ‎【思路点拨】本题主要考查频率分布直方图、平均数及方差的计算，考查用样本估计总体，正态分布等知识，意在考查考生的因与能力及读图、用图的能力.解决概率问题时，一定要根据有关概念，判断是等可能事件、互斥事件、相互独立事件，还是某一事件在n次独立重复使用中恰好发生k’次的情况，以便选择正确的计算方法，同时注意上各类事件的综合问题，要全面考虑.‎ ‎【变式练习】‎ ‎1.【2015湖南理2】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）‎ A.2386 B.2718 C.3413 D.4772‎ 附：若，则， ‎【答案】C.‎ ‎【解析】根据正态分布的性质，，故选C.‎ 考点；1.正态分布；2.几何概型.‎ ‎2.【2017衡水金卷】已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　)‎ A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　由P(ξ<4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.‎ 又正态曲线关于x＝2对称．则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，‎ ‎∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.‎ 考点；1.正态分布；‎ ‎3.【2015山东高考】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　 　)‎ ‎(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)‎ A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%‎ ‎【答案】　B 考点；1.正态分布；‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ 利用正态曲线的性质求概率 解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化．解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用．‎ ‎(1)熟记P(μ－σ