2019-2020学年福建省永安市第一中学高二上学期第二次月考试题 数学 word版 10页

永安一中 ‎2019-2020学年第一学期第二次月考 高二数学试卷 ‎ （考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知命题，使得，则为（ ） ‎ A. ，总有 B.，总有 ‎ C. ,使得 D.，使得 ‎ ‎2. 已知向量，，且//，则（ ）‎ A．-2 B．2 C．4 D．10‎ 3. 若， 则 （ ）‎ A．2 B．-2 C． D．‎ ‎4．双曲线的焦距为（ ）‎ ‎　A． B． C． D．‎ ‎5. 不等式的一个必要不充分条件是（ ）‎ ‎　A． B． C． D．‎ ‎6.已知函数 在处有极值2,则等于（ ）‎ ‎　A. 1 B. 2 C. -2 D. -1‎ ‎7. 若抛物线上一点到焦点的距离为，以点为圆心且过点的圆与轴交于，两点，则（ ）‎ A．8 B． C． 6 D．3‎ ‎8．空间四边形中,若则（ ）‎ A． B． 0 C． D．1‎ ‎9.若在上是减函数,则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 给出以下命题：‎ ‎①若，则异面直线与所成角的余弦值为；‎ ‎②若平面与平面的法向量分别是与，则；‎ ‎③已知三点不共线，点为平面外任意一点，若点满足 ,则点平面；‎ ‎④若向量、、是空间的一个基底，则向量、、也是空间的一个基底；‎ 则其中正确的命题个数是（ 　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率（ ）‎ ‎　A． B． C． D．‎ ‎12.已知，函数f(x)＝(x>0)的最小值为0，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎　A. B. C. D. ‎ 第II卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知椭圆的离心率为，则实数_____________．‎ ‎14.函数在R上不是单调函数,则的取值范围是 ‎ ‎15．已知双曲线的左、右顶点分别为，，点在双曲线上，若直线的斜率为，则直线的斜率为______________．‎ ‎16. 在正方体中，若棱长为，点、分别为线段、上的动点，则下列结论中正确结论的序号是__________‎ ‎①面； ②面面；③点到面的距离为定值；④直线与面所成角的正弦值为定值.‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.（本小题满分10分）已知函数，其导函数为,．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎18. （本小题满分12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；‎ ‎（Ⅰ）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；‎ ‎（Ⅱ）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点的横坐标为，．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的倾斜角为锐角，求与直线平行且与抛物线相切的直线方程．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 如图，已知四边形和都是菱形，平面平面，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎ （Ⅰ）当时，试求的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若在内有极值，试求的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，且线段的中点坐标为，椭圆的上顶点的坐标为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，若直线与的斜率之和为，求证：直线过定点．‎ 参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D A B C D A B D C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 14. 15. 2 16. ①②③‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分 ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（Ⅰ） ……………………1分 因为 所以, 解得, ……………………2分 ‎ 所以,, ‎ 所以 ……………………3分 ‎, ……………………4分 所以曲线在点处的切线方程为． ……………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）当时,解得或, ……………………6分 当x变化时, ,的变化情况如下表：‎ x ‎ ‎ ‎0‎ 递减 极小值 递增 ‎ -------------7分 ‎ 所以的极小值为, ……………………8分 又,, ……………………9分 所以的最大值为, 最小值为． ……………………10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ ‎【解析】（I）以为轴建立空间直角坐标系，……………1分 则可得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴ ……………………5分 ‎∴异面直线与所成角的余弦值为 ……………………6分 ‎（Ⅱ）由（I）知，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则可得，即，取可得，……………9分 设直线与平面所成的角为，‎ 则 …………………………11分 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为 ……………12分 ‎19. （本小题满分12分）‎ ‎【解析】设，，‎ ‎（I）因为线段的中点的横坐标为，所以，即．…2分 根据抛物线的定义可知，……………………4分 所以，解得，所以抛物线的标准方程为．……………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 由题可设直线的方程为，．‎ 则由可得，……………………7分 所以，解得（负值舍去），‎ 所以直线的方程为，即，……………………9分 设与直线平行的直线的方程为，‎ 由可得，……………………10分 令，解得，‎ 故与直线平行且与抛物线相切的直线方程为．……………………12分 ‎20. （本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）证明：取的中点为，连结，‎ 四边形和都是菱形，且，‎ 三角形和三角形都是等边三角形， ‎ ‎ ， ， ‎ 又，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 所以； ……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ‎ 又平面平面且交于，平面 ‎ 平面， ‎ ‎，……………………………………6分 三条直线两两垂直， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图）， ‎ 则，…………………………7分 ‎,,‎ 设平面的法向量， ‎ 由，可得， ‎ 所以可取 ……………………………………………9分 同理可取 ……………………………………………10分 ‎， ……………………………………………11分 又二面角的平面角为锐角，‎ 所以二面角的余弦值为． ……………………………………………12分 ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ） --------2分 ‎ 当时，对于， 恒成立， -------------3分 令 得； ‎ 令 得 ------------4分 所以函数单调增区间为，单调减区间为 ． -------------5分 ‎（Ⅱ）若在内有极值，则在内有解．-------------6分 令 Þ Þ .-------------7分 设 , 所以 , ‎ ‎ 当时， 恒成立， 所以单调递减. ------------8分 ‎ 又因为，又当时， ,‎ 即在上的值域为, -------------9分 ‎ 所以 当时， 在内有解. -------10分 设，则 ，‎ 所以在单调递减.‎ 因为， ,‎ 所以在有唯一解. ‎ 所以有：‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 所以 当时， 在内有极值且唯一.‎ 综上， 的取值范围为． -------------12分 ‎22. （本小题满分12分）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，，‎ 因为线段的中点坐标为，所以，（2分）‎ 又，，上述两式相减可得，‎ 因为直线的斜率为，即，所以，（4分）‎ 又因为椭圆的上顶点的坐标为，所以，‎ 所以，所以椭圆的标准方程为，（6分）‎ ‎（Ⅱ）设点，，将代入，消去可得，‎ 则，，（8分）‎ 所以，‎ 所以，化简得，（10分）‎ 所以直线的方程为，即，‎ 令，可得，所以直线过点，‎ 故直线过定点．（12分）‎