专题14-2 参数方程（文理通用）（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测 15页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【新课标版理 】【讲】选修4－4　坐标系与参数方程 第02讲 参数方程 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 参数方程 ‎1.了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎2013课标1,2‎ ‎2014课标1,2‎ ‎2015课标1,2‎ ‎2016课标1,2,3‎ ‎2017课标1,2,3‎ 参数方程和普通方程的互化，利用参数方程设点以及参数的几何意义都是考查的内容 备考重点：‎ 参数思想和参数的几何意义倍加关注 ‎【知识清单】‎ ‎1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．‎ 对点练习 ‎1.曲线（为参数）与轴的交点坐标是 A. （8,0），（-7,0） B. （-8,0），（-7,0） C. （8,0），（7,0） D. （-8,0），（7,0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】令 可得参数值： ，‎ 代入参数方程横坐标可得： ，‎ 据此可得曲线与轴的交点坐标是（-8,0），（-7,0）.‎ 本题选择B选项.‎ ‎2.若动点在曲线上运动，则的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得 ，选A.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数 .‎ ‎【答案】3‎ ‎2. 常见曲线的参数方程的一般形式 ‎ ‎1．经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 (t为参数)‎ 设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．‎ ‎2．圆的参数方程 (θ为参数)‎ ‎3．圆锥曲线的参数方程 椭圆＋＝1的参数方程为 (θ为参数)‎ 抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)‎ 对点练习 ‎1. 曲线的长度是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由已知得该曲线表示以为圆心，5为半径的圆的一部分，.‎ ‎2. 已知点在曲线（为参数，且）上，则点到直线（为参数）的距离的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎3. 若点在以点为焦点的抛物线为参数）上，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：把抛物线的参数方程（为参数）化成普通方程为，因为点在以点为焦点的抛物线上，由抛物线的定义可得故选C.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 参数方程和普通方程的互化 ‎【1-1】　直线为参数）与圆为参数）相切，则此直线的倾斜角 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆的标准方程为，直线一般方程为，则，∵，∴，∴．故选A．‎ ‎【1-1】下列参数方程能与方程表示同一曲线的是（ ）‎ A. 为参数 B. 为参数 C. 为参数 D. 为参数 ‎【答案】D ‎【解析】A. ；B. ；C. ；D. ，即 ，故选D.‎ ‎【1-3】方程（为参数）表示的曲线是( )‎ A. 双曲线 B. 双曲线的上支 C. 双曲线的下支 D. 圆 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得，方程 ，‎ 两式相减，可得，由，‎ 所以曲线的方程为，表示双曲线的上支，故选B.‎ ‎【1-4】曲线与交点的个数为__________‎ ‎【答案】2‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．‎ ‎(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式】如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .‎ ‎【答案】,, ‎【解析】以（,0）为圆心，为半径，且过原点的圆它的标准参数方程为，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数,则 考点2 直线参数方程的应用 ‎【2-1】【2018云南曲靖市第一中学质监】直角坐标系的原点和极坐标系的极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线的参数方程为（为参数）‎ ‎（1）在极坐标系下，曲线与射线和射线分别交于两点，求的面积；‎ ‎（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点，求的值.‎ ‎（Ⅱ）将的参数方程代入曲线的普通方程得，‎ 即， ‎ ‎∴．‎ ‎【2-2】【2018广西柳州摸底联考】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 (其中为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）把曲线的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线， 相交于两点， 的中点为，过点做曲线的垂线交曲线于两点，求.‎ ‎【解析】（1）曲线的参数方程为（其中为参数），消去参数可得.‎ 曲线的极坐标方程为，展开为，化为..‎ ‎（2）设，且中点为，‎ 联立，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 线段的中垂线的参数方程为 （为参数），‎ 代入，可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【2-3】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【解析】（1）由得：，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为：，由消去得：，‎ ‎∴直线的普通方程为：‎ ‎【领悟技法】‎ ‎(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)．‎ 当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.‎ ‎【触类旁通】‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极 轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的直角坐标方程；‎ ‎（II）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先将两边同乘以可得，再利用，可得的直角坐标方程；（II）先设的坐标，则，再利用二次函数的性质可得的最小值，进而可得的直角坐标．‎ 试题解析：（I）由，得，‎ 从而有，所以.‎ ‎(II)设，又，则，‎ 故当时，取最小值，此时点的直角坐标为.‎ 考点3 椭圆参数方程的应用 ‎【3-1】【2018山西联考】在平面直角坐标系中，曲线 (为参数)，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）分别求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若分别为曲线上的动点，求的最大值.‎ 理数试题 ‎（2）设 则到曲线的圆心的距离 ‎∵，∴当时， 有最大值.‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【3-2】【2018湖北华中师范大学模拟】在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求曲线上的点到直线的最大距离，并求出这个点的坐标.‎ ‎【3-3】【2018辽宁庄河市模拟】在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两坐标系中取相同的单位长度，已知曲线的方程为，点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；‎ ‎（2）设为曲线上一动点，以为对角线的矩形的一边平行于极轴，求矩形周长的最小值及此时点的直角坐标.‎ ‎【解析】（1）由， ，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，点的直角坐标为.‎ ‎（2）曲线的参数方程为（为参数， ），∴设，‎ 依题意可得， ，‎ 矩形的周长 当时，周长的最小值为，此时点的直角坐标为.‎ ‎【领悟技法】‎ 一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【2018四川遂宁射洪中学模拟】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为(为参数)，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线、的直线坐标方程；‎ ‎(2)若为上的点，且，垂足为，若的最小值为，求的值.‎ ‎【解析】(1)，利用消参得的直角坐标方程为，‎ ‎，‎ 的直角坐标方程为；‎ ‎(2)设，由点到直线的距离公式得：‎ ‎，，‎ 在，，解得；‎ 在，，解得，‎ 所以或.‎ 考点4 参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎【4-1】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是 (为参数， )，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎ (1)写出的极坐标方程；‎ ‎(2)若为曲线上的两点，且，求的范围.‎ ‎【解析】 (1)曲线的参数方程是化为普通方程即，化为极坐标方程即， .‎ ‎(2)不妨设点的极角为，点的极角为， ，则，所以.‎ ‎【4-2】【2018河北内丘中学模拟】在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.已知直线（为参数）与曲线交于两点，且.‎ ‎（1）若为曲线上任意一点，求的最大值，并求此时点的极坐标；‎ ‎（2）求.‎ ‎【解析】（1）∵， ，‎ ‎∴当时， 取得最大值，此时， 的极坐标为.‎ ‎（2）由，得，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ 将代入并整理得： ，解得，‎ ‎∵，∴由的几何意义得， ， ，‎ 故.‎ ‎【4-3】【2018湖南岳阳市一中模拟】直角坐标系中，直线（为参数），曲线（为参数），以该直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线交曲线于两点，直线交曲线于两点，求的长.‎ ‎（2）直线（为参数），可得普通方程： ，可得极坐标方程：‎ .‎ ‎∴，‎ ，‎ ‎∴.‎ ‎【领悟技法】‎ 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【2018广东深圳南山区摸底】在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.与相交于两点.‎ ‎（1）把和的方程化为直角坐标方程，并求点的直角坐标；‎ ‎（2）若为上的动点，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）.‎ 解得或.‎ ‎（2）设，不妨设，‎ 则 ‎，‎ 所以的取值范围为.‎ 易错试题常警惕 易错典例：已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .‎ 易错分析：由参数方程化为普通方程要注意变化前后的等价性，也就是说要注意参数的取值范围，本题容易出错的地方是不注意参数范围，而导致化为普通方程后变量范围变大而致错。‎ 正确解析：由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.‎ ‎ ‎