数学理·四川省成都市新津中学2017届高三上学期期中考试数学理试卷 Word版含解析 18页

‎2016-2017学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}‎ ‎2．已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）‎ A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位 ‎4．设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎5．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）‎ A． B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）‎ ‎6．若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎7．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=240，则a9﹣a11的值为（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎9．在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎10．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎11．在边长为1的正三角形AOB中，P为边AB上一个动点，则• 的最小值是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　　．‎ ‎14．对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是　　．‎ ‎15．下列命题中，‎ ‎①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；‎ ‎②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；‎ ‎③命题“若sinx≠siny，则x≠y”为真命题；‎ ‎④lgx＞lgy，是x＞y的充要条件．‎ 所有正确命题的序号是　　．‎ ‎16．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1﹣an=2，等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a4+1．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎18．（12分）已知函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；‎ ‎（2）在△ABC中，角B为钝角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（）=，且sinC=sinA，S△ABC=4，求c的值．‎ ‎19．（12分）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．‎ ‎（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；‎ ‎（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（12分）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系和参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市新津中学高三（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2016•湖北模拟）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，‎ 变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，‎ 解得：1＜x＜4，‎ ‎∴B={2，3}，‎ ‎∵A={1，2}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3}，‎ ‎∵集合U={0，1，2，3，4，5}，‎ ‎∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•安徽二模）已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【专题】数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】由复数的除法运算化简复数z，得到对应点的坐标得答案．‎ ‎【解答】解：由，得 ‎=．‎ ‎∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）‎ A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，‎ 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．‎ ‎　‎ ‎4．（2014•天津）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C． D．﹣‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．‎ ‎【解答】解：∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，‎ ‎∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，‎ 由S1，S2，S4成等比数列，得：，‎ 即，解得：．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎5．（2013秋•东莞期末）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（　　）‎ A． B．（1，2） C．（2，3） D．（e，+∞）‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由函数的解析式求得f（2）＜0，f（3）＞0，可得f（2）f（3）＜0，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间．‎ ‎【解答】解：∵函数，‎ ‎∴f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，‎ 故有f（2）f（3）＜0，‎ 根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的大致区间为（2，3），‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•巴中模拟）若||=1，||=2，=，且，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】设与的夹角为θ，0≤θ≤π，由 ，可得 =0，再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=﹣，由此可得 θ 的值．‎ ‎【解答】解：设与的夹角为θ，则0≤θ≤π，∵，∴=0．‎ 再由 =（）•=+=1+1×2×cosθ=0，可得cosθ=﹣，‎ ‎∴θ=，即 θ=120°，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2016•广元二模）函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．‎ ‎【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），‎ ‎∴函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，‎ 当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数图象的识别，常用函数的奇偶性，函数值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（2015春•石景山区期末）在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=240，则a9﹣a11的值为（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由已知和等差数列的性质可得a8，由通项公式化简可得=a8，代入化简可得．‎ ‎【解答】解：由等差数列的性质可得a4+a6+a8+a10+a12=5a8=240，‎ 解得a8=48，设等差数列{an}的公差为d，‎ 则==a8=32‎ 故选C ‎【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（2010•舟山模拟）在△ABC中，cos2=，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）‎ A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 ‎【考点】解三角形．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．‎ ‎【解答】解：∵cos2=，∴=，∴cosB=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=2a2，即a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了三角形的形状判断．考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用．‎ ‎　‎ ‎10．（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ m=0，‎ ‎∵f（x）=2|x|﹣1=，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）单调递增，‎ ‎∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，‎ ‎0＜log23＜log25，‎ ‎∴c＜a＜b，‎ 故选：B ‎【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•新津县校级期中）在边长为1的正三角形AOB中，P为边AB上一个动点，则• 的最小值是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】P为边AB上一个动点，不妨设=λ，（0≤λ≤1），•=﹣λ+λ2=（λ﹣）2﹣，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵P为边AB上一个动点，‎ 不妨设=λ，（0≤λ≤1）‎ ‎∴•=（+）•=（+λ）•λ=λ•+λ2=﹣λ+λ2=（λ﹣）2﹣，‎ 当λ=时，有最小值，即为﹣，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和二次函数的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016•重庆三模）设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，） C．[，+∞） D．（﹣∞，]‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：依题意，存在x∈[1，4]，‎ 使F（x）=f（x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，‎ 当x=1时，使F（1）=≠0；‎ 当x≠1时，解得a=，‎ ‎∴a′==0，‎ 得x=2或x=，（＜1，舍去），‎ x ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，4）‎ a′‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ a ‎↗‎ 最大值 ‎↘‎ ‎∴当x=2时，a最大==，‎ 所以常数a的取值范围是（﹣∞，]，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数零点和利用导数研究最值等有关知识，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（2016秋•新津县校级期中）已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是　﹣1　．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．‎ ‎【分析】化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．‎ ‎【解答】解：tanα=﹣2，‎ 则2sinαcosα﹣cos2α====﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•新津县校级期中）对定义域内的任意实数x都有（其中△x表示自变量的改变量），则a的取值范围是　　．‎ ‎【考点】极限及其运算；导数的概念．‎ ‎【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】根据导数定义得出函数在定义域上单调递增，再由分段函数单调的条件列式计算．‎ ‎【解答】解：根据导数定义，f'（x）=，‎ 所以，f（x）在定义域为单调递增，则f（x）在各分段都为增函数，‎ ‎①当x≥0时，f（x）=ax2+1，要使函数递增，则a＞0，‎ ‎②当x＜0时，f（x）=（a2﹣1）eax，要使函数递增，则或（舍），‎ 综合①②得，a＞1，‎ 又f（x）≥f（x），即1≥a2﹣1，解得a≤，‎ 所以，实数a的取值范围为（1，]，‎ 故答案为：（1，]．‎ ‎【点评】本题主要考查了导数的定义，以及运用导数与单调性间的关系，分段函数单调性的求解，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•新津县校级期中）下列命题中，‎ ‎①对于命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1＞0；‎ ‎②p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件；‎ ‎③命题“若sinx≠siny，则x≠y”为真命题；‎ ‎④lgx＞lgy，是x＞y的充要条件．‎ 所有正确命题的序号是　②③　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】综合题；对应思想；综合法；简易逻辑．‎ ‎【分析】①利用命题的否定即可判断出正误；‎ ‎②利用充分必要条件定义即可判断出；‎ ‎③利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误；‎ ‎④由对数函数的单调性结合充分必要条件的判定方法判断．‎ ‎【解答】解：①命题p：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0，故①错误；‎ ‎②∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，但p不能推q，则￢p⇒￢q，但￢q不能推￢p，‎ ‎∴￢p是￢q的充分不必要条件，故②正确；‎ ‎③命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，故③正确；‎ ‎④由lgx＞lgy，得x＞y，反之，若x＞y，不一定有lgx＞lgy，可能无意义，故④错误．‎ 综上可得：正确命题的序号是②③．‎ 故答案为：②③．‎ ‎【点评】本题考查了简易逻辑的判定、命题的否定及充分必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•盐城一模）已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1，函数g（x）=x2﹣2x+m．如果对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），则实数m的取值范围是　[﹣5，﹣2]　．‎ ‎【考点】指数函数综合题；特称命题．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴f（0）=0，‎ 当x∈（0，2]时，f（x）=2x﹣1∈（0，3]，‎ 则当x∈[﹣2，2]时，f（x）∈[﹣3，3]，‎ 若对于∀x1∈[﹣2，2]，∃x2∈[﹣2，2]，使得g（x2）=f（x1），‎ 则等价为g（x）max≥3且g（x）min≤﹣3，‎ ‎∵g（x）=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，x∈[﹣2，2]，‎ ‎∴g（x）max=g（﹣2）=8+m，g（x）min=g（1）=m﹣1，‎ 则满足8+m≥3且m﹣1≤﹣3，‎ 解得m≥﹣5且m≤﹣2，‎ 故﹣5≤m≤﹣2，‎ 故答案为：[﹣5，﹣2]‎ ‎【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（12分）（2016秋•新津县校级期中）已知数列{an}满足a1=1，an+1﹣an=2，等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a4+1．‎ ‎（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由an+1﹣an=2，数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，由等比数列中公比为q，b4=b1•q3=8，求得q，根据等差和等比数列通项公式即可求得数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（2）由cn=an+bn=2n﹣1+2n﹣1，由等差数列和等比数列前n项和公式，采用分组求和的方法即可求得数列{cn}的前n项和Sn．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：an+1﹣an=2，‎ ‎∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，‎ ‎∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1，‎ ‎∴a4=7，‎ 由等比数列{bn}公比为q，b4=b1•q3=8，‎ ‎∴q3=8，q=2，‎ ‎∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣1；‎ ‎（2）cn=an+bn=2n﹣1+2n﹣1，‎ 数列{cn}的前n项和Sn=+，‎ ‎=2n+n2﹣1，‎ 数列{cn}的前n项和Sn=2n+n2﹣1．‎ ‎【点评】本题考查等差数列和等比数列通项公式及前n项和公式，考查数列的分组求和，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•新津县校级期中）已知函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；‎ ‎（2）在△ABC中，角B为钝角，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f（）=，且sinC=sinA，S△ABC=4，求c的值．‎ ‎【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦定理．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．‎ ‎【分析】（1）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，得出结论．‎ ‎（2）由题意求得，结合＜B＜π，∴求得．利用正弦定理求得c=2a，再利用S△ABC=4，求得c的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2xcos2x+sin22x﹣==，‎ 所以函数f（x）的最小正周期为．‎ 由，解得，‎ 所以函数f（x）的图象的对称中心为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，‎ ‎∵，所以，∴．‎ ‎∵＜B＜π，∴．‎ ‎∵sinC=sinA，∴c=2a．‎ ‎∵，，∴c=4．‎ ‎【点评】本题主要考查二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，正弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016•云南一模）某市教育与环保部门联合组织该市中学参加市中学生环保知识团体竞赛，根据比赛规则，某中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛．‎ ‎（Ⅰ）设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，求事件A的概率P（A）；‎ ‎（Ⅱ）设X为选出的4人中女生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出事件A的概率．‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵中学选拔出8名同学组成参赛队，其中初中学部选出的3名同学有2名女生；‎ 高中学部选出的5名同学有3名女生，竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛，‎ 设“选出的4人中恰有2名女生，而且这2名女生来自同一个学部”为事件A，‎ 由已知，得，‎ 所以事件A的概率为．…‎ ‎（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．‎ 由已知得．…（8分）‎ P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ P（X=4）==，‎ 所以随机变量X的分布列为：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎…（10分）‎ 随机变量X的数学期望．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016•上海）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．‎ ‎（1）直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设b=，若l的斜率存在，且（+）•=0，求l的斜率．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与双曲线的位置关系．‎ ‎【专题】计算题；规律型；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出AB，利用三角形是正三角形，求解b，即可得到双曲线方程．‎ ‎（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A、B坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．‎ ‎【解答】解：（1）双曲线x2﹣=1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，a=1，c2=1+b2，‎ 直线l过F2且与双曲线交于A，B两点，‎ 直线l的倾斜角为，△F1AB是等边三角形，‎ 可得：A（c，b2），可得：，‎ ‎3b4=4（a2+b2），‎ 即3b4﹣4b2﹣4=0，‎ b＞0，解得b2=2．‎ 所求双曲线方程为：x2﹣=1，‎ 其渐近线方程为y=±x．‎ ‎（2）b=，双曲线x2﹣=1，可得F1（﹣2，0），F2（2，0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线的斜率为：k=，‎ 直线l的方程为：y=k（x﹣2），‎ 由题意可得：，消去y可得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，‎ ‎△=36（1+k2）＞0，‎ 可得x1+x2=，‎ 则y1+y2=k（x1+x2﹣4）=k（﹣4）=．‎ ‎=（x1+2，y1），‎ ‎=（x2+2，y2），‎ ‎（+）•=0可得：（x1+x2+4，y1+y2）•（x1﹣x2，y1﹣y2）=0，‎ 可得x1+x2+4+（y1+y2）k=0，‎ 得+4+•k=0‎ 可得：k2=，‎ 解得k=±．‎ l的斜率为：±．‎ ‎【点评】本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2015•甘肃二模）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．‎ ‎（1）求实数a的值；‎ ‎（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；‎ ‎（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【专题】综合题；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义能求出实数a的值．‎ ‎（2）由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．‎ ‎（3）g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣），由此利用构造成法和导数性质能求出g（x1）﹣g（x2）的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x+alnx，‎ ‎∴f′（x）=1+，‎ ‎∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，‎ ‎∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，‎ 解得a=1．‎ ‎（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）=，x＞0，‎ 由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，‎ 即x++1﹣b＜0有解，‎ ‎∵定义域x＞0，‎ ‎∴x+≥2，‎ x+＜b﹣1有解，‎ 只需要x+的最小值小于b﹣1，‎ ‎∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．‎ ‎（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，‎ ‎∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1‎ ‎∴g（x1）﹣g（x2）=ln﹣（﹣）‎ ‎∵0＜x1＜x2，‎ ‎∴设t=，0＜t＜1，‎ 令h（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，‎ 则h′（t）=﹣＜0，‎ ‎∴h（t）在（0，1）上单调递减，‎ 又∵b≥，∴（b﹣1）2≥，‎ ‎∵0＜t＜1，∴4t2﹣17t+4≥0，‎ ‎∴0＜t≤，h（t）≥h（）=﹣2ln2，‎ 故所求的最小值为﹣2ln2．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系和参数方程]‎ ‎22．（10分）（2016秋•新津县校级期中）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．‎ ‎（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【专题】选作题；方程思想；综合法；坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标方程互化方法，求C1的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，圆心到直线的距离d≤r，即可求实数a取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，即ρsinθ+ρcosθ=a，‎ ‎∴C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0；‎ ‎（Ⅱ）曲线C2的参数方程为（θ为参数）．普通方程为（x+1）2+（y+1）2=1，‎ ‎∵C1与C2有两个公共点，‎ ‎∴圆心到直线的距离d=≤1，‎ ‎∴﹣2﹣≤a≤2+．‎ ‎【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．‎