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- 2021-06-22 发布
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课时提升作业(五)
函数的单调性与导数
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.函数y=x+cosx在(-∞,+∞)内是( )
A.增函数 B.减函数
C.有增有减 D.不能确定
【解析】选A.因为y′=1-sinx≥0恒成立,故选A.
2.函数y=x3-x导数的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)
B.(-∞,-1)
C.
D.和
【解析】选A.由y=x3-x得y′=3x2-1,令g(x)=3x2-1,则g′(x)=6x.
由6x>0得x>0,所以函数g(x)=3x2-1的递增区间为(0,+∞).
3.函数y=ax2+c在区间(0,+∞)内单调递增,则a和c应满足( )
A.a<0,且c=0 B.a>0,且c是任意实数
C.a<0,且c≠0 D.a<0,且c是任意实数
【解析】选B.因为y′=2ax,且函数y=ax2+c在(0,+∞)上单调递增,所以2ax>0,所以a>0且c∈R.
【变式训练】函数y=ax3-x在R上是减函数,则( )
A.a≥ B.a=1 C.a=2 D.a≤0
【解析】选D.因为y′=3ax2-1,函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,所以
y′=3ax2-1≤0恒成立,当x=0时,3ax2≤1恒成立,此时a∈R;
当x≠0时,若a≤恒成立,则a≤0.综上可得a≤0.
4.(2014·深圳高二检测)如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象,则下面判断正确的是( )
A.在区间(-2,1)上f(x)是增函数
B.在区间(1,3)上f(x)是减函数
C.在区间(4,5)上f(x)是增函数
D.在区间(3,5)上f(x)是增函数
【解析】选C.由图象可知,在区间(4,5)上,f′(x)>0,所以f(x)在(4,5)上是增函数,故选C.
5.对于R上可导的任意函数,若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)>2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)≤2f(1)
【解析】选C.x≥1时f′(x)≥0;x≤1时f′(x)≤0.所以f(1)最小,f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),故选C.
6.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为( )
A. B.(-∞,-1)
C. D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
【解析】选B.令t=x2-x-2,
t′=2x-1<0,x<,
又因为x2-x-2>0,x>2或x<-1,
y=lnt是增函数.
综上可知,y=ln(x2-x-2)的递减区间为(-∞,-1).
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.函数f(x)=x-sinx,x∈[0,2π],则其单调递增区间为__________.
【解析】令f′(x)=-cosx>0,则cosx<,其单调递增区间为.
答案:
8.若函数f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数p的取值范围是__________.
【解题指南】可求出函数的导数,令导数在(1,+∞)上大于等于0恒成立即可得到参数p满足的不等式,解出其范围即可.
【解析】由题意,f′(x)=1+,由于函数在(1,+∞)上是增函数,所以f′(x)=1+≥0在(1,+∞)上恒成立且不恒为0,故有≥-1在(1,+∞)上恒成立,即p≥-x2在(1,+∞)上恒成立,所以p≥-1.
答案:p≥-1
9.函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),则f(x)的单调递增区间为________.
【解题指南】解答本题可由单调递减区间求出a的值,进而再求f(x)的单调递增区间.
【解析】f′(x)=3x2+a,又(-5,5)是f(x)的减区间,所以-5,5是方程3x2
+a=0的根,故a=-75.此时f′(x)=3x2-75,令f′(x)>0,则3x2-75>0,解得x<-5或x>5.
答案:(-∞,-5)和(5,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件:
①f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数;
②f(x)的导函数是偶函数;
③f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.
求函数y=f(x)的解析式.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,
因为f(x)在(-∞,-1)上是增函数,在(-1,0)上是减函数,
所以f′(-1)=3a-2b+c=0. ①
由f(x)的导函数是偶函数得:b=0, ②
又f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直,所以f′(0)=c=-1,
③
由①②③得:a=,b=0,c=-1,即f(x)=x3-x+3.
11.(2014·北京高二检测)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).
(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.
(2)求f(x)的单调区间.
【解题指南】(1)求出f′(1),再代入点斜式方程即可得到切线方程.(2)由k讨论f′(x)的正负,从而确定单调区间.
【解析】(1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,
f′(x)=-1+2x,
由于f(1)=ln2,f′(1)=,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-ln2=(x-1),
即3x-2y+2ln2-3=0.
(2)f′(x)=-1+kx=,x∈(-1,+∞).
当k=0时,f′(x)=-.
所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;
在区间(0,+∞)上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞).
当00,
所以,在区间(-1,0)和上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和,单调递减区间是.
当k=1时,f′(x)=,
故f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).
当k>1时,f′(x)==0,
得x1=∈(-1,0),x2=0.
所以在区间和(0,+∞)上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是和(0,+∞),单调递减区间是.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2014·青岛高二检测)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
【解析】选C.由函数y=xf′(x)的图象可知,当x<-1时,xf′(x)<0,所以
f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,-1)上是增函数,同理可得f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
2.函数f(x)=-(af(b)
D.f(a),f(b)大小关系不能确定
【解析】选C.f′(x)=-=<0时x<1,
所以f(x)在(-∞,1)上为减函数,又a0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的( )
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】求出导数,由题意求出a的范围,利用充要条件的判断方法,判断即可.
【解析】选B.函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数,所以f′(x)=3x2+a≥0,所以a≥0,显然,若a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数,若a=0函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数,所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0,+∞)上是增函数”的充分而不必要条件.故选B.
4.(2014·德州高二检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(2)=0,当x>0时有<0,则不等式x2·f(x)>0的解集是( )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-2,0)∪(0,2) D.(-2,2)∪(2,+∞)
【解题指南】首先根据商函数求导法则,把<0化为′<0;然后利用导函数的正负性,可判断函数y=在(0,+∞)内单调递减;再由f(2)=0,易得f(x)在(0,+∞)内的正负性;最后结合奇函数的图象特征,可得f(x)在(-∞,0)内的正负性.则x2f(x)>0⇔f(x)>0的解集即可求得.
【解析】选B.因为当x>0时,有<0恒成立,即′<0恒成立,所以函数y=在(0,+∞)内单调递减.
因为f(2)=0,所以在(0,2)内恒有f(x)>0;在(2,+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以在(-∞,-2)内恒有f(x)>0;在(-2,0)内恒有f(x)<0.又不等式x2f(x)>0的解集,即不等式f(x)>0的解集.所以答案为
(-∞,-2)∪(0,2).故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a∈R),且f(x)在[-3,-2)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
【解析】求导函数,可得f′(x)=2ax-,
由题意得f′(x)≥0对一切x∈[-3,-2)恒成立,
所以a≤=,
当x∈[-3,-2)时,-+<-6,
所以>-.
故a≤-.
答案:
【拓展延伸】求参数取值范围的注意点
(1)在某个区间上f′(x)>0(或f′(x)<0),则f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的).
(2)由f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的)仅仅得到f′(x)>0(或
f′(x)<0)是不全面的,即还有可能f′(x)=0,也能使得f(x)在这个区间上具有单调性.
6.函数f(x)=的单调递减区间是________.
【解析】函数的定义域为{x|x≠2}.
f′(x)==,
令f′(x)<0,解得x<3,且x≠2,所以递减区间为(-∞,2)和(2,3).
答案:(-∞,2)和(2,3)
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.求函数f(x)=x+(a>0)的单调区间.
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.
当a>0时,f′(x)=1-=,
令f′(x)>0,解得x<-或x>.
令f′(x)<0,解得-0”这个条件,该如何解答?
【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.
当a>0时,f′(x)=1-=.
令f′(x)>0,解得x<-或x>.
令f′(x)<0,解得-0恒成立,所以函数f(x)只有增区间(-∞,0)和(0,
+∞).
综上,当a>0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,-)和(,+∞);递减区间是(-,0)和(0,);
当a≤0时,函数f(x)的递增区间是(-∞,0)和(0,+∞).
8.(2013·湖南高考)已知函数f(x)=ex.
(1)求f(x)的单调区间.
(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.
【解题指南】第(1)小题解题依据是在定义域下不等式f′(x)>0的解集是原函数的增区间,不等式f′(x)<0的解集是原函数的减区间.第(2)小题首先要确定在什么范围下f(x1)=f(x2),然后再构造新函数利用单调性去证明.
【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),
f′(x)=′ex+ex
=ex
=ex.
当x<0时,f′(x)>0;
当x>0时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为(-∞,0),
单调递减区间为(0,+∞).
(2)当x<1时,由于>0,ex>0,故f(x)>0;
同理,当x>1时,f(x)<0.
当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,不妨设x1