数学文卷·2017届四川省遂宁市高三三诊考试（2017 13页

遂宁市高中2017届三诊考试 数学（文科）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．若集合，，则为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎2．复数在复平面内对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3. 已知向量，的夹角为，且，，则 A． B． C． D． ‎ ‎4．我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如下图所示（单位：寸），若取3，且图中的为（寸）．则其体积为 A．立方寸 ‎ B．立方寸 ‎ C．立方寸 ‎ D．立方寸 ‎5．已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数 A. 2 B. ‎ C. 或2 D. 1‎ ‎6．表面积为24的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．函数的部分图象如图所示，‎ 则其在区间上的单调递减区间是 A．和 ‎ B．和 ‎ C．和 ‎ D．和 ‎8．某程序框图如图所示，若该程序运行 后输出的值是，则整数的值为 A．　‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎9. 已知，‎ 则的值是 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知函数，在定义域内任取一点，使的概率是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知直线过椭圆：的左焦点且交椭圆于、 两点。为坐标原点，若，则点到直线的距离为 A． B．2 C． D．‎ ‎12. 已知函数的导函数,且,（其中为自然对数的底数）．若,使得不等式成立,则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 函数的值域是 ▲ ‎ ‎14. 已知实数满足，则的最小值为 ▲ ‎ ‎15. 在△中，，若△的面积等于，‎ 则边长为 ▲ ‎ ‎16. 已知函数的图象上存在不同的两点,‎ 使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围 是 ▲ ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 等比数列的各项均为正数，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列 的前项和.‎ ‎▲‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1‎ 中，AB=BC=BB1， ，‎ D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；‎ ‎ （1）求证：BD⊥平面；‎ ‎（2）若且，求三棱锥A-BCB1的体积．‎ ‎▲‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的. [附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]‎ ‎（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;‎ ‎（2）试估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);‎ ‎（3）该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:‎ 广告投入(单位:万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益(单位:万元)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 由表中的数据显示,与之间存在着线性相关关系,请将（2）的结果填入空白栏,并求出关于的回归直线方程.‎ ‎▲‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知点是拋物线的焦点, 若点在上, 且.‎ ‎（1）求拋物线的方程;‎ ‎（2）若直线经过点且与交于(异于)两点, 证明: 直线与直线的斜率之积为常数.‎ ‎▲‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知，设函数.‎ ‎（1）当时，求的极值点；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（3）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.‎ ‎▲‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，已知直线的参数方程为，（为参数），曲线的普通方程为，点的极坐标为．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若将直线向右平移2个单位得到直线，设与相交于两点，求的面积．‎ ‎▲‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设.‎ ‎（1）当时，求的解集；‎ ‎（2）当时，若不等式对任意实数 恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎▲‎ 遂宁市高中2017届三诊考试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12×5=60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C C D B B A D C A B 二、填空题（45=20分）‎ ‎13. 14. -16 15. 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）设数列的公比为，由，所以，由条件可知，故； ………………2分 由，所以， ………………4分 故数列的通项公式为 ………………6分 ‎（2）‎ ‎ ………………9分 ‎∴‎ ‎∴数列的前项和 ………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）连结ED， ………………1分 ‎∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，‎ ‎∴B1C∥ED， ………………3分 ‎∵E为AB1中点，∴D为AC中点， ‎ ‎∵AB=BC， ∴BD⊥AC①， ………………4分 ‎【法一】：由A1A⊥平面ABC，平面ABC，得A1A⊥BD②，‎ 由①②及A1A、AC是平面内的两条相交直线，‎ 得BD⊥平面. ………………6分 ‎【法二】:由A1A⊥平面ABC，A1A平面 ‎∴平面⊥平面ABC ，又平面平面ABC=AC，得BD⊥平面. ………………6分 ‎（2）由得BC=BB1=1，‎ 由（1）知，又得, ………………8分 ‎∵，∴， ………………10分 ‎∴ ………………12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（1）设各小长方形的宽度为,由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1,可知,故，即图中各小长方形的宽度为2. ……………3分 ‎（2）由（1）知各小组依次是,‎ 其中点分别为,‎ 对应的频率分别为,‎ 故可估计平均值为.‎ ‎ ………………7分 ‎（3）由（2）可知空白栏中填5. ‎ 由题意可知, ，‎ ‎,‎ ‎,‎ 根据公式,可求得 ………………10分 ‎, ………………11分 所以所求的回归直线方程为. ………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）由抛物线定义知,则,解得,又点在上, 代入,得,解得 ‎ 所以 ………………4分 ‎（2）由（1）得,‎ 当直线经过点且垂直于轴时, 此时,‎ 则直线的斜率,直线的斜率,所以 ‎. ………………6分 当直线不垂直于轴时, ,设直线的斜率为,且经过，则直线方程为：，带入，得：， ………………7分 设, ………………9分 则直线的斜率,‎ 同理直线的斜率，‎ 综上, 直线与直线的斜率之积为 ………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，，∴，令，则，当时，；当时，，所以是的极小值点，无极大值点。 ………………3分 ‎（2）， ………………4分 ‎①当时，在， 上单调递增；在上单调递减，‎ ‎②当时，在上单调递增.‎ ‎③当时，在， 上单调递增；在上单调递减 ‎④当时，在上单调递增，在上单调递减. ………………8分 ‎（3）∵，。由得 对任意恒成立，即 对任意恒成立. ‎ 令，，根据题意，可以知道的最大值为1，则恒成立. ………………10分 由于，则.‎ 当时，，令，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，则，∴在 上单调递增.‎ 从而，满足条件，故的取值范围是.……………12分 请考生在第22、23、二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ ‎【解析】（1）根据题意，直线的普通方程为， ………………2分 曲线的极坐标方程为 ………………5分 ‎（2）的普通方程为，所以其极坐标方程为，所以，故， ………………7分 因为，所以点到直线的距离为，所以 ‎ ………………10分 ‎23．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）当时，，所以由得：‎ 或或 解得 ‎∴的解集为. ………………5分 ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号. ………………7分 由不等式对任意实数恒成立，由于，可得，解得：或.‎ 故实数的取值范围是 ………………10分