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- 2021-06-22 发布
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专题08 不等式(讲)
1.【2019年高考全国II卷理数】若a>b,则( )
A.ln(a−b)>0 B.3a<3b
C.a3−b3>0 D.│a│>│b│
【答案】C
【解析】取,满足,,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C.
【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义,渗透了逻辑推理和运算能力素养,利用特殊值排除即可判断.
2.【2019年高考天津卷理数】设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )
A.2 B.3
C.5 D.6
【答案】D
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.
目标函数的几何意义是直线在轴上的截距,
故目标函数在点处取得最大值.由,
得,所以.故选C.
【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值或范围.即:一画,二移,三求.
3.【2019年高考天津卷理数】设,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】方法一:.
因为,所以,
即,当且仅当时取等号成立.
又因为,当且仅当,即时取等号,结合可知,可以取到3,故的最小值为.
方法二:
.
当且仅当时等号成立,故的最小值为.
【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立.
4【2019年高考天津卷理数】设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式,可知 推不出,由能推出,
故“”是“”的必要不充分条件,故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件,解题关键是化简不等式,由集合的关系来判断条件.
一、考向分析:
不等式
一元二次不等式
导数与不等式恒成立
数列与不等式证明
基本不等式
线性规划
二、考向讲解
考查内容
解 题 技 巧
一元二次
不等式
1、含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论
(1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论。
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式。
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集。
2、一元二次不等式恒成立问题求解思路
(1)一元二次不等式在R上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解。
(2)一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围。
线性规划
1.求目标函数的最值3步骤:①作图;②平移;③求值。
2.常见的3类目标函数
(1)截距型:形如z=ax+by。求这类目标函数的最值常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值。
(2)距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2。
(3)斜率型:形如z=。
导数与不等式恒成立
1、含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法
(1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max。
(2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min。
(3)任意x1∈A,x2∈B,使f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)max。
(4)存在x1∈A,x2∈B,使f(x1)≤g(x2),则f(x)min≤g(x)max。
2、利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围。恒成立问题的求解方法:a≥f(x)在x∈D上恒成立,则a≥f(x)max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立,则a≤f(x)min。
基本不
等式
1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”。所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件。
2.在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式。
3、条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解。
4、基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是:
(1)先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点。
(2)用基本不等式求最值,要有用基本不等式求最值的意识。
(3)检验。检验等号是否成立,完成后续问题。
数列与不
1.两平面向量共线的充要条件有两种形式
①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;②a∥b(b≠0)⇔a=λb。
等式证明
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数。当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解。
考查一元二次不等式解法:
【例1】已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b=( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
【解析】由题意得,A={x|-11。
若a<0,原不等式等价于(x-1)>0,解得x<或x>1。
若a>0,原不等式等价于(x-1)<0。
① 当a=1时,=1,(x-1)<0无解; ②当a>1时,<1,解(x-1)<0,得1,解(x-1)<0,得11};
当01时,解集为。
考查一元二次不等式恒成立:
【典例1】已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-) B.(-,0) C.(-∞,0)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞)
【答案】A
【解析】因为f(x)在R上为奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,所以f(x)在R上是增函数,结合题意得-4t>2m+mt2对任意实数t恒成立⇒mt2+4t+2m<0对任意实数t恒成立⇒⇒m∈(-∞,-)。
【典例2】设函数f(x)=mx2-mx-1。若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围。
【答案】{m|m<}。
【解析】要使f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m2m-6<0在x∈[1,3]上恒成立。
令g(x)=m2+m-6,x∈[1,3],当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)⇒
7m-6<0,所以m<,所以00,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2 +3
=-2+3=1。当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立。故f(x)=4x-2+的最大值为1。
考查线性规划:
【例1】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
(A)6 (B)19 (C)21 (D)45
【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义
可知目标函数在点处取得最大值,联立直线方程:,可得点的
坐标为,据此可知.故选C.
【例2】某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )
A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
【答案】D
【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨,则利润
,由题意可列,其表示如图阴影部分区域:
当直线过点时,取得最大值,所以
,故选D.
考查数列与不等式:
【例1】已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且Sn,an,成等差数列。
(1)求数列{an}的通项公式,(2)若bn=log2an+2,设数列的前n项和为Tn,证明≤Tn<1。
【解析】 (1)由题意Sn,an,成等差数列,2an=Sn+,
当n=1时,2a1=S1+,所以a1=,当n≥2时,Sn=2an-,Sn-1=2an-1-。
两式相减得an=2an-2an-1,所以an=2an-1。 由{an}为正项数列,an≠0,所以=2(n≥2),
因此数列{an}是以为首项,以2为公比的等比数列,即an=2n-2。
(2)证明:bn=log2an+2=log22n-2+2=n,=-,
则Tn=1-+-+…+-=1-。因为≤1-<1,所以≤Tn<1。
考查导数与不等式:
【例1】已知函数,证明:当时,.
【证明】由题意:原不等式等价于:恒成立;令,
∴,,∵,∴恒成立,∴在上单调递增,∴在上存在唯一使,∴,即,且在上单调递减,在上单调递增,∴.
又,,
∵,∴,∴,∴,综上所述:当时,.
【例2】已知函数,若,证明:当时,;当时,;
【证明】当时,,
∴.
令,∴.
∴当时,,在上递增,当时,,在上递减.
∴,∴恒成立,∴在上单调递增,
又,∴当时,;当时,.
不等式恒成立问题
分离参数求参数取值范围
【例1】已知函数f(x)=ex+ax2-e2x。若x>0时,总有f(x)>-e2x,求实数a的取值范围。
【解析】由f(x)>-e2x得a>-。设g(x)=-,x>0,则g′(x)=。所以当x∈(0,2)时,g′(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增;当x∈(2,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上单调递减。所以g(x)≤g(2)=-。因此,a的取值范围是。
小结:利用导数研究含参数的不等式问题,若能够分离参数,则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式,通过求函数y=f(x)的最值求得参数范围。恒成立问题的求解方法:a≥f(x)在x∈D上恒成立,则a≥f(x)max(x∈D);a≤f(x)在x∈D上恒成立,则a≤f(x)min。
转化法求参数范围
【例2】设函数f(x)=a2lnx+ax(a≠0),g(x)=2tdt,F(x)=g(x)-f(x)。
(1)试讨论F(x)的单调性。(2)当a>0时,-e2≤F(x)≤1-e在x∈[1,e]恒成立,求实数a的取值。
【解析】(1)由题意得:g(x)=2tdt=x2,所以F(x)=g(x)-f(x)=x2-a2lnx-ax(x>0),
F′(x)=2x--a=,
a>0时,x∈(0,a)时,F′(x)<0,x∈(a,+∞)时,F′(x)>0,
所以函数F(x)在(0,a)单调递减,在区间(a,+∞)单调递增;
a<0时,x∈时,F′(x)<0,x∈时,F′(x)>0,
所以函数F(x)在区间单调递减,在单调递增,
综上,a>0时,函数F(x)在区间(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增;
a<0时,函数F(x)在区间单调递减,在区间单调递增。
(2)由题意得F(1)=g(1)-f(1)=1-a≤1-e,即a≥e,当a>0时,由(1)得F(x)在[1,e]内单调递减,
故要使-e2≤F(x)≤1-e在x∈[1,e]恒成立,只需即即即a=e。
小结:破解此类题需“一形一分类”,“一形”是指会结合函数的图象,对函数进行求导,然后判断其极值,从而得到含有参数的方程组,解方程组,即可求出参数的值;“一分类”是指对不等式恒成立问题,常需对参数进行分类讨论,求出参数的取值范围。
不等式能成立问题
含参数的能成立(存在型)问题
【例1】已知函数f(x)=x3-ax2+10。
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程。
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<0成立,求实数a的取值范围。
【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+10,所以f′(x)=3x2-2x。所以k=f′(2)=8。
又f(2)=14,所以切线方程为y=8x-2。
(2)由已知得:a>=x+,设g(x)=x+(1≤x≤2),则g′(x)=1-,因为1≤x≤2,
所以g′(x)<0。所以g(x)在[1,2]上是减函数,所以g(x)min=g(2)=,a>,
即a的取值范围是。
小结:含参数的能成立(存在型)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min; (2)a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max。
含有全称量词与存在量词的不等式问题
【例2】已知函数f(x)=lnx-mx(m∈R),g(x)=x-(a>0)。
(1)求函数f(x)的单调区间。
(2)若m=,对∀x1,x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立,求实数a的取值范围。
【解析】(1)f(x)=lnx-mx,x>0,所以f′(x)=-m,
当m≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增。
当m>0时,由f′(x)=0得x=;由得0。
综上所述,当m≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当m>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为。
(2)若m=,则f(x)=lnx-x。对∀x1,x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立,等价于对∀x∈[2,2e2]都有g(x)min≥f(x)max,由(1)知在[2,2e2]上f(x)的最大值为f(e2)=,g′(x)=1+>0(a>0),x∈[2,2e2],函数g(x)在[2,2e2]上是增函数,g(x)min=g(2)=2-,由2-≥,得a≤3,又a>0,所以a∈(0,3],即实数a的取值范围是(0,3]。
小结:含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法
1.存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max。
2.任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min。
3.任意x1∈A,x2∈B,使f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥g(x)max。
4.存在x1∈A,x2∈B,使f(x1)≤g(x2),则f(x)min≤g(x)max。