高中数学：第一章《计数原理》测试（1）（新人教A版选修2-3） 5页

第1章《计数原理》‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数(　　)‎ A．40 B．74‎ C．84 D．200‎ 解析：　分三类：‎ 第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个，‎ 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个，‎ 第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个，‎ 由分类加法计数原理得C‎53C43＋C‎54C42＋C‎55C41＝74.‎ 答案：　B ‎2．在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)‎ A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 解析：　Tr＋1＝C24r24－rr＝C24rx12－r，所求x的幂指数是整数的项必须满足r为整数且0≤r≤24，故r＝0,6,12,18,24，所求项共有5项．‎ 答案：　C ‎3．某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 节目 如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有(　　)‎ A．144种 B．192种 C．96种 D．72种 解析：　第一步，将C、D、E、F全排，共有A44种排法，产生5个空，‎ 第二步，将A、B捆绑有2种方法，‎ 第三步，将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C31种，所以一共有144种方法．‎ 答案：　A ‎4．若(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为(　　)‎ A．2 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：　(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)＝(2＋)4×(－2＋)4＝1.‎ 答案：　D ‎5．用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同涂法有(　　)‎ A B C D A.72种 B．48种 C．24种 D．12种 解析：　涂A共4种涂法，则B有3种涂法，C有2种涂法，D有3种涂法．‎ ‎∴共有4×3×2×3＝72种涂法．‎ 答案：　A ‎6．有两排座位，前排11个座位，后排10个座位．现安排2人就坐，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是(　　)‎ A．234 B．276‎ C．350 D．363‎ 解析：　采用间接法：因为前排中间的3个座位不能坐，所以共有A182＝306种不同的坐法，其中2人左右相邻的坐法有15×A22＝30种不同的坐法．‎ ‎∴不同排法的种数是306－30＝276种．‎ 答案：　B ‎7．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析：　注意到二项式(1＋3x)n的展开式的通项是Tr＋1＝Cnr1n－r·(3x)r＝Cnr·3r·xr，于是依题意有Cn5·35＝Cn6·36，‎ 即 ‎＝3×(n≥6)，‎ 由此解得n＝7.‎ 答案：　B ‎8．在(1＋x)n的展开式中，奇数项之和为p，偶数项之和为q，则(1－x2)n等于(　　)‎ A．0 B．pq C．p2－q2 D．p2＋q2‎ 解析：　由于(1＋x)n与(1－x)n展开式中奇数项相同，偶数项互为相反数，因此(1－x)n＝p－q，所以(1－x2)n＝(1－x)n(1＋x)n＝(p＋q)(p－q)＝p2－q2.‎ 答案：　C ‎9．直线l1∥l2，l1上有4个点，l2上有6个点，以这些点为端点连成线段，他们在l1与l2之间最多的交点个数是(　　)‎ A．24 B．45‎ C．80 D．90‎ 解析：　因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为C‎42C62＝90，又因为每一个四边形的对角线有1个交点，故交点的个数最多为90个．‎ 答案：　D ‎10．若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于(　　)‎ A．4 B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：　展开式通项为Tk＋1＝Cnk(2x)n－kk ‎＝(－1)k2n－kCnk·xn－2k.‎ 选项A中若n＝4，k＝4，则Tk＋1＝(－1)k·24－kC4kx4－2k，‎ 当4－2k＝－2时，k＝3，当4－2k＝－4时，k＝4，则T4＝(－1)3·24－‎3C43x－2＝－8x－2，T5＝(－1)‎420C44x－4＝x－4，此时系数比不是－5.‎ 选项B中若n＝6，则Tk＋1＝(－1)k26－kC6kx6－2k，当6－2k＝－2时，k＝4，当6－2k＝－4时，k＝5，则T5＝(－1)4·‎22C64x－2＝60x－2，T6＝(－1)‎521C65x－4＝－12x－4，此时系数比为－5，所以B正确，同理可以验证C、D选项不正确．‎ 答案：　B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝‎4A，则a的值是________．‎ 解析：　6展开式的通项为 Tr＋1＝C6rx6－rr＝(－a)rC6rx6－ 当r＝2时，x3的系数A＝(－a)‎2C62＝‎15a2，‎ 当r＝4时，常数项B＝(－a)‎4C64＝‎15a4，‎ ‎∵B＝‎4A，得‎15a4＝4×‎15a2，∵a＞0，得a＝2.‎ 答案：　2‎ ‎12．在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个．‎ 解析：　所有由0,1,2,3,4,5组成的4位数，共有A51·A53＝300个，末尾为0的有A53＝60个，末尾为5的有A41·A42＝48(个)．‎ 故满足题意的数共有300－60－48＝192(个)．‎ 答案：　192‎ ‎13．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中，最短路径有________条．‎ 解析：　把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C73＝35.‎ 答案：　35‎ ‎14．(x＋1)3＋(x－2)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8则a6＝________.‎ 解析：　∵(x＋1)3＋(x－2)8＝[(x－1)＋2]3＋[(x－1)－1]8‎ ‎∴a6(x－1)6＝C82(x－1)6(－1)2＝28(x－1)6‎ ‎∴a6＝28.‎ 答案：　28‎ 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15．(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学代会．‎ ‎(1)若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？‎ ‎(2)若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？‎ 解析：　(1)选出1名代表，可以选男生，也可以选女生，因此完成“选1名代表”这件事分2类：‎ 第1类，从男生中选出1名代表，有28种不同方法；‎ 第2类，从女生中选出1名代表，有20种不同方法．‎ 根据分类加法计数原理，共有28＋20＝48种不同的选法．‎ ‎(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事，可以分2步完成：‎ 第1步，选1名男生代表，有28种不同方法；‎ 第2步，选1名女生代表，有20种不同方法．‎ 根据分步乘法计数原理，共有28×20＝560种不同的选法．‎ ‎16．(本小题满分12分)若n的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3，求展开式中的常数项．‎ 解析：　由题意有Cn4∶Cn2＝14∶3，‎ 解得n＝10(n＝－5舍去)‎ Tr＋1＝C10r()10－rr ‎＝C10rxrx－2r ‎＝rC10rx－2r，‎ 令－2r＝0，∴r＝2.‎ ‎∴常数项为‎2C102＝5.‎ ‎17．(本小题满分12分)有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．‎ ‎(1)如果每人得两本，有多少种不同的分法？‎ ‎(2)如果一个人得1本，一个人得2本，一个人得3本，有多少种不同的分法？‎ ‎(3)如果把这6本书分成三堆，每堆两本有多少种不同分法？‎ 解析：　(1)假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有C62＝15种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有C42＝6种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有C22＝1种方法，由分步乘法计数原理得一共有C62·C42·C22＝90种不同分法．‎ ‎(2)先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本，则有C‎61C52C33种方法，一共有C‎61C52C33A33＝6×10×6＝360种不同分法．‎ ‎(3)把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关．所以一共有＝15种不同分法．‎ ‎18．(本小题满分14分)若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.‎ ‎(1)求a2；‎ ‎(2)求a1＋a2＋…＋a10；‎ ‎(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.‎ 解析：　(1)方法一：(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，‎ ‎(x－1)5展开式的通项公式为 C5r·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)；‎ ‎(x－2)5展开式的通项公式为 C5s·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，‎ 所以(x2－3x＋2)5展开式的通项公式为 C5r·C5s·(－1)r＋s·2s·x10－r－s，‎ 令r＋s＝8，得或或.‎ 所以展开式中x2的系数为 C‎53C5525＋C‎54C5424＋C‎55C5323＝800，即a2＝800.‎ 方法二：(x2－3x＋2)5的本质是5个x2－3x＋2相乘，由多项式的乘法法则，产生含x2的项有两种可能：‎ ‎① 5个x2－3x＋2中有一个取含x2的项，其他的取常数项，得到的系数是C51·24＝80；‎ ‎② 5个x2－3x＋2中有两个取x的项，其他的取常数项，得到的系数是C52·(－3)2·23＝720，‎ ‎∴展开式中含x2的项的系数是80＋720＝800，‎ 即a2＝800.‎ ‎(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5‎ ‎＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，‎ a0＝f(0)＝25＝32，‎ a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.‎ ‎(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2‎ ‎＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－…＋a10)‎ ‎＝f(1)·f(－1)＝0.‎