2017-2018学年甘肃省嘉峪关市一中高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 8页

嘉峪关市一中2017-2018学年第一学期期末考试 高二数学(理科)试题 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤‎0”‎的否定是(　　)‎ A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0‎ C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0‎ ‎2．抛物线x2＝y的焦点到准线的距离是(　　)‎ A．2 B．1 C． D． ‎3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则实数a等于(　　)‎ A．2 B． C．－ D．－2‎ ‎4．“x>‎0”‎是“>‎0”‎成立的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 ‎5.如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎6．若命题“∃x0∈R，使得x＋mx0＋‎2m－3<‎0”‎为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[2,6] B．[－6，－2] C．(2,6) D．(－6，－2)‎ ‎7．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为(　　)‎ A．30° B．120° C．60° D．90°‎ ‎8．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于 ‎，则该双曲线的方程为(　　)‎ A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．x2－y2＝1 D．－＝1‎ ‎9．若双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝(　　)‎ A. B．2 C．3 D．6‎ ‎10．函数y＝xex的单调递增区间是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．(－∞，1]‎ ‎11．已知抛物线y2＝2px(p>0)与椭圆＋＝1有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B．－1 C．＋1 D． ‎12．已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝()x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[，＋∞) B．(－∞，] C．[，＋∞) D．(－∞，－]‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．“tanθ≠‎1”‎是“θ≠”的________条件．‎ ‎14．已知曲线y＝－x3＋2与曲线y＝4x2－1在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为________．‎ ‎15．已知正方形ABCD，则以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的离心率为________．‎ ‎16．已知以y＝±x为渐近线的双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线D右支上任意一点，则的取值范围是________．‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线的离心率，若是真命题，求实数的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)讨论轨迹C的形状．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面ACM；‎ ‎(2)证明：AD⊥平面PAC；‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－，0)，B(，0)，点C在x轴上方．‎ ‎(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；‎ ‎(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 如图所示，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面边长是2，侧棱长是，D是AC的中点．‎ ‎(1)求证：B‎1C∥平面A1BD；‎ ‎(2)求二面角A1－BD－A的大小；‎ ‎(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．‎ ‎22．(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝x2－mlnx．‎ ‎(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是单调递增的，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．‎ ‎1C ‎2D ‎3D ‎4A ‎5C ‎6A ‎7D ‎8B ‎9A ‎10A ‎11B ‎12A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．充分不必要 14． 15．－1 16． 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：双曲线 的离心率，若是真命题，求实数的取值范围．‎ 解：将方程改写为，只有当，即时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，所以命题等价于；‎ 因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题等价于．‎ 或为真，则．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)讨论轨迹C的形状．‎ 答案　(1)x2－＝1(λ≠0，x≠±1)　(2)略 解析　(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ.‎ 整理，得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．‎ ‎(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；‎ ‎②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；‎ ‎③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；‎ ‎④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．‎ ‎(1)证明：PB∥平面ACM；‎ ‎(2)证明：AD⊥平面PAC；‎ ‎(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．‎ 答案　(1)略　(2)略　(3) 解析　(1)连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.‎ ‎(2)因为∠ADC＝45°，且 AD＝AC＝1，‎ 所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，‎ AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.‎ ‎(3)取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝，所以DO＝.从而AN＝DO＝.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝＝＝，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知在△ABC中，点A，B的坐标分别为(－，0)，B(，0)，点C在x轴上方．‎ ‎(1)若点C坐标为(，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程；‎ ‎(2)过点P(m,0)作倾斜角为π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q(1,0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)m＝ 解析　(1)设椭圆方程为＋＝1，c＝，‎2a＝|AC|＋|BC|＝4，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)直线l的方程为y＝－(x－m)，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程解得3x2－4mx＋‎2m2‎－4＝0.‎ ‎∴若Q恰在以MN为直径的圆上，‎ 则·＝－1，即m2＋1－(m＋1)(x1＋x2)＋2x1x2＝0,‎3m2‎－‎4m－5＝0，解得m＝.‎ ‎21．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B‎1C1的底面边长是2，侧棱长是 ，D是AC的中点．‎ ‎(1)求证：B‎1C∥平面A1BD；‎ ‎(2)求二面角A1－BD－A的大小；‎ ‎(3)在线段AA1上是否存在一点E，使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由．‎ 答案　(1)略　(2)　(3)存在且AE＝ 解析　(1)如图①所示，连接AB1交A1B于点M，连接B‎1C，DM.‎ 因为三棱柱ABC－A1B‎1C1是正三棱柱，所以四边形AA1B1B是矩形，所以M为AB1的中点．‎ 因为D是AC的中点，所以MD是三角形AB‎1C的中位线，所以MD∥B‎1C.‎ 因为MD⊂平面A1BD，B‎1C⊄平面A1BD，所以B‎1C∥平面A1BD.‎ ‎(2)作CO⊥AB于点O，所以CO⊥平面ABB‎1A1，所以在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中建立如图②所示的空间直角坐标系O－xyz.‎ 因为AB＝2，AA1＝，D是AC的中点，所以A(1,0,0)，B(－1,0,0)，C(0,0，)，A1(1，，0)．‎ 所以D(，0，)，＝(，0，)，＝(2，，0)．‎ 设n＝(x，y，z)是平面A1BD的法向量，‎ 所以即 令x＝－，则y＝2，z＝3.‎ 所以n＝(－，2,3)是平面A1BD的一个法向量．‎ 由题意可知＝(0，，0)是平面ABD的一个法向量，‎ 所以cos〈n，〉＝＝.所以二面角A1－BD－A的大小为.‎ ‎(3)设E(1，y,0)，则＝(1，y－，－)，＝(－1,0，－)．设平面B‎1C1E的法向量n1＝(x1，y1，z1)，‎ 所以即 令z1＝－，则x1＝3，y1＝，所以n1＝(3，，－)．‎ 又n1·n＝0，即－3＋－3＝0，解得y＝.‎ 所以存在点E，使得平面B‎1C1E⊥平面A1BD且AE＝.‎ ‎22．(本题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝x2－mlnx.‎ ‎(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是单调递增的，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)当m＝2时，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值．‎ 答案　(1)m≤　(2)最大值，最小值1－ln2‎ 解析　(1)若函数f(x)在(，＋∞)上是增函数，则f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立．‎ 而f′(x)＝x－，即m≤x2在(，＋∞)上恒成立，即m≤.‎ ‎(2)当m＝2时，f′(x)＝x－＝.‎ 令f′(x)＝0，得x＝±.‎ 当x∈[1，)时，f′(x)<0，当x∈(，e)时，f′(x)>0，故x＝是函数f(x)在[1，e]上唯一的极小值点，故f(x)min＝f()＝1－ln2.又f(1)＝，f(e)＝e2－2＝>，故f(x)max＝.‎