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- 2021-06-22 发布
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云南省师范大学附属中学2017届高三高考适应性月考(五)
文科数学试卷
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.复数,则其共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某班有学生60人,将这60名学生随机编号为1-60号,用系统抽样的方法从中抽出4名学生,已知3号、33号、48号学生在样本中,则样本中另一个学生的编号为( )
A.28 B.23 C.18 D.13
4.已知满足,则目标函数的最小值是( )
A.4 B.6 C. 8 D.10
5.下列说法正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,”的否定是“”
C.命题“若,则”的逆命题为真命题
D.命题“若,则或”为真命题
6.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,即使在现代,它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法,其算法的程序框图如图所示,若输入的分别为,若,根据该算法计算当时多项式的值,则输出的结果为( )
A.248 B.258 C.268 D.278
7.已知函数,则下列说法正确的是( )
A.的图象关于直线对称
B.的周期为
C.若,则
D.在区间上单调递减
8.在棱长为2的正方体中任取一点,则满足的概率为( )
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.8 B. C. D.4
10.已知函数的两个极值点分别为,且
,点表示的平面区域为,若函数的图象经过区域,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.椭圆,为椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点为椭圆上一点,,且成等比数列,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
12.四面体的四个顶点都在球的球面上,,且平面平面,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数,若,则实数的取值范围是 .
14.点是圆上的动点,点,为坐标原点,则面积的最小值是 .
15.已知数列满足,,,则该数列的前20项和为 .
16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为,点关于轴的对称点为,为坐标原点,的内切圆与切于点,点为内切圆上任意一点,则的取值范围为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分12分)
在中,角,,的对边分别为,,,已知.
(1)证明:为钝角三角形;
(2)若的面积为,求的值.
18. (本小题满分12分)
某公司即将推车一款新型智能手机,为了更好地对产品进行宣传,需预估市民购买该款手机是否与年龄有关,现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查,若得分低于60分,说明购买意愿弱;若得分不低于60分,说明购买意愿强,调查结果用茎叶图表示如图所示.
(1)根据茎叶图中的数据完成列联表,并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关?
(2)从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样,共抽取5人,从这5人中随机抽取2人进行采访,求这2人都是年龄大于40岁的概率.
附:.
19. (本小题满分12分)
如图,三棱锥中,平面,,,是
的中点,是的中点,点在上,.
(1)证明:平面;
(2)若,求点到平面的距离.
20. (本小题满分12分)
已知抛物线,圆,圆心到抛物线准线的距离为3,点是抛物线在第一象限上的点,过点作圆的两条切线,分别与轴交于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求面积的最小值.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)若曲线在点处的切线斜率为1,求函数的单调区间;
(2)若时,恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,将曲线(为参数)上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线;以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知点,直线的极坐标方程为,它与曲线的交点为,,与曲线的交点为,求的面积.
23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求的图象与轴围成的三角形面积;
(2)设,若对恒有成立,求实数的取值范围.
云南师大附中2017届高考适应性月考卷(五)
文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10[
11
12
答案
B
C
C
B
D
B
D
A
A
C
D
B
【解析】
1.当时,集合,满足题意;当时,,若,则,∴,所以,故选B.
2.∵,其共轭复数为,对应点为在第三象限,故选C.
3.抽样间隔为15,故另一个学生的编号为3+15=18,故选C.
图1
4.画出可行域如图1所示,当目标函数经过点A(1,3)时,z的值为6;当目标函数经过点B(2,2)时,z的值为8,故选B.
5.选项A:,所以“”是其必要不充分条件;选项B:命题“”的否定是“”;选项C:命题“若,则”的逆命题是“若,则”,当c=0时,不成立;选项D:其逆否命题为“若且,则”为真命题,故原命题为真,故选D.
6.该程序框图是计算多项式当x=2时的值,故选B.
7.作出函数在区间上的图象,由已知,函数在区间上的解析式为
且是偶函数,画出图象可知,故选D.
8.以AB为直径作球,球在正方体内部的区域体积为,正方体的体积为8,所以,故选A.
9.由三视图还原出该几何体为长方体切去一部分,如图所示,所以剩余部分体积为,故选A.
10.由,故的两根分别为,由二次方程根的分布得即画出该不等式组所表示的平面区域D,当函数的图象经过点(1,1)时,m=3,因此当时函数图象经过区域D,故选C.
11.设,则,由椭圆定义,
,又∵成等比数列,∴
,∴,∴,整理得,即,故选D.
图3
12.如图,D,E分别为BC,PA的中点,易知球心O点在线段DE上,因为PB=PC=AB=AC,则.又∵平面平面,平面平面=BC,∴平面ABC,∴,∴.因为E点是PA的中点,∴,且DE=EA=PE=4.设球O的半径为R,OE=x,则OD=4−x,在中,有,在中,有,解得,所以,故选B.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
题号
13[
14
15
16
答案
2
1033
【解析】
13.因为,所以函数f(x)为增函数,所以不等式等价于,即,故.
14.因为,直线OQ的方程为y=x,圆心到直线OQ的距离为,所以圆上的动点P到直线OQ的距离的最小值为,所以面积的最小值为.
15.当n为奇数时,,故奇数项是以为首项,公比为2的等比数列,所以前20项中的奇数项和为;当n为偶数时,,前20项中的偶数项和为,所以.
16.因为点在抛物线上,所以,点A到准线的距离为,解得或.当时,,故舍去,所以抛物线方程为∴,所以是正三角形,边长为,其内切圆方程为,如图4,∴.设点(为参数),则,
∴.
图4
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:由正弦定理:,
∴,
∴.
又∵∴,即a+b=2c,a=2b,
所以,所以,
所以A为钝角,故为钝角三角形. ………………………………(6分)
(Ⅱ)解:因为∴.
又∴∴.
又,所以∴. ……………………………(12分)
18.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由茎叶图可得:
购买意愿强
购买意愿弱
合计
20~40岁
20
8
28
大于40岁
10
12
22
合计
30
20
50
由列联表可得:.
所以,没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关. ……………(6分)
(Ⅱ)购买意愿弱的市民共有20人,抽样比例为,
所以年龄在20~40岁的抽取了2人,记为a,b,
年龄大于40岁的抽取了3人,记为A,B,C,
从这5人中随机抽取2人,所有可能的情况为(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种,
其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况,所以概率为. ………………(12分)
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:法一:如图,过点F作FM//PA交AB于点M,
取AC的中点N,连接MN,EN.
∵点E为CD的中点,∴ .
又∴ ,∴ ,
所以四边形MFEN为平行四边形,
∴,∵平面ABC,平面ABC,
∴平面ABC. ………………(6分)
法二:如图,取AD中点G,连接GE,GF,则GE//AC,GF//AB,
因为GE∩GF=G,AC∩AB=A,所以平面GEF//平面ABC,
所以EF//平面ABC. ……………………(6分)
(Ⅱ)解:∵平面ABC,∴.
又
∴平面PAB.
又∴,
∴.
记点P到平面BCD的距离为d,则∴,
∴,
所以,点P到平面BCD的距离为. ……………………(12分)
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)由题知,
所以抛物线方程为:. …………………………(4分)
(Ⅱ)设切线方程为:,令y=0,解得,
所以切线与x轴的交点为,
圆心(2,0)到切线的距离为,
∴,
整理得:.
设两条切线的斜率分别为,
则,
∴
记,则.
∵,∴在上单增,
∴,∴,
∴面积的最小值为. …………………………………………(12分)
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵∴∴,
∴,记∴,
当x<0时, 单减;
当x>0时,单增,
∴,
故恒成立,所以在上单调递增. …………………(4分)
(Ⅱ)∵,令∴,
当时,∴在上单增,∴.
i)当即时,恒成立,即∴在上单增,
∴,所以.
ii)当即时,∵在上单增,且,
当时,,
∴使,即.
当时,,即单减;
当时,,即单增.
∴,
∴,由∴.
记,
∴∴在上单调递增,
∴∴.
综上,. …………………………(12分)
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
解:(Ⅰ)由题意知,曲线的参数方程为(为参数),
∴曲线的普通方程为,
∴曲线的极坐标方程为. ……………………………(4分)
(Ⅱ)设点,的极坐标分别为,,
则由可得的极坐标为.
由可得的极坐标为.
∵,∴,
又到直线的距离为,
∴. ……………………………(10分)
23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
解:(Ⅰ)∵,
∴
∴的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,
∴,
∴的图象与轴围成的三角形面积是. ……………………(5分)
(Ⅱ)∵,,
∴当且仅当时,有最小值.
又由(Ⅰ)可知,对,.
恒有成立,
等价于,,
等价于,即,
∴实数的取值范围是. ………………………………(10分)