数学（文）卷·2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第二次模拟考试（2017 12页

‎2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级 数学文科 试卷 ‎ 时间:120分钟 满分:150分 命题人:庞德艳 校对人:刘芷欣 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎．已知集合则集合中元素个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎．己知，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 2 D. -3‎ ‎3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4． 若将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍，得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．若实数满足，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 在中，，点是边上的动点，且,,，则当取得最大值时，的值为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎7. 在等比数列中，是方程的根，则 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．给出下列4个命题 ‎①“若，则”的否命题是“若，则”；‎ ‎②若命题，则为真命题；‎ ‎③“平面向量夹角为锐角，则”的逆命题为真命题；‎ ‎④“函数有零点”是“函数在上为减函数”的充要条件.‎ 其中正确的命题个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎9．对大于1的自然数 m的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”： ‎ ‎,仿此，若的“分裂数”中有一个是73，则m的值为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎10．已知偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上根的个数是（ ）‎ A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 ‎11．如图,设点是单位圆上的一定点,动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点所旋转过的弧 的长为,弦的长为,则函数的图像大致是( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.‎ ‎13．已知向量，，且，则__________．‎ ‎14．已知,则的最大值为__________．‎ ‎15．如图，四边形中，、分别是以为底的等腰三角形，其中，则_________．‎ ‎ ‎ ‎16．对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时， ，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数： ‎ ‎①； ② ；‎ ‎③； ④．‎ 则其中是“偏对称函数”的函数为__________．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎ ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知集合是函数的定义域，集合是不等式 的解集，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角的对边分别为，已知，求的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知各项均为正数的等比数列中， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间．‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知，是的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为，直线的方程为,以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求．‎ ‎ ‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：．‎ ‎2017-2018学年度上学期高中学段高三联合考试高三年级 数学文科 试卷答案 ‎1-12题 CDADB DBABC CA ‎13 14． 0 15. 16． ②④‎ 三、解答题 （以下给分仅供参考）‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知集合是函数的定义域，集合是不等式 的解集，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 解：（Ⅰ），． ………………….(3分)‎ 若，则必须满足解得, ‎ 所以的取值范围是． ………..………………….(6分)‎ ‎（Ⅱ）易得或．‎ ‎∵是的充分不必要条件，‎ ‎∴是的真子集，………………….(8分) ‎ 即 且不同时取等 ………………….(10分)‎ 解得，∴的取值范围是． ………………….(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，内角的对边分别为，已知，，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）最小正周期，对称轴方程为；‎ ‎（Ⅱ）.‎ 解（1）原式可化为，‎ ‎，‎ ‎， ………………….(2分)‎ 故其最小正周期， ………………….(4分)‎ 令，解得，‎ 即函数图象的对称轴方程为，. ………………….(6分)‎ ‎（2）由（1），知，‎ 因为，所以.又，‎ 故得，解得. ………………….(8分)‎ 由正弦定理及，得. ………………….(10分)‎ 故. ………………….(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知各项均为正数的等比数列中， ， .‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ； (Ⅱ) .‎ 解：（Ⅰ）设等比数列的公比为，且，‎ ‎∵ ………………….(2分)‎ ‎∴，又 ‎∴ ………………….(4分)‎ ‎∴ ………………….(6分)‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 得 故…（1）‎ ‎∴…（2）‎ 得： ，‎ ‎∴ ………………….(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知函数 .‎ ‎（Ⅰ）若曲线在和处的切线互相平行，求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ 解： 函数的定义域为．‎ ‎ 且 .………………….(2分)‎ ‎（Ⅰ）因为曲线在和处的切线互相平行，‎ 所以．即，‎ 解得. ………………….(4分)‎ ‎（Ⅱ） . ‎ ‎①当时， ， ，‎ 在区间上， ；在区间上， ‎ 故的单调递增区间是，单调递减区间是 ………………….(6分)‎ ‎②当时， ，‎ 在区间和上， ；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是…………….(8分)‎ ‎③当时，‎ 因为， 故的单调递增区间是 . …………….(10分)‎ ‎④当时， ，‎ 在区间和上， ；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 . ……….(12分)‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知， 是的导函数．‎ ‎（Ⅰ）求的极值；‎ ‎（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．‎ 解： （Ⅰ）， ， ，‎ 当时， 恒成立， 无极值； …………….(1分)‎ 当时， ，即，‎ 由，得；由，得，‎ 所以当时，有极小值 ,无极大值 .…………….(4分)‎ ‎（Ⅱ）令，则，注意到，‎ 令，则，且，得； ，得，‎ ‎∴，即恒成立，故，‎ 当时， ， ，‎ 于是当时， ，即成立. .…………….(8分)‎ 当时，由（）可得（）.‎ ‎，‎ 故当时， ，‎ 于是当时， ， 不成立.‎ 综上， 的取值范围为． .…………….(12分)‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为，直线的方程为,以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，求 解：（Ⅰ）曲线的普通方程为,‎ 则的极坐标方程为, .…………….(2分)‎ 由于直线过原点,且倾斜角为,故其极坐标为 (或)‎ ‎. .…………….(5分)‎ ‎（Ⅱ）由,得,‎ 故 . …………….(7分)‎ ‎ .…………….(10分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ 已知不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求证： ‎ 解：（Ⅰ）由,‎ 得或或,‎ 解得 …………….(5分)‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 当且仅当即时取等号, ‎ ‎,即 …………….(10分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎