人教大纲版高考数学题库考点18 双曲线 8页

‎ ‎ 考点18 双曲线 ‎1.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ9）已知，为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，‎ ‎∠=60°，则到轴的距离为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本小题主要考查双曲线的几何性质、余弦定理，突出考查双曲线中的焦点三角形问题，通过本题可以有效地考查考生对知识的的综合运用能力，运算能力以及解决解析几何问题的解题技巧.‎ ‎【思路点拨】方法一：利用双曲线的第一定义列出方程求解；‎ 方法二：利用双曲线的第二定义，结合余弦定理求解；方法三：直接利用双曲线的焦点三角形的 面积公式.‎ ‎【规范解答】选B.‎ ‎（方法一）不妨设点在双曲线的右支上，，，则.由余弦定理得 ‎（方法二）不妨设点P在双曲线的右支上,由双曲线的第二定义得， ，‎ 由余弦定理得 cos∠P=,‎ 即cos60°,‎ 解得,所以，故P到x轴的距离为.‎ ‎（方法三）由焦点三角形面积公式得:‎ ‎2.（2010·江西高考理科·Ｔ１５）点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则__________.‎ ‎【命题立意】本题主要考查双曲线的基本知识，考查双曲线的焦半径公式及对知识的灵活运用能力．‎ ‎【思路点拨】先确定双曲线的基本量，再由双曲线的焦半径公式求解.‎ ‎【规范解答】因为，，所以，.由焦半径公式得.代入得，解得.‎ ‎【答案】２‎ ‎3.（2010·重庆高考文科·Ｔ21）已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率 ‎（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程.‎ ‎（2）如 图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交与,两点，‎ 求的值.‎ ‎【命题立意】本小题考查双曲线的定义、标准方程、性质等基础知识，考查直线方程的基础知识，考查平面向量的运算求解能力，体现了方程的思想和数形结合的思想方法.‎ ‎【思路点拨】（1）由e,求出，再由求出.（2）点E是关键点，根据点E的坐标求出直线MN的方程，解两条直线组成的方程组得点G，H的坐标，即向量,的坐标，再进行向量的数量积运算，化简、整理可得.‎ ‎【规范解答】(1)设C的标准方程为(,)，‎ 则由题意知.又， 所以，‎ ‎，所以C的标准方程为，‎ C的渐近线方程为，即和.‎ ‎（2）（方法一）由题意点在直线：和：上，‎ 因此有，，‎ 所以点M，N均在直线上，‎ 因此直线MN的方程为.‎ 设G，H分别是直线MN与渐近线，的交点，‎ 故.‎ 因为点E在双曲线上，有，所以.‎ ‎（方法二）设，由方程组 解得 因为，所以直线MN的斜率，‎ 故直线MN的方程为，注意到，‎ 因此直线MN的方程为.‎ 以下与方法一相同.‎ ‎【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点E的坐标的两个等式和，通过转化字母的已知与未知的关系，和看作已知，点和代入方程，得到直线MN的方程.（3）关键点E在解题中的关键作用.‎ ‎4.（2010·重庆高考理科·Ｔ20）已知以原点O为中心，为 右焦点的双曲线C的离心率.‎ ‎（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程.‎ ‎（2）如图，已知过点的直线与 过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G，H两点，求的面积.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查直线、双曲线的基础知识，考查方程的思想和数形结合的思想方法.‎ ‎【思路点拨】（1）由e,求出，再由求出.（2）点E是关键点，根据点E的坐标求出直线MN的方程，解两条直线组成的方程组得到点G，H的纵坐标，求出直线与轴的交点的横坐标，确定OQ的长，从而表示出的面积，化简即得.‎ ‎【规范解答】(1)设C的标准方程为(,)，则由题意知.‎ 又， 所以，，所以C的标准方程为,‎ C的渐近线方程为，即和.‎ ‎（2）（方法一）如图，‎ 由题意点在直线：和：上，‎ 因此有，，‎ 所以点M，N均在直线上，‎ 因此直线MN的方程为.‎ 设G，H分别是直线MN与渐近线，的交点，‎ 设MN与轴的交点为Q，则在直线中，令，因为，‎ 所以.又因为，‎ 所以 ‎+‎ ‎，即的面积是2.‎ ‎（方法二）设，由方程组解得 因为，所以直线MN的斜率故直线MN的方程为，‎ 注意到，因此直线MN的方程为.‎ 以下与方法一相同. ‎ ‎【方法技巧】（1）字母运算是解答本题的主要特点.（2）已知与未知的相互转化，即关于点E的坐标的两个等式和，通过转化字母的已知与未知的关系，和看作已知，点和代入方程，得到直线MN的方程.（3）关键点E在解题中的关键作用. ‎ ‎5.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ21）已知斜率为1的直线与双曲线C：相交于B,D两点，且BD的中点为M（1,3）‎ ‎（Ⅰ）求C的离心率.‎ ‎（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17.‎ 证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切.‎ ‎【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，体现了数形结合思想及化归与转化思想.‎ ‎【思路点拨】由已知可得直线方程，代入双曲线方程，由根与系数的关系与已知M点得到a、b的关系，及得离心率。第二问用韦达定理及|DF|·|BF|=17，可求得双曲线的方程，考查并证明MA=MB=MD且MA轴.‎ ‎【规范解答】（1）由题意知，的方程为：y=x+2.代入C的方程化简，得 ‎ （b-a）x‎-4ax‎-4a- =0‎ ‎ 设B（x,y）、D(x,y),则 ‎ ‎ x+x=,xx= ①‎ ‎ 由M（1，3）为BD的中点知＝１，故 ‎，即 ②‎ 故ｃ＝‎ 所以Ｃ的离心率 ‎（２）由①②可知，C的方程为：，‎ A（a,0）,F(‎2a,0),,<0, ‎ 故不妨设 ‎｜BF｜‎ ‎｜FD｜=‎ ‎=‎ 又｜FD｜｜BF｜=17，故解得 故｜BD｜=｜｜=‎ 连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知MA=MB=MD,且MA轴，因此以M为圆心，MA为半径 的圆经过A,B,D三点，且在点A处与x轴相切，‎ 所以过A, B,D三点的圆与x轴相切。‎ A B M D F O x y ‎【方法技巧】 1.解析几何问题要求根据曲线的几何特征熟练地转化为数量关系（如方程、函数），结合代数知识解答，要重视函数与方程思想、数形结合思想、等价转化数学思想的应用.‎ ‎2.对运算能力要求简洁、合理.能根据题意依据顺势思维进行求解，正如本题第二问根据 MA=MB=MD进行证明过A,B,D三点的圆与x轴相切.‎