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  • 2021-06-22 发布

2013年高考数学(文科)真题分类汇编N单元 选修4系列

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N单元 选修4系列 N1选修4-1 几何证明选讲                    ‎ ‎21.N1[2013·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]‎ 如图1-1所示,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.‎ 求证:AC=2AD.‎ 图1-1‎ 证明:联结OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,‎ 所以∠ADO=∠ACB=90°.‎ 又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,‎ 所以=.‎ 又BC=2OC=2OD.‎ 故AC=2AD.‎ N2[2013·江苏卷] ‎ B.[选修4-2:矩阵与变换]‎ 已知矩阵A= 0,2),B=1,0) 2,6),求矩阵A-1B.‎ 解:设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d),‎ 则-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1).‎ 即-a,‎2c) -b,2d)=1,0) 0,1),‎ 故a=-1,b=0,c=0,d=,‎ 从而A的逆矩阵为A-1= 0,))).‎ 所以A-1B= 0,)))1,0) 2,6)=-1,0) -2,3).‎ N3[2013·江苏卷] ‎ C.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.‎ 解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.‎ 同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.‎ 联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),,-1.‎ N4[2013·江苏卷] ‎ D.[选修4-5:不等式选讲]‎ 已知a≥b>0,求证:‎2a3-b3≥2ab2-a2b.‎ 证明:‎2a3-b3-(2ab2-a2b)=‎2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(‎2a+b)=(a-b)(a+b)(‎2a+b).‎ 因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,‎2a+b>0.‎ 从而(a-b)(a+b)(‎2a+b)≥0,即‎2a3-b3≥2ab2-a2b.‎ ‎22.N1[2013·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-6,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,联结AE,BE,证明:‎ ‎(1)∠FEB=∠CEB;‎ ‎(2)EF2=AD·BC.‎ 图1-6‎ ‎22.解:证明:(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=.‎ 又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,‎ 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.‎ ‎(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.‎ 类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.‎ 又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故FE2=AF·BF.‎ 所以EF2=AD·BC.‎ B.N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1-4所示,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=________.‎ 图1-4‎  [解析] 利用已知图形关系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=.‎ ‎22.N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1:几何证明选讲如图1-6,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.‎ ‎(1)证明:DB=DC;‎ ‎(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.‎ 图1-6‎ ‎22.解:(1)联结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.‎ 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.‎ 又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,‎ 由勾股定理可得DB=DC.‎ ‎(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,‎ 故DG是BC的中垂线,所以BG=.‎ 设DE的中点为O,联结BO,则∠BOG=60°,‎ 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,‎ 所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.‎ ‎13.N1[2013·天津卷] 如图1-2所示,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为________.‎ 图1-2‎ ‎13. [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得,∠DCB=∠ABE,∠DAB+∠DCB=180°,∠ABC+∠DCB=180°,∴∠DAB=∠ABC,∠DAB+∠ABE=180°,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠CAB=∠DBA,又∠ADB=∠ABD,∴∠BAC=∠BCA,∴BC=AB=5.由切割线定理得AE2=BE·EC=4×(4+5)=36,‎ 由cos∠ABE=-cos∠DAB,‎ 得-=,‎ 即-=,解之得BD=.‎ ‎22.N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-10,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.‎ ‎(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;‎ ‎(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.‎ 图1-10‎ ‎22.解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.‎ 因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.‎ 所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.‎ 图1-11‎ ‎(2)联结CE,因为∠CBE=90°,‎ 所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,‎ 由DB=BE,有CE=DC.‎ 又BC2=DB·BA=2DB2,‎ 所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.‎ 而DC2=DB·DA=3DB2,‎ 故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.‎ ‎15.N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=________.‎ 图1-3‎ ‎15. [解析] AB=,BC=3AC==2 ,∵AB2=AE·AC,∴AE=.又∵tan∠ACB==,∴∠ACB=,故∠EAD=.在△AED中,由余弦定理得ED2=AE2+AD2-2AE·ADcos ∠EAD=+9-2××3cos =,故ED=.‎ N2 选修4-2 矩阵                  ‎ N3 选修4-4 参数与参数方程                   ‎ ‎14.N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为________.‎ ‎14.(θ为参数) [解析] 将曲线C的极坐标方程ρ=2cos θ化为普通方程为(x-1)2+y2=1,则其参数方程为(θ为参数).‎ ‎11.N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为________.‎ ‎11.4 [解析] l1:即x-2y-1=0,l2:即2x-ay-a=0.由两直线平行,得=≠,解得a=4.‎ ‎23.N3[2013·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcosθ-=2 .‎ ‎(1)求C1与C2交点的极坐标;‎ ‎(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.‎ ‎23.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.‎ 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ 解得 所以C1与C2交点的极坐标为4,,2 ,.‎ 注:极坐标系下点的表示不唯一.‎ ‎(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.‎ 由参数方程可得y=x-+1.‎ 所以解得a=-1,b=2.‎ ‎23.N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎23.解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α ,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离 d==(0<α<2π).‎ 当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ C.N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.‎ ‎(1,0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为:y2=4x,为抛物线,其焦点坐标为(1,0).‎ ‎23.N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ ‎23.解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,‎ 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将代入x2+y2-8x-10y+16=0,‎ 得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0,‎ 由解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.‎ N4选修4-5 不等式选讲                    ‎ ‎21.B12,N4[2013·湖北卷] 设a>0,b>0,已知函数f(x)=.‎ ‎(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;‎ ‎(2)当x>0时,称f(x)为a,b关于x的加权平均数.‎ ‎(i)判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明f≤f;‎ ‎(ii)a,b的几何平均数记为G,称为a,b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.‎ ‎21.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),‎ f′(x)==.‎ 当a>b时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增;‎ 当a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减.‎ ‎(2)(i)计算得f(1)=>0,f=>0,‎ f=>0.‎ 故f(1)f=·=ab=,即 f(1)f=.①‎ 所以f(1),f,f成等比数列.‎ 因≥,即f(1)≥f,结合①得f≤f.‎ ‎(ii)由(i)知f=H,f=G,故由H≤f(x)≤G,‎ 得f≤f(x)≤f.②‎ 当a=b时,f=f(x)=f=a.‎ 这时,x的取值范围为(0,+∞);‎ 当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为;‎ 当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,‎ 得≤x≤,即x的取值范围为.‎ ‎24.N4[2013·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-‎2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.‎ ‎24.解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;‎ 当22,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.‎ ‎(-∞,+∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)‎ ‎|=|b-a|=|a-b|.又由|a-b|>2恒成立,故不等式解集为(-∞,+∞).‎ ‎14.N4[2013·天津卷] 设a+b=2,b>0,则+的最小值为________.‎ ‎14. [解析] +=+=++≥+2≥-+1=.‎ ‎24.N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.‎ ‎(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;‎ ‎(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.‎ ‎24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)