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N单元 选修4系列
N1选修4-1 几何证明选讲
21.N1[2013·江苏卷] A.[选修4-1:几何证明选讲]
如图1-1所示,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.
求证:AC=2AD.
图1-1
证明:联结OD,因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,
所以∠ADO=∠ACB=90°.
又因为∠A=∠A,所以Rt△ADO∽Rt△ACB,
所以=.
又BC=2OC=2OD.
故AC=2AD.
N2[2013·江苏卷]
B.[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵A= 0,2),B=1,0) 2,6),求矩阵A-1B.
解:设矩阵A的逆矩阵为a,c) b,d),
则-1,0) 0,2)a,c) b,d)=1,0) 0,1).
即-a,2c) -b,2d)=1,0) 0,1),
故a=-1,b=0,c=0,d=,
从而A的逆矩阵为A-1= 0,))).
所以A-1B= 0,)))1,0) 2,6)=-1,0) -2,3).
N3[2013·江苏卷]
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(θ为参数),试求直线l和曲线C的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线l的参数方程为(t为参数),由x=t+1得t=x-1,代入y=2t,得到直线l的普通方程为2x-y-2=0.
同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2,2),,-1.
N4[2013·江苏卷]
D.[选修4-5:不等式选讲]
已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0.
从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.
22.N1[2013·辽宁卷] 选修4-1:几何证明选讲
如图1-6,AB为⊙O直径,直线CD与⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,联结AE,BE,证明:
(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
图1-6
22.解:证明:(1)由直线CD与⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径,得AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF=.
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=,
从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共边,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.
类似可证:Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故FE2=AF·BF.
所以EF2=AD·BC.
B.N1[2013·陕西卷] (几何证明选做题)如图1-4所示,AB与CD相交于点E,过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则PE=________.
图1-4
[解析] 利用已知图形关系可得∠BCE=∠PED=∠BAP,可得△PDE∽△PEA,可得=,而PD=2DA=2,则PA=3,则PE2=PA·PD=6,PE=.
22.N1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-1:几何证明选讲如图1-6,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明:DB=DC;
(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.
图1-6
22.解:(1)联结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,所以BG=.
设DE的中点为O,联结BO,则∠BOG=60°,
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.
13.N1[2013·天津卷] 如图1-2所示,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为________.
图1-2
13. [解析] 联结AC.由圆内接梯形的性质得,∠DCB=∠ABE,∠DAB+∠DCB=180°,∠ABC+∠DCB=180°,∴∠DAB=∠ABC,∠DAB+∠ABE=180°,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠CAB=∠DBA,又∠ADB=∠ABD,∴∠BAC=∠BCA,∴BC=AB=5.由切割线定理得AE2=BE·EC=4×(4+5)=36,
由cos∠ABE=-cos∠DAB,
得-=,
即-=,解之得BD=.
22.N1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-1:几何证明选讲
如图1-10,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
图1-10
22.解:(1)因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.
因为B,E,F,C四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.
图1-11
(2)联结CE,因为∠CBE=90°,
所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE,
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而DC2=DB·DA=3DB2,
故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.
15.N1[2013·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-3,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足为E,则ED=________.
图1-3
15. [解析] AB=,BC=3AC==2 ,∵AB2=AE·AC,∴AE=.又∵tan∠ACB==,∴∠ACB=,故∠EAD=.在△AED中,由余弦定理得ED2=AE2+AD2-2AE·ADcos ∠EAD=+9-2××3cos =,故ED=.
N2 选修4-2 矩阵
N3 选修4-4 参数与参数方程
14.N3[2013·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为________.
14.(θ为参数) [解析] 将曲线C的极坐标方程ρ=2cos θ化为普通方程为(x-1)2+y2=1,则其参数方程为(θ为参数).
11.N3[2013·湖南卷] 在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t为参数)平行,则常数a的值为________.
11.4 [解析] l1:即x-2y-1=0,l2:即2x-ay-a=0.由两直线平行,得=≠,解得a=4.
23.N3[2013·辽宁卷] 选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sin θ,ρcosθ-=2 .
(1)求C1与C2交点的极坐标;
(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.
23.解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.
直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为4,,2 ,.
注:极坐标系下点的表示不唯一.
(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.
由参数方程可得y=x-+1.
所以解得a=-1,b=2.
23.N3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 选修4-4:坐标系与参数方程
已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程;
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.
23.解:(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α ,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d==(0<α<2π).
当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.
C.N3[2013·陕西卷] (坐标系与参数方程选做题)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.
(1,0) [解析] 由所给的曲线的参数方程化为普通方程为:y2=4x,为抛物线,其焦点坐标为(1,0).
23.N3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
23.解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0,
得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0,
由解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
N4选修4-5 不等式选讲
21.B12,N4[2013·湖北卷] 设a>0,b>0,已知函数f(x)=.
(1)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x>0时,称f(x)为a,b关于x的加权平均数.
(i)判断f(1),f,f是否成等比数列,并证明f≤f;
(ii)a,b的几何平均数记为G,称为a,b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围.
21.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),
f′(x)==.
当a>b时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递增;
当a<b时,f′(x)<0,函数f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上单调递减.
(2)(i)计算得f(1)=>0,f=>0,
f=>0.
故f(1)f=·=ab=,即
f(1)f=.①
所以f(1),f,f成等比数列.
因≥,即f(1)≥f,结合①得f≤f.
(ii)由(i)知f=H,f=G,故由H≤f(x)≤G,
得f≤f(x)≤f.②
当a=b时,f=f(x)=f=a.
这时,x的取值范围为(0,+∞);
当a>b时,0<<1,从而<,由f(x)在(0,+∞)上单调递增与②式,得≤x≤,即x的取值范围为;
当a<b时,>1,从而>,由f(x)在(0,+∞)上单调递减与②式,
得≤x≤,即x的取值范围为.
24.N4[2013·辽宁卷] 选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.
24.解:(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=
当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;
当22,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是________.
(-∞,+∞) [解析] 利用绝对值不等式的性质可得|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)
|=|b-a|=|a-b|.又由|a-b|>2恒成立,故不等式解集为(-∞,+∞).
14.N4[2013·天津卷] 设a+b=2,b>0,则+的最小值为________.
14. [解析] +=+=++≥+2≥-+1=.
24.N4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)
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