山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题（文） 9页

山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试 数学试题(文科)‎ ‎2018．11‎ 说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第5页。试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。‎ 第I卷(共60分)‎ 一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意)‎ ‎1．已知集合中的元素个数是 A．2 B．3 C．6 D． 8‎ ‎2．已知向量 A. B． C． D．2‎ ‎3．设满足约束条件的最大值是 A． B．0 C．2 D．3‎ ‎4．已知等比数列中，‎ A. B．±4 C．4 D．16‎ ‎5．“”是“指数函数单调递减”的 A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.‎ 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法中抽取7人，则其中成绩在区间[139.151]上的运动员人数是 ‎ A．3 B.4 C．5 D．6‎ ‎7．已知函数，若将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则 A. B. C. D. ‎ ‎8.函数的部分图象为 ‎9.我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+(股－勾)=4×朱实+黄实=弦实=弦2，化简得：勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷l 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为 A．866 B.500 C．300 D．134‎ ‎10.曲线上的点到直线的最短距离是 A. B.2 C. D. ‎ ‎1l.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎12.已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为 A. B.0 C. D.1‎ 第II卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题(本题包括4小题，共20分)‎ ‎13．已知函数_________‎ ‎14．设的最小值为_________‎ ‎15．函数的最大值为________‎ ‎16.右表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字70在表中出现的次数为________‎ 三．解答题(本题包括6小题，共70分)‎ ‎17．(本小题10分)‎ 已知在递增的等差数列的等比中项 ‎(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．‎ ‎18．(本小题10分)已知向量，函数．‎ ‎(I)求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)若分别是角的对边，的面积．‎ ‎19.(本小题12分)为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在15~65岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：‎ ‎（I）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；‎ ‎（II）由以上统计数据填2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；‎ 参考数据：‎ ‎（III）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率.‎ ‎20．(本小题12分)己知数列 ‎(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和 ‎21．(本小题12分)某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行了记录整理，得到如下数据：‎ ‎(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程（回归系数精确到0.01）；‎ ‎(Ⅱ)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．‎ 参考公式：‎ 参考数据：.‎ ‎22．(本小题12分)已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，其反函数为，函数的最小值为m．‎ ‎(I)求曲线的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)求证：；‎ ‎ 山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试 数学答案 (文科) 2018．11‎ 一. 选择题 ‎1C 2D 3C 4A 5B 6B 7C 8A 9D 10C 11B 12C 二．填空题 ‎13. 14. 9 15. 16. ‎ 三．解答题 ‎17.解：（1）设公差为 因为，所以，解得 ………………..2分 所以 …………………5分 ‎（2）由题意可知： …………………8分 所以 …………………10分 ‎18.解： （Ⅰ），…………………3分 单调递增区间是…………………6分 ‎（Ⅱ）由==1，,‎ ‎,.…………………8分 由余弦定理得，,‎ 即，得.…………………10分 所以，△的面积.…………………12分 ‎19. 解：(I) 估计众数为50. ‎ 估计平均数为＝20×0.2＋30×0.1＋40×0.2＋50×0.3＋60×0.2‎ ‎＝42. ……………………………………3分 ‎(II)列联表如下：‎ ‎45岁以下 ‎45岁以上 总计 支持 ‎35‎ ‎45‎ ‎80‎ 不支持 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 总计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 因为K2＝＝＝6.25＞3.841，‎ 所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．…………………7分 ‎(III)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．‎ 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2，则从这8人中随机抽2人包含以下基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)， (a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，( (b1，b2)共28个基本事件．…………………9分 记抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，共12个基本事件．…………………11分 故. ‎ 即抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率为. …………………12分 ‎20.解：（1）由题意可知：当时，，又因为，所以，‎ ‎ …………………2分 又因为当，，所以 ………………….3分 ‎ 所以 等比数列，且 …………………5分 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 …………………12分 ‎21. 解：(1)由题意，知＝×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，……………1分 ＝×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，……………………2分 又xizi＝47.64，x＝139‎ 所以＝＝－≈－0.363，………………………6分 所以＝－＝2＋0.363×4.5＝3.63，……………………7分 所以z与x的线性回归方程是＝－0.36x＋3.63；………………….8分 ‎（2）因为z＝ln y，‎ 所以y关于x的回归方程是＝e－0.36x＋3.63………………………10分 令x＝10，‎ 得＝e－0.36×10＋3.63＝e0.03，因为ln 1.03≈0.03，所以＝1.03，‎ 即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．…………………12分 ‎22.解（1）由题意可知 +2‎ ‎，所以斜率，所以切线方程为 …………………….4分 ‎（2）令 ‎，因为，，又因为在上单增 所以存在唯一的，使得，即，……………..6分 当，所以单减，同理在单增， ‎ 所以， …………….8分 因为，所以，…………….9分 所以因为，所以……………..12分