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- 2021-06-22 发布
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章末质量评估(二)
(时间:100分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等比数列{an}中,如果a6=6,a9=9,那么a3为 ( ).
A.4 B. C. D.2
解析 在等比数列{an}中,a3,a6,a9也成等比数列
∴a62=a3a9,∴a3==4.
答案 A
2.在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=32,a11+a12+a13=118,则a4+a10等于 ( ).
A.45 B.50 C.75 D.60
解析 由已知:a1+a2+a3+a11+a12+a13=150,
∴3(a1+a13)=150,∴a1+a13=50.
∵a4+a10=a1+a13,∴a4+a10=50.
答案 B
3.计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机价格降低,现在的价格是8 100元的计算机,则15年后,价格降低为 ( ).
A.2 200元 B.900元
C.2 400元 D.3 600元
解析 价格降了3次,则价格降为8 100×3=2 400.
答案 C
4.(2011·天津一中月考)在数列{an}中,a3=2,a7=1,如果数列是等差数列,那么a11等于 ( ).
A. B. C. D.1
解析 设bn=,则数列{bn}是等差数列,由等差数列的性质可知b3,b7,b11
成等差数列,又b3==,b7==,所以b11=2b7-b3=,所以=,解得a11=.
答案 B
5.设an=-n2+10n+11,则数列{an}前n项的和最大时n的值为 ( ).
A.10 B.11
C.10或11 D.12
解析 令an≥0得n2-10n-11≤0,∴1≤n≤11.
即1≤n≤10时,an>0,当n≥12时,an≤0,而a11=0,
故前10项和等于前11项和,它们都最大.
答案 C
6.在等比数列{an}中,若an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为 ( ).
A.16 B.81 C.36 D.27
解析 ⇒
∴a4+a5=×33+×34=27.
答案 D
7.(2011·辽宁卷)若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为 ( ).
A.2 B.4 C.8 D.16
解析 由anan+1=16n,知a1a2=16,a2a3=162,后式除以前式得q2=16,∴q=±4.
∵a1a2=a12q=16>0,∴q>0,∴q=4.
答案 B
8.在等比数列{an}中,a3=12,a2+a4=30,则a10的值为 ( ).
A.3×10-5 B.3×29
C.128 D.3×2-5或3×29
解析 ∵a2=,a4=a3q,
∴a2=,a4=12q.
∴+12q=30,即2q2-5q+2=0.
∴q=或q=2.
当q=时,a2=24,
∴a10=a2q8=24×8=3×2-5;
当q=2时,a2=6,
∴a10=a2q8=6×28=3×29.
答案 D
9.在等差数列{an}中,设公差为d,若前n项和为Sn=-n2,则通项和公差分别为 ( ).
A.an=2n-1,d=-2 B.an=2n-1,d=2
C.an=-2n+1,d=-2 D.an=-2n+1,d=2
解析 an=Sn-Sn-1=-n2-[-(n-1)2]=-2n+1(n>1,n∈N*).当n=1时,a1=S1=
-1满足上式,显然d=-2.
答案 C
10.在数列{xn}中,=+(n≥2),且x2=,x4=,则x10等于 ( ).
A. B. C. D.
解析 由已知得数列是等差数列,设该数列的公差为d,∴-=2d=1,∴d=,∴=+(10-2)×d==,∴x10=.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)
11.若数列{an}是等差数列,a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根,则a5+a8=________.
解析 ∵数列{an}为等差数列,∴a3+a10=a5+a8.
∵a3+a10=3,∴a5+a8=3.
答案 3
12.已知等差数列{an},公差d≠0,a1,a3,a4成等比数列,则=________.
解析 由题意得(a1+2d)2=a1(a1+3d),
∵d≠0,∴a1=-4d,∴an=-4d+(n-1)d,
即an=(n-5)d,∴==.
答案
13.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.
已知数列{an}是等和数列,且a1=-1,公和为1,那么这个数列的前2 011项和S2 011=________.
解析 a1=-1,a2=2,a3=-1,a4=2,…,
∴a2 011=-1,∴S2 011=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 009+a2 010)+a2 011=1 005×1+(-1)=1 004.
答案 1 004
14.把自然数1,2,3,4,…按下列方式排成一个数阵.
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
根据以上排列规律,数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________.
解析 该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,…,第n行有n个数,则第n-1(n≥3)行的最后一个数为=-,则第n行从左至右的第3个数为-+3.
答案 -+3
三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(10分)已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=-6,a6=0,
所以
解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn==4(1-3n).
16.(10分)(2011·广东省湛江一中高二期中测试)已知数列{an}满足a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1-an}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 ∵an+2=3an+1-2an,
∴an+2-an+1=2(an+1-an),
∴=2.
∵a1=1,a2=3,
∴{an+1-an}是以a2-a1=2为首项,2为公比的等比数列.
(2)解 由(1)得an+1-an=2n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.
故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
17.(10分)已知点(1,2)是函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象上一点,数列{an}的前n项和Sn=f(n)-1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=logaan+1,求数列{anbn}的前n项和Tn.
解 (1)把点(1,2)代入函数f(x)=ax得a=2,
所以数列{an}的前n项和为Sn=f(n)-1=2n-1.
当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,
对n=1时也适合,∴an=2n-1.
(2)由a=2,bn=logaan+1得bn=n,
所以anbn=n·2n-1.
Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
2Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n.②
由①-②得:
-Tn=20+21+22+…+2n-1-n·2n,
所以Tn=(n-1)2n+1.
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)当bn=log(3an+1)时,求证:数列的前n项和Tn=.
(1)解 由已知(n≥2),
得an+1=an(n≥2).
∴数列{an}是以a2为首项,以为公比的等比数列.
又a2=S1=a1=,
∴an=a2×n-2(n≥2).
∴an=
(2)证明 bn=log(3an+1)=log=n.
∴==-.
∴Tn=+++…+
=+++…+
=1-=.
19.(12分)已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(n∈N*),Sn=b1+b2+…+bn,是否存在最大的整数t,使得对任意的n均有Sn>总成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.
解 (1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,整理得2a1d=d2.
∵a1=1,解得(d=0舍),d=2.
∴an=2n-1(n∈N*).
(2)bn===,
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
==.
假设存在整数t满足Sn>总成立,
又Sn+1-Sn=-
=>0,
∴数列{Sn}是单调递增的.
∴S1=为Sn的最小值,故<,即t<9.
又∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8.