数学文卷·2018届福建省宁德市高三第一次质量检查（1月）（2018 13页

‎2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 文 科 数 学 本试卷分第I卷和第II卷两部分．第I卷1至3页，第II卷4至6页，满分150分．‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合,，则 A． B． C． D．‎ ‎2．已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．福建省第十六届运动会将于年在宁德召开，组委会预备在会议期间从女男共名志愿者中任选名志愿者参与接待工作，则选到的都是女性志愿者的概率为 A． B． C． D．‎ ‎4．已知等差数列的前和为，若，,则为 A． B． C． D． ‎ ‎5．已知命题:“若是正四棱锥棱上的中点,则”;命题:“是的充分不必要条件”，则下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图,运行相应的程序，则输出的的 ‎ 值为 A． B． C． D． ‎ ‎7．已知，，，则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎8．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有筑城， ‎ 上广二丈，下广五丈四尺，高三丈八尺，长五千五百五十尺， ‎ 秋程人功三百尺．问：须工几何？” 意思是：“现要筑造底 面为等腰梯形的直棱柱的城墙，其中底面等腰梯形的上底为丈、下底为丈、高为丈，直棱柱的侧棱长为尺．如果一个秋天工期的单个人可以筑出 立方尺，问：一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙？”（注：一丈等于十尺）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数的最小正周期为,则当时，函数的值域是 ‎ A．　　 B．　　　　 C．　　　　 D． ‎ ‎10．已知三角形中, ,，连接并取线段的中点,则的值为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知、分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足, 则椭圆的离心率取值范围是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2018年宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 文 科 数 学 第II卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．‎ 本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．若复数满足，其中为虚数单位，则_______．‎ ‎14．设满足约束条件，则的最小值为_______．‎ ‎15．在三棱锥中，平面，，，‎ ‎，则此三棱锥的外接球的表面积为_______．‎ ‎16．今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在这两个分点处分别标上，如图（1）所示；第二次把两段半圆弧二等分，在这两个分点处分别标上，如图（2）所示；第三次把段圆弧二等分，并在这个分点处分别标上，如图（3）所示．如此继续下去，当第次标完数以后，该圆周上所有已标出的数的总和是_______． ‎ 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ D C B A 如图，中，为边上一点, , ．‎ ‎（Ⅰ）若的面积为，求的长;‎ ‎（Ⅱ）若， ，求的值．‎ ‎18． (本小题满分12分)‎ 在多面体中， 为等边三角形，四边形 为菱形，平面平面，，．‎ ‎（Ⅰ）求证:; ‎ ‎（Ⅱ）求点到平面距离．‎ ‎19． (本小题满分12分)‎ 某海产品经销商调查发现, 该海产品每售出吨可获利万元, 每积压吨则亏损万元．根据往年的数据,得到年需求量的频率分布直方图如下图所示，将频率视为概率．‎ ‎(Ⅰ)请补齐上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；‎ ‎(Ⅱ) 今年该经销商欲进货吨，以（单位：吨，）表示今年的年需求量，以（单位：万元）表示今年销售的利润，试将表示为的函数解析式；并求今年的年利润不少于万元的概率．‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知抛物线：的焦点为，圆：，过作垂直于轴的直线交抛物线于、两点，且的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程和圆的方程；‎ ‎ (Ⅱ) 若直线、均过坐标原点，且互相垂直，交抛物线于, 交圆于, 交抛物线于，交圆于, 求与的面积比的最小值．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求，的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎　　在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求点的轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知,是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于两点，试求的值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知，‎ ‎（Ⅰ）若，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若时，的解集为空集，求的取值范围． ‎ ‎2018年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎1. D 2. A 3. B 4. A 5.C 6. C ‎7. C 8. B 9. D 10. B 11. D 12.A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．‎ D C B A ‎（Ⅰ）,,………….….1分 ‎……………………….…2分 ‎ ……………………………………3分 在中，由余弦定理得 ‎……….…………....4分 ‎………………………………...5分 ‎∴ ………………………………………………. ....6分 ‎(Ⅱ)在中，由正弦定理得…………....7分 ‎∴ …………....8分 在中，由正弦定理得 .………..9分 ‎∴…………..10分 ‎∴ ………….………..12分 ‎18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．‎ 解法一：……………..1分 ‎∵为等边三角形 ……………....2分 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………….3分 又∵‎ ‎∴…………………………..5分 ‎∵‎ ‎∴………………………………..6分 ‎（Ⅱ）∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴…………………………………….……...8分 ‎∵‎ 在中，‎ 由（1）得，‎ 因为 且……………...9分 ‎∵………………..…..10分 ‎∵即.…….11分 即 ‎∴………………………………………….…….12分 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）∵在菱形中,平面,平面 ‎∴平面 ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离……………7分 由（Ⅰ）知, 平面 ‎∴平面 ‎∵平面 ‎∴平面平面 过作于,则平面,‎ 且……………8分 ‎∵‎ 为二面角的平面角 ‎∵平面平面 ‎……………10分 又………………………………………………..…11分 ‎∴…………………………………………………………..…12分 ‎19. 本小题主要考查了频率分布直方图，平均数，函数，不等式等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分 ‎0‎ 年需求量/t ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎0.005‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.035‎ ‎0.040‎ ‎0.045‎ ‎0.050‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ …. ………2分 解：设年需求量平均数为，‎ 则 ……………6分 ‎(注:列式2分,错一个扣1分,错两个及以上不得分;答案2分)‎ ‎（Ⅱ）设今年的年需求量为吨、年获利为万元 ‎ 当时，‎ ‎ 当时，‎ ‎ 故 ………………………………………8分 ‎ ‎ ‎ 则 ……………………………………………………………………9分 ‎，‎ ‎………………………………………………..………………10分 ‎………………………………………………………..11分 ‎ ‎ ‎ 所以今年获利不少于万元的概率为………………………………12分 ‎20. 本题主要考查直线、圆、抛物线、直线与圆，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．‎ 解：（I）因为抛物线焦点F坐标为 , 则 ‎ 联立 ∴或 故 ……………………………………………………2分 ‎∴ ……………………………………….3分 即 …………………………………………………………………..4分 ‎∴抛物线方程为：‎ 圆方程为：…………………………………………….5分 ‎(注:错一个不给分)‎ ‎(II) 解法一：显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，‎ 则方程为…………………………………….6分(注:末说明斜率不给分)‎ 由得，或∴同理可求得………….7分 由得，或∴‎ 同理可求得…………….8分 ‎ ‎ ‎∴………….10分 ‎…….11分 当且仅当时， 与的面积比的取到最小值4.…………….12分 解法二：显然、的斜率必须存在且均不为0，设的方程为，‎ 则方程为…………………………………….6分(注:末说明斜率不给分)‎ 由得=0，或同理可求得………….7分 ‎ 则 ‎…………………………………….8分 设到、的距离分别为、‎ 则；……………………………………….9分 则………………..10分 ‎∴…….11分 当且仅当时， 与的面积比的取到最小值4.…………….12分 ‎21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）函的定义域为………………………...……1分 ‎………………………………………………..2分 把代入方程中，得 即，∴…………………………………….…………3分 又因为，∴‎ 故…………………………………………………………...…4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时 恒成立等价于..……5分 设，‎ 则 ‎………………………………………..……7分 由于 当时，，则在上单调递增，‎ 恒成立.………………………………………8分 当时，设,则…….…..9分 则为上单调递增函数，‎ 又由………………………………….10分 即在上存在，使得，‎ 当时，单调递减，‎ 当时， 单调递增；‎ 则，不合题意，舍去.……………………….11分 综上所述，实数的取值范围是.……………………12分 ‎22.选修；坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．‎ 解：（1）设，，‎ 则由成等比数列，可得，………………………………1分 即，．………………………………2分 又满足，即，………………………………3分 ‎∴，………………………………4分 化为直角坐标方程为．………………………………5分 ‎（Ⅱ）依题意可得，故，即直线倾斜角为，………………………………6分 ‎∴直线的参数方程为………………………………7分 代入圆的直角坐标方程，‎ 得，………………………………8分 故，，………………………………9分 ‎∴．………………………………10分 ‎23．选修：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分10分．‎ 解：(1)当时，化为 ， …………1分 当，不等式化为，解得或，‎ 故；…………2分 当时，不等式化为，解得或，‎ 故； …………3分 当，不等式化为，解得或 故； …………4分 所以解集为或． …………5分 ‎(2) 由题意可知，即为时，恒成立． …………6分 当时，，得；…………8分 当时，，得，‎ 综上，．…………10分