数学文卷·2018届吉林省长春市普通高中高三质量监测（二）（2018 9页

‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（二） 数学文科 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 已知，，则李国波录 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎2. 已知复数为纯虚数，则 A. B. C. D. ‎ ‎3.命题“若，则”的逆否命题是 A.　 若，则或 B. 若，则 ‎ C.　 若或，则 D. 若或，则 ‎4. 已知椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于长轴的直线交椭圆于两点，则△的周长为 A.　 　 B. C. D. ‎ ‎5. 已知平面向量，则 A. 　　 B. C. D. ‎ ‎6. 已知等比数列的各项均为正数，前项和为，若，则 ‎ A. 　 B. C. D. ‎ ‎7. 定义在上的奇函数，满足在上单调递增，且，则的解集为 A. 　 B. C. D. ‎ ‎8. 如图，格纸上小正方形的边长为，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 A. ‎ B. ‎ C. 　 ‎ D. ‎ ‎9. 若点满足线性条件，则的最大值为 A. 　　B. C. 　D. ‎ ‎10. 已知函数，且，则下列结论中正确的是 A. 　　 B. 是图象的一个对称中心 ‎ C.　 D. 是图象的一条对称轴 ‎11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是 A. 　　 B. C.　 D. ‎ ‎12. 若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是 A. 　 B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为___________.‎ ‎14. 若向区域内投点，则该点到原点的距离小于的概率为__________.‎ ‎15. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入，则输出的值为_____.‎ 是 否 否 是 开始 ‎ ‎ 输出 结束 输出 ‎ ‎ ‎16. 在△中，内角的对边分别为，若其面积，角的平分线交于，，，则________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知数列的通项公式为. ‎ ‎ (1)求证：数列是等差数列； ‎ ‎ (2) 令，求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 如图，在直三棱柱中， .‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.‎ ‎0.008‎ ‎0.004‎ ‎0.003‎ ‎0.002‎ ‎0.001‎ 频率/组距 ‎ 100 150 200 250 300 350 400质量（克）‎ ‎(1) 经计算估计这组数据的中位数；‎ ‎(2)现按分层抽样从质量为，的芒果中随机抽取个，再从这个中随机抽取个，求这个芒果中恰有个在内的概率.‎ ‎（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有个，经销商提出如下两种收购方案：‎ A：所以芒果以元/千克收购；‎ B：对质量低于克的芒果以元/个收购，高于或等于克的以元/个收购.‎ 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 函数.‎ ‎（1）若函数恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设在时取到极小值，证明：.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若过点的直线与交于,两点，与交于两点，求的取值范围.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的解集；‎ ‎(2) 若的最小值为,正数满足，求证：.‎ 长春市普通高中2018届高三质量监测（二）‎ 数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1. A【命题意图】本题考查集合的运算. ‎ ‎【试题解析】A .故选A. ‎ ‎2. B【命题意图】本题考查复数的运算. ‎ ‎【试题解析】B　. 故选B.‎ ‎3. D【命题意图】本题考查命题的相关知识. .‎ ‎【试题解析】D　由逆否命题的知识. 故选D.‎ ‎4. C【命题意图】本题考查椭圆的定义. ‎ ‎【试题解析】C　由题意知的周长为. 故选C.‎ ‎5.A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.‎ ‎【试题解析】A　由题意知，，所以.故选A.‎ ‎6. C【命题意图】本题主要考查等比数列知识.‎ ‎【试题解析】C 由得，解得，‎ 从而. 故选C.‎ ‎7. D【命题意图】本题考查函数的性质的应用.‎ ‎【试题解析】D　由函数性质可知，的取值范围是 .故选D.‎ ‎8. B【命题意图】本题考查三视图. ‎ ‎【试题解析】B　由图形可知体积为.故选B. ‎ ‎9. D【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识. ‎ ‎【试题解析】D 由可行域可知在点处取得最大值.故选D. ‎ ‎10. A【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质. ‎ ‎【试题解析】A 由题意可知，正确.故选A. ‎ ‎11. B【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. ‎ ‎【试题解析】B　由双曲线定义可知，从而，双曲线的离心率取值范围为.故选B. ‎ ‎12. C【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识. ‎ ‎【试题解析】C　由题意知，令，的两根一正一负，由的图象可知，，解得. 故选C. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 【命题意图】本题考查导数的几何意义. ‎ ‎【试题解析】，，，因此，即切线方程为. ‎ ‎14. 【命题意图】本题考查几何概型. ‎ ‎【试题解析】由题意区域的面积为1，在区域内，到原点的距离小于1的区域面积为，即概率为. ‎ ‎15. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识. ‎ ‎【试题解析】由输入，代入程序框图计算可得输出的的值为13. ‎ ‎16. 1【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.‎ ‎【试题解析】，可知，即. 由角分线定理可知，，，在中，，在中，，即，则. ‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列及数列前n项和求法. ‎ ‎ 【试题解析】（1）由可知 ‎ （），因此数列为等差数列.（6分）‎ ‎ （2）由（1）知. （12分）‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎ 【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】解：（1）‎ ‎ （6分）‎ ‎（2）. （12分）‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及古典概型的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.‎ ‎【试题解析】解：（1）该样本的中位数为268.75 （4分）‎ ‎（2）抽取的6个芒果中，质量在和内的分别有4个和2个.‎ 设质量在内的4个芒果分别为，质量在内的2个芒果分别为. 从这6个芒果中选出3个的情况共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，‎ ‎，共计20种，其中恰有一个在内的情况有，，，，，，，，，，，共计12种，因此概率. （8分）‎ ‎（3）方案A： ‎ 方案B：‎ 低于‎250克：元 高于或等于‎250克元 总计元 由，故B方案获利更多，应选B方案. （12分）‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.‎ ‎【试题解析】（1）由题意可知，，抛物线的方程为. （4分）‎ ‎（2）已知，设直线的方程为：‎ ‎，，则，，‎ 联立抛物线与直线的方程消去得 可得，，代入可得. ‎ 因此可以为定值，且该定值为. （12分）‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力.‎ ‎【试题解析】（1）解：将原不等式化为，‎ 设，而，‎ 故当时，单调递减，‎ 当时，单调递增 所以，即为所求. （4分）‎ ‎（2）当时，，‎ 令，‎ 则，解得 故在上单调递增，‎ 在上单调递减，而 且，‎ 故在区间内解为，即，‎ 因此，令 又，所以，即成立.（12分）‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.‎ ‎【试题解析】 （1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （5分）‎ ‎ （2）设直线的参数方程为（为参数）‎ ‎ 又直线与曲线：存在两个交点，因此. ‎ ‎ 联立直线与曲线：可得 ‎ 则 ‎ 联立直线与曲线：可得 ‎ 则 即. （10分）‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ ‎【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.‎ ‎【试题解析】（1）‎ 由图像可知：的解集为. （5分）‎ ‎（2）由图像可知的最小值为1， ‎ 由均值不等式可知，‎ 当且仅当时，“”成立，即. （10分）‎