2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第6章 第3节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题 9页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第6章 不等式、推理与证明 第3节 二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题 ‎1．（2014新课标全国卷Ⅰ，5分）不等式组的解集记为D.有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2；‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2；‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3；‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p4‎ C．p1，p2 D．p1，p3‎ 解析：画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.‎ 答案：C ‎2．（2014新课标全国卷Ⅱ，5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为(　　)‎ A．10　　　 　B．8 ‎ C．3　 　 　　 D．2‎ 解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直线y＝2x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z值最大．故zmax＝2×5－2＝8.‎ 答案：B ‎3．（2014山东，5分）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．5 B．4‎ C. D．2‎ 解析：法一：不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故‎2a＋b＝2，两端平方得‎4a2＋b2＋4ab＝20，又4ab＝2×a×2b≤a2＋4b2，所以20≤‎4a2＋b2＋a2＋4b2＝5(a2＋b2)，所以a2＋b2≥4，即a2＋b2的最小值为4，当且仅当a＝2b，即b＝，a＝时等号成立．‎ 法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有‎2a＋b＝2.把‎2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线‎2a＋b＝2距离的平方，即2＝4.‎ 答案：B ‎4．（2014广东，5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)‎ A．8 B．7‎ C．6 D．5‎ 解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y＝－2x＋z经过点A时，z的值最大，由⇒则m＝zmax＝2×2－1＝3.当直线y＝－2x＋z经过点B时，z的值最小，由⇒则n＝zmin＝2×(－1)－1＝－3，故m－n＝6. ‎ 答案：C ‎5．（2014安徽，5分）．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1‎ 解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA＝2，zB＝－‎2a，zC＝‎2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，解得a＝－1或a＝2.‎ 法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意，故a＝－1或a＝2.‎ 答案：D ‎6．（2014天津，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示．‎ 由z＝x＋2y，得y＝－x＋.‎ 先画出直线y＝－x，然后将直线y＝－x进行平移．‎ 当直线过点A时，z取得最小值．‎ 由得A(1,1)，故z最小值＝1＋2×1＝3.‎ 答案：B ‎7．（2014北京，5分）若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)‎ A．2 B．－2‎ C. D．－ 解析：作出线性约束条件的可行域．当k＞0时，如图(1)所示，此时可行域为y轴上方、直线x＋y－2＝0的右上方、直线kx－y＋2＝0的右下方的区域，显然此时z＝y－x无最小值．‎ 当k＜－1时，z＝y－x取得最小值2；‎ 当k＝－1时，z＝y－x取得最小值－2，均不符合题意．‎ 当－1＜k＜0时，如图(2)所示，此时可行域为点A(2,0)，B，C(0,2)所围成的三角形区域，当直线z＝y－x经过点B时，有最小值，即－＝－4⇒k＝－.故选D.‎ 答案：D ‎8．（2014福建，5分）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．‎ 解析：可行域为如图所示的阴影部分，当目标函数z＝3x＋y经过点A(0,1)时，z＝3x＋y取得最小值zmin＝3×0＋1＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．（2014浙江，5分）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由线性规划的可行域(如图)，求出三个交点坐标分别为A(1,0)，B(2，1)，C，都代入1≤ax＋y≤4，可得1≤a≤.‎ 答案： ‎10．（2014湖南，5分）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，易知当直线y＝－2x＋z过点A(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，k＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎11．（2013山东，5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．1‎ C．－ D．－ 解析：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查两点间斜率的几何意义等基础知识，考查数形结合思想，考查运算求解能力．已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.‎ 答案：C ‎12．（2013安徽，5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．4 解析：本题考查平面向量运算、线性规划等知识，培养考生对知识的综合应用能力以及数形结合思想．由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝，又A，B是两定点，可设A(，1)，B(0,2)，P(x，y)，‎ 由＝λ＋μ，可得⇒ 因为|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，当，时，由可行域可得S0＝×2×＝，所以由对称性可知点P所表示的区域面积S＝4S0＝4，故选D.‎ 答案：D ‎13．（2013北京，5分）设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是(　　)‎ A. B. ‎ ‎ C. D. 解析：‎ 本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，考查数形结合思想、等价转化思想以及考生分析问题、解决问题的能力．问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第四象限，可得m＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，由于坐标原点使得x－2y－2＜0，故－m－‎2m－2＞0，即m＜－. ‎ 答案：C ‎14．（2013山东，4分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．‎ 解析：本题主要考查线性规划下的最值求法，考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力．作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM|的最小值为点O到直线x＋y－2＝0的距离，所以|OM|min＝＝.‎ 答案： ‎15．（2013北京，5分）设D为不等式组所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．‎ 解析：本题主要考查线性规划的简单应用，意在考查考生的运算能力、作图能力以及数形结合思想和转化思想．作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，d＝＝，故最小距离为.‎ 答案： ‎16．（2013新课标全国Ⅱ，5分）已知a＞0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2‎ 解析：本题考查线性规划问题，属于基础题．由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－‎2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－‎2a＝1，a＝，故选B. ‎ 答案：B ‎17．(2013天津，5分)设变量x, y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)‎ A．－7 B．－4‎ C．1 D．2‎ 解析：本题考查线性规划，意在考查考生数形结合思想的应用．约束条件对应的平面区域是一个三角形区域，当目标函数y＝2x＋z经过可行域中的点(5,3)时，z取得最小值－7. ‎ 答案：A ‎18．(2013湖南，5分)若变量x，y满足约束条件则x＋2y的最大值是(　　)‎ A．－ B．0‎ C. D. 解析：本小题主要考查线性规划知识及数形结合思想，属中档偏易题．求解本小题时一定要先比较直线x＋2y＝0与边界直线x＋y＝1的斜率的大小，然后应用线性规划的知识准确求得最值．作出题设约束条件的平面区域(图略)，由⇒可得(x＋2y)max＝＋2×＝.‎ 答案：C ‎19．（2013广东，5分）给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．‎ 解析：本题考查线性规划、集合、直线方程等知识，考查考生的创新意识及运算能力、数形结合思想的应用．解决本题的关键是要读懂数学语言，x0，y0∈Z，说明x0，y0是整数，作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．‎ 答案：6‎ ‎20．（2013浙江，4分）设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.‎ 解析：‎ 本题主要考查二元一次不等式组的平面区域、线性规划的最优解的问题，意在考查考生的数形结合能力．已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点B(2,3)时，z最大，所以2k＋3＝12，解得k＝(舍去)；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点A(4,4)时，z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合，综上可知k＝2.‎ 答案：2‎ ‎21．（2013陕西，5分）若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．‎ 解析：本题考查分段函数的图象和线性规划的应用，考查考生的数形结合能力．由题意知y＝作出曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A(－1,2)时，2x－y取最小值－4.‎ 答案：－4‎ ‎22．（2012广东，5分）已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为(　　)‎ A．12　　　　　　　　　　 B．11‎ C．3 D．－1‎ 解析：如右图中的阴影部分即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时， z取得最大值．由解得，此时，z＝y＋3x＝11.‎ 答案：B ‎23．（2012辽宁，5分）设变量x，y满足则2x＋3y的最大值为(　　)‎ A．20 B．35‎ C．45 D．55‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域(如图所示)，平移直线y＝－x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时，2x＋3y取得最大值55.‎ 答案：D ‎24．（2011广东，5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为(　　)‎ A．3　　　　　　　　　　　 B．4‎ C．3 D．4 解析：画出区域D，如图中阴影部分所示，而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z.‎ 令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.‎ 答案：B ‎25．（2010山东，5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为(　　)‎ A．3，－11　　　　　　　　　　 B．－3，－11‎ C．11，－3 D．11,3‎ 解析：本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z＝3x－4y的最值一定在直线的交点处取得．‎ 三条直线的交点分别为A(0,2)，B(3,5)，C(5,3)，‎ 代入目标函数可得z＝3x－4y的最大值为3，在C点处取得；最小值为－11，在B点处取得．‎ 答案：A