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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年辽宁省大连市庄河高中高三(上)9月月考数学(理科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤1} C.{x|﹣1<x≤0} D.{x|0<x<1}
2.设复数z满足(2z﹣i)(2﹣i)=5,则z=( )
A.1+i B.1﹣i C.1+2i D.1﹣2i
3.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)经过点(2,3),且离心率为2,则它的焦距为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知a=2,b=log2,c=log,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
5.已知单位向量与的夹角为α,且cosα=﹣,若=2﹣, =+3,则=( )
A.﹣2 B.2 C.﹣ D.
6.已知命题p:若x>0,则函数y=x+的最小值为1,命题q:若x>1,则x2+2x﹣3>0,则下列命题是真命题的是( )
A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)
7.6人站成一排,其中甲不在两端,甲、乙不相邻的站法种数为( )
A.72 B.120 C.144 D.288
8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(俯视图中弧线是圆弧)( )
A.4﹣π B.π﹣2 C.1﹣ D.1﹣
9.设各项都是正数的等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2,S3,a2+S5成等比数列,则=( )
A.0 B. C. D.1
10.将函数y=sin(2x﹣)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
11.当x、y满足不等式组时,﹣2≤kx﹣y≤2恒成立,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=的图象上存在两点关于y轴对称,则实数a的取值范围是( )
A. B.(﹣3,1) C. D.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(x﹣2)8的展开式中,x6的系数为 .
14.执行如图所示的程序框图,输出的n值为 .
15.已知偶函数f(x)在上的最值;
(2)当0<m<时,设函数G(x)=f(x)+(其中m为常数)的3个极值点为a,b,c,且a<b<c,将2a,b,c,0,1这5个数按照从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.如图,AB是⊙O的直径,BE为⊙O的切线,点C为⊙O上不同于A、B的一点,AD为∠BAC的平分线,且分别与BC交于H,与⊙O交于D,与BE交于E,连接BD、CD.
(Ⅰ)求证:∠DBE=∠DBC;
(Ⅱ)求证:AH•BH=AE•HC.
23.在平面直角坐标系xOy中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线C的方程为ρcos(θ﹣)=a
(Ⅰ)写出动点A的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状;
(Ⅱ)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.
24.设函数f(x)=|x﹣2a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3},求a的值;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)+x0<3,求a的取值范围.
2016-2017学年辽宁省大连市庄河高中高三(上)9月月考数学(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U=R,A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤1} C.{x|﹣1<x≤0} D.{x|0<x<1}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】先求出A∪B,再求出其补集即可.
【解答】解:∵A={x|x>0},B={x|x≤﹣1},
∴A∪B={x|x>0或x≤﹣1},
∴CU(A∪B)={x|﹣1<x≤0},
故选:C.
2.设复数z满足(2z﹣i)(2﹣i)=5,则z=( )
A.1+i B.1﹣i C.1+2i D.1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可.
【解答】解:复数z满足(2z﹣i)(2﹣i)=5,
可得
,2z=2+2i,z=1+i.
故选:A.
3.已知双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)经过点(2,3),且离心率为2,则它的焦距为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】将点(2,3)代入双曲线的方程,结合离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a=1,c=2,进而得到焦距.
【解答】解:双曲线
﹣
=1(a>0,b>0)经过点(2,3),
可得
﹣
=1,
又离心率为2,即e=
=2,
即有c=2a,b=
=
a,
可得
﹣
=1,解得a=1,
则c=2.即焦距2c=4.
故选:B.
4.已知a=2
,b=log
2,c=log
,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性求解.
【解答】解:∵0<a=2
<20=1,
b=log
2<
=0,
c=log
>
=1,
∴c>a>b.
故选:C.
5.已知单位向量
与
的夹角为α,且cosα=﹣
,若
=2
﹣
,
=
+3
,则
=( )
A.﹣2 B.2 C.﹣
D.
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由题意可得|
|=|
|=1,
•
=1•1•cosα=﹣
,由此求得
的值.
【解答】解:由题意可得|
|=|
|=1,
•
=1•1•cosα=﹣
,
∴
=(2
﹣
)•(
+3
)=2
+5
•
﹣3
=2﹣1﹣3=﹣2,
故选:A.
6.已知命题p:若x>0,则函数y=x+
的最小值为1,命题q:若x>1,则x2+2x﹣3>0,则下列命题是真命题的是( )
A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)
【考点】复合命题的真假.
【分析】根据级别不等式的性质判断p,根据二次函数的性质判断q,从而判断复合命题的真假即可.
【解答】解:x>0时,y=x+
≥2
=
,
故命题p是假命题,
∵y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,对称轴x=﹣1,
函数在(1,+∞)递增,
∴x2+2x﹣3>0,
∴命题q是真命题,
∴p∨q是真命题,
故选:A.
7.6人站成一排,其中甲不在两端,甲、乙不相邻的站法种数为( )
A.72 B.120 C.144 D.288
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】先排甲,再排乙,再利用乘法原理即可得出.
【解答】解:先排甲,再排乙,
.
故选:D.
8.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(俯视图中弧线是
圆弧)( )
A.4﹣π B.π﹣2 C.1﹣
D.1﹣
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知:该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的
而剩下的几何体.
【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的
而剩下的几何体.
∴该几何体的体积V=13﹣
×π×12×1=1﹣
.
故选:D.
9.设各项都是正数的等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2,S3,a2+S5成等比数列,则
=( )
A.0 B.
C.
D.1
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】a2,S3,a2+S5成等比数列,可得:(a1+d)(6a1+11d)=
,解出即可得出.
【解答】解:∵a2,S3,a2+S5成等比数列,
∴a2•(a2+S5)=
,
∴(a1+d)(6a1+11d)=
,
化为:2d2﹣a1d﹣3
=0,d,a1>0.
∴(2d﹣3a1)(d+a1)=0,
∴2d﹣3a1=0,
则
=
,
故选:B.
10.将函数y=sin(2x﹣
)的图象向左平移
个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,求得所得函数的图象对应的函数解析式,再根据正弦函数的单调性,得出结论.
【解答】解:将函数y=sin(2x﹣
)的图象向左平移
个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin=﹣sin(2x﹣
),
在区间上,2x﹣
∈,函数y=﹣sin(2x﹣
) 没有单调性,故排除A、B.
在区间上,2x﹣
∈,函数y=﹣sin(2x﹣
) 单调递减,故排除D,
故选:C.
11.当x、y满足不等式组
时,﹣2≤kx﹣y≤2恒成立,则实数k的取值范围是( )
A. B. C. D.
【考点】简单线性规划.
【分析】设z=kx﹣y,则,﹣2≤z≤2,作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
设z=kx﹣y,则,﹣2≤z≤2,
由
,解得
,即B(﹣2,2),
由
,解得
,即C(2,0),
由
,解得
,即A(﹣5,﹣1),
要使﹣2≤kx﹣y≤2恒成立,
则
,
即
,解得﹣
≤k≤0,
故选:D
12.已知函数f(x)=
的图象上存在两点关于y轴对称,则实数a的取值范围是( )
A. B.(﹣3,1) C. D.
【考点】函数的图象与图象变化.
【分析】若函数f(x)=
的图象上存在两点关于y轴对称,则函数
的图象关于y轴对称变换后,与y=2x2﹣3x,x>
0的图象有交点.即a=
有正根,进而利用导数法求出g(x)=
的最值,可得答案.
【解答】解:函数f(x)=
的图象上存在两点关于y轴对称,
则函数
的图象关于y轴对称变换后,与y=2x2﹣3x,x>0的图象有交点,
即aex=2x2﹣3x有正根,
即a=
有正根,
令g(x)=
,
则g′(x)=
,
令g′(x)=0,则x=
,或x=3,
由0
或x>3时,g′(x)<0,由
<x<3或x>3时,g′(x)>0,
可知当x=
时,g(x)取极小值﹣
,当x=3时,g(x)取极大值9e﹣3,
又由当x→0或x→+∞时,g(x)→0,
故当x=
时,g(x)取最小值﹣
,当x=3时,g(x)取最大值9e﹣3,
即实数a的取值范围是.
故选:D
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(x﹣2)8的展开式中,x6的系数为 112 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为6,从而可求出x6的系数.
【解答】解:(x﹣2)8展开式的通项为Tr+1=
x8﹣r(﹣2)r
令8﹣r=6得r=2,
∴展开式中x6的系数是(﹣2)2C82=112.
故答案为:112.
14.执行如图所示的程序框图,输出的n值为 7 .
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出不满足条件S=0+1+2+8+…<100时,k+1的值.
【解答】解:由框图知,第一次循环的结果为:S=98,n=2;
第二次循环的结果为:S=94,n=3;
第三次循环的结果为:S=86,n=4;
第四次循环的结果为:S=70,n=5;
第五次循环的结果为:S=38,n=6;
第六次循环的结果为:S=﹣26,n=7;满足判断框中的条件,结束循环,输出n的值.
故答案为7.
15.已知偶函数f(x)在上的最值;
(2)当0<m<
时,设函数G(x)=f(x)+
(其中m为常数)的3个极值点为a,b,c,且a<b<c,将2a,b,c,0,1这5个数按照从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)求出函数的导数,判断函数f(x)的单调性,即可得到最值;
(2)2a,b,c,0,1这5个数按照从小到大的顺序为0<2a<b<1<c.求出G(x)的导数,求得极值点b=2m,再令h(x)=2lnx+
﹣1,求出导数,求得最小值,求得单调区间,即可判断2a,c与1的大小.
【解答】解:(1)函数f(x)=
的导数f′(x)=
,
当x∈时,f′(x)≥0,f(x)在递增,
f(
)为最小值,且为2e,f(e)为最大值,且为e2;
(2)2a,b,c,0,1这5个数按照从小到大的顺序为0<2a<b<1<c.
由题意可得G(x)=
,G′(x)=
,
对于函数h(x)=2lnx+
﹣1,有h′(x)=
,
∴函数h(x)在(a,m)上单调递减,在(m,c)上单调递增,
∵函数f(x)有3个极值点a<b<c,
从而hmin(x)=h(m)=2lnm+1<0,所以m<
,
当0<m<
时,h(2m)=2ln2m<0,h(1)=2m﹣1<0,
∴函数G(x)的递增区间有(a,2m)和(c,+∞),
递减区间有(0,a),(2m,1),(1,c),
此时,函数f(x)有3个极值点,且b=2m;
∴当0<m<
时,a,c是函数h(x)=2lnx+
﹣1的两个零点,
即有
,消去m有2alna﹣a=2clnc﹣c,
令g(x)=2xlnx﹣x,g'(x)=2lnx+1有零点x=
,且a<
,
即有0<2a<b<1<c.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.如图,AB是⊙O的直径,BE为⊙O的切线,点C为⊙O上不同于A、B的一点,AD为∠BAC的平分线,且分别与BC交于H,与⊙O交于D,与BE交于E,连接BD、CD.
(Ⅰ)求证:∠DBE=∠DBC;
(Ⅱ)求证:AH•BH=AE•HC.
【考点】与圆有关的比例线段;弦切角.
【分析】(Ⅰ)由弦切角定理及其同弧所对的圆周角的性质、角平分线的性质即可证明.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BE=BH.可得AH•BH=AH•BE.利用相似三角形的判定定理可得:△AHC∽△AEB,再利用性质即可证明.
【解答】证明:(Ⅰ)由弦切角定理知∠DBE=∠DAB.
又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,
∴∠DBE=∠DBC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知BE=BH.
∴AH•BH=AH•BE,
∵∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE,
∴△AHC∽△AEB,
∴
,即AH•BE=AE•HC,
∴AH•BH=AE•HC.
23.在平面直角坐标系xOy中,动点A的坐标为(2﹣3sinα,3cosα﹣2),其中α∈R.在极坐标系(以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,直线C的方程为ρcos(θ﹣
)=a
(Ⅰ)写出动点A的轨迹的参数方程并说明轨迹的形状;
(Ⅱ)若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,求实数a的值.
【考点】参数方程化成普通方程.
【分析】(I)将A的坐标写成参数方程,化成普通方程判断轨迹形状;
(II)求出曲线C的直角坐标方程,根据有一个交点得出两曲线相切,列出方程解出a.
【解答】解:(I)设动点A(x,y),则A的轨迹的参数方程为
,(α为参数).
化成普通方程为(x﹣2)2+(y+2)2=9.∴A的轨迹为以(2,﹣2)为圆心,以3为半径的圆.
(II)∵ρcos(θ﹣
)=a,∴
ρcosθ+
=a,
∴曲线C的直角坐标方程为
.
∵直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点,
∴
=3,解得a=3或a=﹣3.
24.设函数f(x)=|x﹣2a|,a∈R.
(1)若不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3},求a的值;
(2)若存在x0∈R,使f(x0)+x0<3,求a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(1)由不等式f(x)<1求得2a﹣1<x<2a+1,再根据不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3},可得2a﹣1=1,且2a+1=3,求得a的值.
(2)令g(x)=f(x)+x=|x﹣2a|+x=
,可得g(x)的最小值为2a,根据题意可得2a<3,由此求得a的范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=|x﹣2a|,a∈R,∴不等式f(x)<1 即|x﹣2a|<1,求得2a﹣1<x<2a+1.
再根据不等式f(x)<1的解集为{x|1<x<3},
可得2a﹣1=1,且2a+1=3,求得a=1.
(2)令g(x)=f(x)+x=|x﹣2a|+x=
,故g(x)=f(x)+x的最小值为2a,
根据题意可得2a<3,a<
,故a的范围是(﹣∞,
).
2016年10月28日