专题04 立体几何（第02期）-2017年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 12页

‎2017届高考数学（理）大题狂练 专题04 立体几何 ‎1.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，为线段上的一点 ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 法二：由（1）知，为二面角的平面角 ‎，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，由题意，得，且，，底面，，又，底面，平面，平面平面.‎ 法二：由（1）知，为二面角的平面角，因此，，整理得： ，，解得或，由得，即,故.‎ 考点：1、线面垂直；2、面面垂直；3、二面角.‎ ‎2.如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，‎ ‎，．　‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：连，，则和皆为正三角形．‎ 取中点，连，，则，，则平面，则．‎ ‎【(来(源：全(品(高(考(网(】‎ 考点：1、线面垂直；2、二面角.‎ ‎3.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，且平面平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) 存在，.‎ ‎（2）平面平面，平面平面，，‎ 平面．‎ 以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，…………………7分 如图所示：则，，假设存在点使得二面角 的大小为，则，．‎ 设平面的法向量为，则．‎ ‎，令得．………9分 平面，‎ 为平面的一个法向量．…………………10分 ‎．……………………11分 解得．．…………………12分 考点：线面垂直的判定定理性质定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎4.已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直，分别为棱的中点，.‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎（2）如图以为坐标原点建立空间右手直角坐标系，所以，，，，，，，……1分【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（1）取的中点，所以，‎ 设平面的一个法向量为，因为，，‎ 所以，；所以，…………3分 因为,，所以.……………………5分 因为平面，所以直线平面.……………………7分 考点：线面平行的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用．‎ ‎5.（原创）在四边形中，对角线垂直相交于点，且，.将沿折到的位置，使得二面角的大小为（如图）.已知为的中点，点在线段上，且.‎ ‎（1）证明：直线；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：由题，故两两垂直，从而可建立如图直角坐标系，则，，，.‎ （1） 由题知，故，又，故，从而，又，故，设平面的法向量为，易得，，由得，取得，因，故直线；‎ ‎（2）由（1）可知为平面的法向量，又，故.‎ 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角.‎ ‎6.如图，在梯形中，，四边形为矩形，平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角为，试求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）证明：在梯形中，因为，所以，所以，‎ 所以，所以．‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 平面，所以平面．‎ ‎（2）由（1）可建立分别以直线为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，‎ 令，则，‎ ‎∴，‎ 设为平面的一个法向量，‎ 由得，取，则，‎ ‎∵是平面的一个法向量．‎ ‎∴．‎ ‎∵，∴当时，有最小值，当时，有最大值．‎ ‎∴．‎ 考点：（1）直线与平面垂直的判定；（2）二面角的平面角及其求法；（3）空间向量求平面的夹角.‎