2017高考数学（理,江苏）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题1 第5讲 导数的简单应用 7页

第5讲　导数的简单应用 题型一| 导数的几何意义 ‎　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx为奇函数，其图象的一条切线方程为y＝3x－4，则b的值为________．‎ ‎(2)经过原点(0,0)作函数f(x)＝x3＋3x2图象的切线，则切线方程为________．‎ ‎(1)－3　(2)y＝0或9x＋4y＝0　[(1)由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)，易得a＝0，对函数求导可得：f′(x)＝3x2＋b，可设切点(x0，y0)，则有可解得即b的值为－3.‎ ‎(2)f′(x)＝3x2＋6x.当(0,0)为切点时，f′(0)＝0，故切线方程为y＝0.‎ 当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x＋3x)，则切线方程为y－(x＋3x)＝(3x＋6x0)(x－x0)，又点(0,0)在切线上，所以－x－3x＝－3x－6x，解得x0＝0(舍去)或x0＝－，故切线方程为9x＋4y＝0.]‎ ‎【名师点评】　解决函数切线的相关问题，需抓住三个关键点：‎ ‎(1)切点是曲线与切线的公共点；‎ ‎(2)在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)；‎ ‎(3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．“过点P的切线”中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在“点P处的切线”，点P是切点．‎ ‎1．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则 ‎＝________.‎ ‎－　[设曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率为k，则k＝y′|x＝1＝3.因为直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，所以＝－.]‎ ‎2．在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线y＝x2(x＞0)和y＝x3(x＞0)均相切，切点分别为A(x1，y1)和B(x2，y2)，则的值是________．‎ 　[由题设函数y＝x2在A(x1，y1)处的切线方程为：y＝2x1x－x，‎ 函数y＝x3在B(x2，y2)处的切线方程为y＝3xx－2x.‎ 所以解得x1＝，x2＝.‎ 所以＝.]‎ ‎3．曲线f(x)＝·ex－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为________．‎ y＝ex－　[令x＝0，f(0)＝e0－f(0)×0＋0，所以f(0)＝，‎ 从而f(x)＝ex－x＋x2，‎ f′(x)＝ex－＋x.‎ 令x＝1时，f′(1)＝·e－＋1，f′(1)＝e，‎ f(x)＝ex－x＋.‎ f(1)＝e－，则切线为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.]‎ 题型二| 利用导数研究函数的单调性 ‎　(1)若函数f(x)＝在x∈(2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．‎ ‎(2)函数y＝x2－ln x的单调递减区间为________．‎ ‎(1)a<　(2)(0,1]　[(1)对函数求导得：‎ f′(x)＝ ＝＝，令f′(x)<0，即2a－1<0，解得a<.‎ ‎(2)y＝x2－ln x，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′≤0，得00或f′(x)<0即可．‎ ‎2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．‎ ‎1．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是___．‎ ‎[1，＋∞)　[依题意得f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥在(1，＋∞)上恒成立．‎ ‎∵x>1，∴0<<1，‎ ‎∴k≥1.]‎ ‎2．已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则f________f.(填“>”“<”或“＝”)‎ ‎【导学号：19592014】‎ ‎<　[依题意，记g(x)＝，则当x∈时，g′(x)＝ ‎>0，函数g(x)是增函数．又－<－<－<，因此g0；当0，当x∈(－1，a)时，f′(x)<0，‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；‎ 若－10，‎ 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；‎ 若a<－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)<0，‎ 当x∈(a，－1)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在x＝a处取得极小值．‎ 所以a∈(－1,0)．]‎ ‎【名师点评】　利用导数研究函数的极值、最值的注意点：‎ ‎(1)极值：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，因此在求得f′(x0)＝0后务必验证x>x0及x0；当02时，f′(x)>0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4